Esercizi sulle variabili di Poisson
Buon pomeriggio. Avrei bisogno del vostro aiuto per risolvere questi 2 (semplici?) esercizi sulle variabili di Poisson.
ESERCIZIO 1
Una gallina depone X uova ove X è una variabile di Poisson di parametro $lambda >0$. Ogni uovo ha probabilità $p$ di far nascere un pulcino, Sapendo che è nato un solo pulcino qual è la probabilità che siano state deposte 3 uova?
Risoluzione (o meglio, il mio tentativo
)
X è di Poisson; invece la variabile P (di pulcino
) mi sembrerebbe più che altro una bella binomiale geometrica: se nasce il pulcino ho un successo, altrimenti insuccesso.
Devo calcolare la probabilità condizionata: $P(X=3 | A)$ dove A è la probabilità che, da X uova mi nasca un solo pulcino.
Quindi
$P(A)=P(P=1) = p * (p-1) ^ (X-1)$ dove X è il numero di uova deposte.
$P(X=3) = e^ -lambda (lambda^3)/(3!)$
La probabilità dell'intersezione tra X e A mi crea qualche problema: come la trovo? Cioè, a me verrebbe in mente, come intersezione, vengono deposte 3 uova e di queste solo una avrà successo come pulcino:
$P(XA)= e^ -lambda (lambda^3)/(3!) * p (p-1)^2$
Quindi mettendo tutto insieme:
$P(X|A)= ( e^ -lambda (lambda^3)/(3!) * p (p-1)^2) / (p * (p-1) ^ (X-1))$ ma mi sembra assurdo: X, che è quello che devo calcolare, compare nella formula a destra!!
C'è decisamente qualcosa di sbagliato. Idee?
ESERCIZIO 2
Sia X una variabile uniforme in ${1,2,...,n}$ e sia Y una v.a. di Poisson di parametro X. Calcolare $EY$.
Risoluzione
In generale so che il valore atteso di una variabile di Poisson è (come anche la varianza) uguale al parametro $lambda$, che in questo caso è uguale al mio X.
Ma che significa, qui? Il valore atteso di Y, cos'è? E' la probabilità di X? E' il valore atteso di X?
Grazie in anticipo dell'aiuto
ESERCIZIO 1
Una gallina depone X uova ove X è una variabile di Poisson di parametro $lambda >0$. Ogni uovo ha probabilità $p$ di far nascere un pulcino, Sapendo che è nato un solo pulcino qual è la probabilità che siano state deposte 3 uova?
Risoluzione (o meglio, il mio tentativo
)X è di Poisson; invece la variabile P (di pulcino
) mi sembrerebbe più che altro una bella binomiale geometrica: se nasce il pulcino ho un successo, altrimenti insuccesso.Devo calcolare la probabilità condizionata: $P(X=3 | A)$ dove A è la probabilità che, da X uova mi nasca un solo pulcino.
Quindi
$P(A)=P(P=1) = p * (p-1) ^ (X-1)$ dove X è il numero di uova deposte.
$P(X=3) = e^ -lambda (lambda^3)/(3!)$
La probabilità dell'intersezione tra X e A mi crea qualche problema: come la trovo? Cioè, a me verrebbe in mente, come intersezione, vengono deposte 3 uova e di queste solo una avrà successo come pulcino:
$P(XA)= e^ -lambda (lambda^3)/(3!) * p (p-1)^2$
Quindi mettendo tutto insieme:
$P(X|A)= ( e^ -lambda (lambda^3)/(3!) * p (p-1)^2) / (p * (p-1) ^ (X-1))$ ma mi sembra assurdo: X, che è quello che devo calcolare, compare nella formula a destra!!
C'è decisamente qualcosa di sbagliato. Idee?
ESERCIZIO 2
Sia X una variabile uniforme in ${1,2,...,n}$ e sia Y una v.a. di Poisson di parametro X. Calcolare $EY$.
Risoluzione
In generale so che il valore atteso di una variabile di Poisson è (come anche la varianza) uguale al parametro $lambda$, che in questo caso è uguale al mio X.
Ma che significa, qui? Il valore atteso di Y, cos'è? E' la probabilità di X? E' il valore atteso di X?
Grazie in anticipo dell'aiuto
Risposte
Carinissimo questo esercizio sui pulcini 
Proprio per questo che dici, a me sembra una v.a. Bernoulliana
Io direi che A è la probabilità che nasca un solo pulcino. Ciò può accadere con un uovo, con due, con tre, ....
Quindi $P(P=1) = \sum_{k}P(P=1|X=k)*P(X=k)$ (questa volta non mi sbilancio con gli indici..
)
Imposterei quindi l'esercizio col teorema di Bayes:
$P(X=3|P=1)=(P(P=1|X=3)*P(X=3))/(P(P=1))$
Fai attenzione a valutare la $P(P=1|X=k)$ ... è una v.a. nota (somma di Bernoulliane indipendenti.. )
[ ... anche in questo esercizio comparirà una bella serie... (ma da dove li tira fuori il tuo prof!) ]
Come dici te, credo sia il valore atteso di X.
Ciao
"lewis":
ESERCIZIO 1
invece la variabile P (di pulcino
Proprio per questo che dici, a me sembra una v.a. Bernoulliana
"lewis":
Devo calcolare la probabilità condizionata: $P(X=3 | A)$ dove A è la probabilità che, da X uova mi nasca un solo pulcino.
Io direi che A è la probabilità che nasca un solo pulcino. Ciò può accadere con un uovo, con due, con tre, ....
"lewis":
Quindi $P(A)=P(P=1) = p * (p-1) ^ (X-1)$ dove X è il numero di uova deposte.
Quindi $P(P=1) = \sum_{k}P(P=1|X=k)*P(X=k)$ (questa volta non mi sbilancio con gli indici..
)Imposterei quindi l'esercizio col teorema di Bayes:
$P(X=3|P=1)=(P(P=1|X=3)*P(X=3))/(P(P=1))$
Fai attenzione a valutare la $P(P=1|X=k)$ ... è una v.a. nota (somma di Bernoulliane indipendenti..
)[ ... anche in questo esercizio comparirà una bella serie... (ma da dove li tira fuori il tuo prof!) ]
"lewis":
ESERCIZIO 2
Come dici te, credo sia il valore atteso di X.
Ciao
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