Esercizi su variabili aleatorie continue definite su intervalli differenti

[stregatto1]

Salve, ho un problema con questo esercizio, potreste aiutarmi?!

Un impiegato per andare al lavoro esce di casa tra le 7:30 e le 8:00 e impiega da 20 a 30 minuti per arrivare alla stazione del treno. Indichiamo con X l’ora alla quale esce di casa e con Y il tempo necessario per arrivare alla stazione. Supponiamo che X e Y siano uniformemente distribuite nei rispettivi intervalli di tempo e inoltre siano indipendenti. L’impiegato ha a disposizione due treni: il primo parte alle 8:05 e il secondo alle 8:25. Entrambi impiegano 35 minuti per arrivare. Si suppone che egli prenda il primo treno disponibile e che l’ubicazione dell’ufficio coincida con il luogo in cui arriva il treno.

Qual è la probabilità che perda entrambi i treni? e la probabilità che perda il primo ma non il
secondo treno?

Sapendo che prende uno o l’altro dei due treni, qualè la probabilità che arrivi al lavoro alle 8:40?

Io ho provato a risolverlo così.

Considero come unità di tempo i minuti e come tempo iniziale le 7:30.
Così dalle 7:30 alle 8:00 sono 30 min e quindi X~U([0,30]) e Y~U([20,30]).
Le due variabili hanno densità di probabilità

$ f_{X}(x)=\frac{1}{30}I_{[0,30]}(x) $
$ f_{Y}(y)=\frac{1}{10}I_{[20,30]}(y) $

Le 8:05 sono 35 min dopo le 7:30 e le 8:25 corrispondono a 55 min dopo le 7:30.
L’evento “perde entrambi i treni” corrisponde a [X+Y>55], mentre “perde il primo ma non il secondo” corrisponde a [35
Poi, e suppongo sia qui l’errore, io cerco di calcolare la densità di probabilità della variabile aleatoria X+Y usando il prodotto di convoluzione, ma temo che non si possa fare avendo intervalli di definizione diversi per le variabili.

$ f_{X+Y}(u)=\int_{0}^{u}f_{X}(x)f_{Y}(u-x)dx=\frac{u}{300} $

Tutto ciò per poter poi calcolare P(X+Y>55) =1- P(X+Y<=55) dove
$ (X+Y\leq 55)=\int_{0}^{55}\frac{u}{300}du $
ma dati i risultati numerici è evidentemente sbagliato.

Qualcuno potrebbe dirmi dove sbaglio?

Sono andata anche a controllare le soluzioni della mia prof e lei calcola
$ P(X+Y>55)=\int_{25}^{30}dx \int_{55-x}^{30}\frac{1}{10}dy=\frac{1}{24} $

ma non ho capito perché ha scelto quegli estremi di integrazione?!
Se poteste aiutarmi sarebbe magnifico… sono in crisi!!!

Grazie mille….
PS spero di non aver fatto casino con le formule...

[retrocomputer]

"stregatto":
Poi, e suppongo sia qui l’errore, io cerco di calcolare la densità di probabilità della variabile aleatoria X+Y usando il prodotto di convoluzione, ma temo che non si possa fare avendo intervalli di definizione diversi per le variabili.

$ f_{X+Y}(u)=\int_{0}^{u}f_{X}(x)f_{Y}(u-x)dx=\frac{u}{300} $

Credo anch'io che l'errore sia qui. Intanto nella formula di convoluzione a me risulta che l'integrale sia tra $-\infty$ e $\infty$... Magari prova a sviluppare i conti e vediamo se sbagli da qualche parte. Mi pare che si debbano distinguere dei casi per trovare la densità, per esempio per $u<30$ e $u>60$, in cui la densità dovrebbe essere nulla, se non ho visto male...

[stregatto1]

si, certamente l'integrale è definito su tutto R, ma ancora non so come cavarmela, scusami ma proprio non riesco a capire come va diviso l'integrale...

$ int_(-oo )^(oo ) f_{X}(x)f_{Y}(u-x)dx $

le funzioni sono
$ f_{X}(x)={ ( 1/30 , x in [0,30]),( 0, x non in [0,30]):} $

$ f_{Y}(y)={ ( 1/10 , x in [20,30]),( 0, x non in [20,30]):} $

quindi l'unico intervallo cui la densità della somma non è nulla è [20, 30]?? o [0,30]???

non so proprio come cavarmela se potessi scrivermi l'integrale da calcolare poi dovrei cavarmela...ma non so proprio come fare..

[retrocomputer]

Premettiamo che la professoressa non ha usato la convoluzione ma un metodo in questo caso più "furbo", cioè utilizzare la densità congiunta di $X$ e $Y$, metodo più rapido in questo caso ma che può portare a qualche difficoltà nell'individuazione dell'insieme del piano reale su cui fare l'integrale doppio.

Comunque con qualche conto in più si arriva alla soluzione anche con la convoluzione.

Nella formula della convoluzione hai che deve essere $0e $20
- intanto vedi che per $u<20$ (prima ho sbagliato!) e $u>30$ il prodotto delle funzioni indicatrici nella formula della convoluzione è nullo (e quindi è nullo anche l'integrale).

Fin qui ci sei?

Vedi se riesci a tirare fuori gli altri tre casi, altrimenti lo vediamo insieme.

[stregatto1]

allora....prima di tutto grazie per la disponibilità....

"retrocomputer":Premettiamo che la professoressa non ha usato la convoluzione ma un metodo in questo caso più "furbo", cioè utilizzare la densità congiunta di $X$ e $Y$, metodo più rapido in questo caso ma che può portare a qualche difficoltà nell'individuazione dell'insieme del piano reale su cui fare l'integrale doppio.

da questa frase ha capito come l'ha risolto la prof e sono riuscita a calcolare anche la probabilità che perda il primo ma non il secondo treno...

"retrocomputer":
- intanto vedi che per $u<20$ (prima ho sbagliato!) e $u>30$ il prodotto delle funzioni indicatrici nella formula della convoluzione è nullo (e quindi è nullo anche l'integrale).

ho capito perché il prodotto di convoluzione è nullo su $u<20$ e $u>30$ ...
potresti spiegarmi invece come trovare gli altri casi, lo so che alla soluzione sono arrivata lo stesso....ma mi interesserebbe capire perché in questo modo non riesco.....

grazie mille!!!

[retrocomputer]

Se non ho commesso errori, la densità di $X+Y$ dovrebbe essere:

$f_{X+Y}(u)={(0 , per\ u<20),( \int_0^(u-20)1/(300)du , per\ 2060):}$

Ti torna?

[stregatto1]

si!!! grazie mille...sei stato chiarissimo.....