Esercizi variabili aleatorie
Stanotte sto impazzendo su un paio di esercizi di calcolo delle probabilità. Sono del libro Ross (calcolo delle probabilità). Non capisco dove sbaglio!
5 uomini e 5 donne sostengono un esame e vengono messi in ordine secondo i risultati ottenuti. Si supponga che non ci siano stati esiti uguali e che tutti i 10! possibili ordinamenti siano equiprobabili. Denotiamo con X la migliore posizione ottenuta da una donna (per esempio X=1 se il primo classificato è una donna). Si trovi $P{X=i} i =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 $
Dati:
u=5;
d=5;
tot= 10 $=> ((10),(5)) = 252$ casi EDIT: ho sbagliato a trascrivere un dato in questa riga
$P(X=1) = (((1),(0))((9),(4)))/252$
$P(X=2) = (((2),(1))((8),(3)))/252$
$P(X=3) = (((3),(2))((7),(2)))/252$
$P(X=4) = (((4),(3))((6),(1)))/252$
$P(X=5) = (((5),(4))((6),(0)))/252$
$P(X=6) = 0
e così via... fino a 10.
Il ragionamento che ho fatto è stato tipo quello di assumere che l'estrazione si comportasse come una variabile di tipo binomiale. Tuttavia a parte $ P(X=1) $ non mi escono gli altri risultati. Come mi devo comportare?
Un venditore ha fissato due appuntamenti per vendere un'enciclopedia. Ha possibilità 0,3 di venderla al primo appuntamento e possibilità 0,6 di venderla al secondo. Inoltre ha la stessa probabilità di vendere la versione lusso da 1000€ che quella base da 500€. Determinare la densità discreta X e la variabile aleatoria che determina il guadagno.
Dati:
$P_1 = 0,3$ Possibilità di vendere al primo appuntamento
$P_2 = 0,6$ Possibilità di vendere al secondo appuntamento
$P_0$ (non vende nulla)$= 1- P_1 - P_2 = 0,1$
$L= 1000; B=500$ sono i guadagni Lusso e Base
$X=$ {totale dei guadagni possibili}$ = 0,500,1000,1500,2000$
$P(X=0) = (1-P_1) (1-P_2)$
Questo risultato, confrontato con quello del libro è correto.
Da ora in poi me ne sono andato un po' nel pallone perchè ho pensato di usare la probabilità condizionata ma i risultati non mi escono:
$P(X= 500) = P(B|P_1) nn P(B|P_2) $ Guadagna 500€ se vende la versione standard o al primo o al secondo appuntamento che sono eventi indipendenti
$P(X=1000)= P(B|P_1) uu P(B|P_2) nn (P(L|P_1) nn P(L|P_2)) $ Guadagna 1000€ se vende o ad entrambi gli appuntamenti la versione standard oppure se ad uno dei due vende la versione lusso
Così via fino a 2000. I conti non mi tornano.
Non sono riuscito ad individuare una variabile aleatoria che mi possa univocamente identificare il fenomeno.
Per favore potete indicarmi dove sto sbagliando? Grazie!
5 uomini e 5 donne sostengono un esame e vengono messi in ordine secondo i risultati ottenuti. Si supponga che non ci siano stati esiti uguali e che tutti i 10! possibili ordinamenti siano equiprobabili. Denotiamo con X la migliore posizione ottenuta da una donna (per esempio X=1 se il primo classificato è una donna). Si trovi $P{X=i} i =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 $
Dati:
u=5;
d=5;
tot= 10 $=> ((10),(5)) = 252$ casi EDIT: ho sbagliato a trascrivere un dato in questa riga
$P(X=1) = (((1),(0))((9),(4)))/252$
$P(X=2) = (((2),(1))((8),(3)))/252$
$P(X=3) = (((3),(2))((7),(2)))/252$
$P(X=4) = (((4),(3))((6),(1)))/252$
$P(X=5) = (((5),(4))((6),(0)))/252$
$P(X=6) = 0
e così via... fino a 10.
Il ragionamento che ho fatto è stato tipo quello di assumere che l'estrazione si comportasse come una variabile di tipo binomiale. Tuttavia a parte $ P(X=1) $ non mi escono gli altri risultati. Come mi devo comportare?
Un venditore ha fissato due appuntamenti per vendere un'enciclopedia. Ha possibilità 0,3 di venderla al primo appuntamento e possibilità 0,6 di venderla al secondo. Inoltre ha la stessa probabilità di vendere la versione lusso da 1000€ che quella base da 500€. Determinare la densità discreta X e la variabile aleatoria che determina il guadagno.
Dati:
$P_1 = 0,3$ Possibilità di vendere al primo appuntamento
$P_2 = 0,6$ Possibilità di vendere al secondo appuntamento
$P_0$ (non vende nulla)$= 1- P_1 - P_2 = 0,1$
$L= 1000; B=500$ sono i guadagni Lusso e Base
$X=$ {totale dei guadagni possibili}$ = 0,500,1000,1500,2000$
$P(X=0) = (1-P_1) (1-P_2)$
Questo risultato, confrontato con quello del libro è correto.
Da ora in poi me ne sono andato un po' nel pallone perchè ho pensato di usare la probabilità condizionata ma i risultati non mi escono:
$P(X= 500) = P(B|P_1) nn P(B|P_2) $ Guadagna 500€ se vende la versione standard o al primo o al secondo appuntamento che sono eventi indipendenti
$P(X=1000)= P(B|P_1) uu P(B|P_2) nn (P(L|P_1) nn P(L|P_2)) $ Guadagna 1000€ se vende o ad entrambi gli appuntamenti la versione standard oppure se ad uno dei due vende la versione lusso
Così via fino a 2000. I conti non mi tornano.
Non sono riuscito ad individuare una variabile aleatoria che mi possa univocamente identificare il fenomeno.
Per favore potete indicarmi dove sto sbagliando? Grazie!
Risposte
"net_math":
tot= 10 $=> ((10),(2)) = 252$ casi
$((10),(5))$
"net_math":
$P(X=6) = 0
perchè non prendi anche in ipotesi:
MMMMMFFFFF ?
quindi la prima F è sesta.
Si il totale dei casi ho sbagliato a trascriverlo ma in effetti 252= $((10),(5))
da 6 in poi non ho più considerato perchè è naturale che se la prime 5 posizioni sono occupate da maschi le restanti sono solo femmine. Siccome la traccia non richiede l'ordine, ho escluso le ultime dal calcolo
da 6 in poi non ho più considerato perchè è naturale che se la prime 5 posizioni sono occupate da maschi le restanti sono solo femmine. Siccome la traccia non richiede l'ordine, ho escluso le ultime dal calcolo
Provo a ragionare al contrario, dimmi se funge:
Nel caso MMMMMFFFFF (una solo possibilità)
Nel caso di MMMMFMFFFF ( 5 la M puo' essere disposta in $((5),(4))$ modi)
MMMFMMFFFF (15 ovvero $((6),(4))$)
ed ancora:
35 $((7),(4))$
70 $((8),(4))$
126 $((9),(4))$
Verifica:
1+5+15+35+70+126=252
Nel caso MMMMMFFFFF (una solo possibilità)
Nel caso di MMMMFMFFFF ( 5 la M puo' essere disposta in $((5),(4))$ modi)
MMMFMMFFFF (15 ovvero $((6),(4))$)
ed ancora:
35 $((7),(4))$
70 $((8),(4))$
126 $((9),(4))$
Verifica:
1+5+15+35+70+126=252
"net_math":
Si il totale dei casi ho sbagliato a trascriverlo ma in effetti 252= $((10),(5))
da 6 in poi non ho più considerato perchè è naturale che se la prime 5 posizioni sono occupate da maschi le restanti sono solo femmine. Siccome la traccia non richiede l'ordine, ho escluso le ultime dal calcolo
vabbè, ma è comunque una ipotesi da considerare ( è una delle 252 possibili..., un maschilista direbbe la più probabile..
)
Ho capito cosa hai fatto, ed è la strada che ho seguito io in primis. Tuttavia poi mi sono detto: con questo modo non andiamo solo a considerare le disposizioni delle femmine in generale (o dei maschi a seconda di come uno la intende 
)? Mi spiego meglio: ho pensato di mettere il doppio coefficente binomiale perchè ho immaginato che in qualche modo dovessi "riempire" i restanti spazi. Nel senso che alla posizione i poteva esserci una delle diverse 5 donne. Ho sbagliato a ragionare così?
)? Mi spiego meglio: ho pensato di mettere il doppio coefficente binomiale perchè ho immaginato che in qualche modo dovessi "riempire" i restanti spazi. Nel senso che alla posizione i poteva esserci una delle diverse 5 donne. Ho sbagliato a ragionare così?
"net_math":
Ho sbagliato a ragionare così?
Sbagliato no, hai sbagliato nel calcolo...
Ad esempio se prendi:
"net_math":
$P(X=4) = (((4),(3))((6),(1)))/252$
devi ragionare che i primi 4 posti devono essere MMMF (questa rappresenta una sola combinazione - The first, The last, The everything)
Le successive 6 (MMFFFF) puoi scambiarle come vuoi, e quindi ottieni il
$((6),(4))$ (se guardi le F come soggetto) o se preferisci il $((6),(2))$ (se guardi le M come soggetto) [che è la stessa cosa, vedi mirroring di Tartaglia..]
Ho capito perfettamente adesso!
Grazie 1000. Ieri sono passato al calcolo delle VA continue... sembra strano ma mi garbano molto più di quelle discrete!
Grazie 1000. Ieri sono passato al calcolo delle VA continue... sembra strano ma mi garbano molto più di quelle discrete!
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