Esercizietto di PRObaBilitA'
Raga non ne so fare manco uno dei tre.
Per il primo sono abituato a fare le distrib uniformi...
Il secondo e il terzo non li capisco....
Son rovinato!
Risposte
Per il primo: con i due momenti intendi media e varianza? Se sì:
$E[Z] = E[2X - 3Y] = 2 E[X] - 3E[Y] = 0 - 0 = 0$
$"Var"[Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = E[Z^2] = E[4X^2 + 9Y^2 - 12XY] = 4E[X^2] + 9E[Y^2] - 12 E[X]E[Y]$
dove $E[XY] = E[X] E[Y]$ dato che $X$ e $Y$ sono indipendenti, pertanto scorrelate.
Dato che $X$ e $Y$ sono a media nulla, la varianza coincide col valor quadratico medio, quindi $E[X^2] = E[Y^2] = 1$.
$E[Z] = E[2X - 3Y] = 2 E[X] - 3E[Y] = 0 - 0 = 0$
$"Var"[Z] = E[Z^2] - E^2[Z] = E[Z^2] = E[4X^2 + 9Y^2 - 12XY] = 4E[X^2] + 9E[Y^2] - 12 E[X]E[Y]$
dove $E[XY] = E[X] E[Y]$ dato che $X$ e $Y$ sono indipendenti, pertanto scorrelate.
Dato che $X$ e $Y$ sono a media nulla, la varianza coincide col valor quadratico medio, quindi $E[X^2] = E[Y^2] = 1$.
Per il terzo: $P(X \in Q_2 | X \in Q_1) = \frac{P(\{X \in Q_1\} \cap \{X \in Q_2\})}{P(X \in Q_1)}$
Facendo un disegnetto (nemmeno troppo preciso, si vede che):
$P(X \in Q_1) = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}} \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}} d \xi d \eta$
$P(\{X \in Q_1\} \cap \{X \in Q_2\}) = \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} d \xi d \eta$
Facendo un disegnetto (nemmeno troppo preciso, si vede che):
$P(X \in Q_1) = \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}} \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}} d \xi d \eta$
$P(\{X \in Q_1\} \cap \{X \in Q_2\}) = \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} d \xi d \eta$
Nel secondo, il dado quante volte va lanciato?
Ti ha risposto Tipper, ma ormai ti avevo scritto anch'io.
a) le variabili gaussiane standard hanno media zero e varianza 1.
$EZ=E(2X-3Y)=2EX-3EY=0$.
Per calcolare il momento di ordine 2 basta ricordare che:
$VarZ=EZ^2-(EZ)^2=>EZ^2=VarZ+(EZ)^2$.
$EZ=0$ è stato calcolato sopra,
$VarZ=Var(2X-3Y)=4VarX+9VarY=4*1+9*1=13$.
b) Si può ricorrere alla probabilità condizionata:
Sia E= numero carta pari,
$P(E)=sum_(k=1)^6P(E|D=k)P(D=k)$
$P(D=k)=1/6$
$P(E|D=1)=0$, infatti se D=1 il mazzo è composto da 4 assi e quindi la probabilità di estrarre un numero pari è zero;
$P(E|D=2)=1/2$, nel mazzo ci sono 8 carte, 4 assi e 4 due...
...
...
c) Per definizione di probabilità condizionata
$P(X in Q_2|X in Q_1)=(P(X in Q_2, X in Q_1))/(P(X in Q_1)).$
Forse non conosci la scrittura $[0,1]X[0,1]$, significa che devi considerare il quadrato individuato dalle 4 rette
x= 0, x=1 e y=0, y=1.
In pratica il primo pezzo [0,1] si traduce nelle rette x= 0, x=1.
Il secondo [0,1] si traduce in y=0, y=1.
Adesso dovresti essere in grado di andare avanti da solo.
a) le variabili gaussiane standard hanno media zero e varianza 1.
$EZ=E(2X-3Y)=2EX-3EY=0$.
Per calcolare il momento di ordine 2 basta ricordare che:
$VarZ=EZ^2-(EZ)^2=>EZ^2=VarZ+(EZ)^2$.
$EZ=0$ è stato calcolato sopra,
$VarZ=Var(2X-3Y)=4VarX+9VarY=4*1+9*1=13$.
b) Si può ricorrere alla probabilità condizionata:
Sia E= numero carta pari,
$P(E)=sum_(k=1)^6P(E|D=k)P(D=k)$
$P(D=k)=1/6$
$P(E|D=1)=0$, infatti se D=1 il mazzo è composto da 4 assi e quindi la probabilità di estrarre un numero pari è zero;
$P(E|D=2)=1/2$, nel mazzo ci sono 8 carte, 4 assi e 4 due...
...
...
c) Per definizione di probabilità condizionata
$P(X in Q_2|X in Q_1)=(P(X in Q_2, X in Q_1))/(P(X in Q_1)).$
Forse non conosci la scrittura $[0,1]X[0,1]$, significa che devi considerare il quadrato individuato dalle 4 rette
x= 0, x=1 e y=0, y=1.
In pratica il primo pezzo [0,1] si traduce nelle rette x= 0, x=1.
Il secondo [0,1] si traduce in y=0, y=1.
Adesso dovresti essere in grado di andare avanti da solo.
Tipperone! Ma spacchi 
pure in PROBABILITA'?! Complimenti! 
Il dado penso sia lanciato 1 volta sola ma non so manco io... Sti testi vanno interpretati pure!
Grazie RAGA mi fate commuovere così!
Adesso mi metto e spero di capirci.
pure in PROBABILITA'?! Complimenti! Il dado penso sia lanciato 1 volta sola ma non so manco io... Sti testi vanno interpretati pure!
Grazie RAGA mi fate commuovere così!
Adesso mi metto e spero di capirci.
"Giova411":
... Ma spacchi...
Eh, sapessi quante (e quali!) cose spacco...
Tipper sono io quello che spacca le cosidette...
L'ultimo punto: l'intersezione tra i quadrati è proprio $Q_2$ se non sbaglio. Quindi il risultato richiesto verrà $ 4/9$. Mi sembra di averlo capito.
Il secondo viene $67/30$ perché devo sommare tutte le prob che PieR mi ha iniziato a calcolare. Anche questo ok.
Raga scusate! Ho capito tutto ma mi manca un particolare grossolano nel primo. Perché la media è =0 sia per X che per Y?
Sul libro mio c'é scritto che la normale standard ha media 0 e varianza 1 ... prosegue... "è così e stai zitto e muto..."
Poi mi son chiesto il perché ma non lo so dimostrare... Ovviamente non voglio la dimostrazione ma a parole povere, perché è così?
L'ultimo punto: l'intersezione tra i quadrati è proprio $Q_2$ se non sbaglio. Quindi il risultato richiesto verrà $ 4/9$. Mi sembra di averlo capito.
Il secondo viene $67/30$ perché devo sommare tutte le prob che PieR mi ha iniziato a calcolare. Anche questo ok.
Raga scusate! Ho capito tutto ma mi manca un particolare grossolano nel primo. Perché la media è =0 sia per X che per Y?
Sul libro mio c'é scritto che la normale standard ha media 0 e varianza 1 ... prosegue... "è così e stai zitto e muto..."
Poi mi son chiesto il perché ma non lo so dimostrare... Ovviamente non voglio la dimostrazione ma a parole povere, perché è così?
"Giova411":
Raga scusate! Ho capito tutto ma mi manca un particolare grossolano nel primo. Perché la media è =0 sia per X che per Y?
Sul libro mio c'é scritto che la normale standard ha media 0 e varianza 1 ... prosegue... "è così e stai zitto e muto..."
Poi mi son chiesto il perché ma non lo so dimostrare... Ovviamente non voglio la dimostrazione ma a parole povere, perché è così?
Ma non ti sei già risposto da solo?
Si mi son risposto senza sapere il perché... E' così e basta e non posso farci niente? 
Volevo capire il perché ma sul libro non dice nulla... Ecco perché ho chiesto a voi esperti...
Volevo capire il perché ma sul libro non dice nulla... Ecco perché ho chiesto a voi esperti...
Be', sul libro c'è scritto quello che ci doveva essere scritto... Voglio dire, è una definizione, non c'è nulla da dimostrare. Una variabile aleatoria gaussiana si dice standard se e solo se ha media $0$ e varianza $1$. Non c'è altro.
Ok, grazie TippeR! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo