Esercizi su v.a. e loro distribuzioni
Un saluto a tutti.
Sto studiando per l'esame di Calcolo delle probabilità (c.d.l. in Matematica, III anno); purtroppo l'impostazione del corso è stata molto teorica (tante noiose dimostrazioni molto tecniche) e non c'è stato tempo di fare più di un paio di lezioni di esercitazioni, perciò sto avendo non poche difficoltà nel tentare di svolgere gli esercizi che il docente ha proposto per la preparazione dell'esame.
Ne riporto di seguito tre, sperando possiate aiutarmi a capirci qualcosa.
1)
Siano dati:
— uno spazio di probabilità ($Omega$, F, P);
— Z v.a. 1dim.
Dimostrare che se
i) la FdD di Z è una funzione continua;
ii) P(Z$>=$0)=1;
iii) per ogni x$>=$0 e per ogni y$>=$0: P(Z=$y)=P(Z
2)
Siano dati due v.a. 1-dim. indipendenti $X_1$, $X_2$. Dimostrare che se $X_1$ è assolutamente continua e $X_2$ è
discreta, allora $X_1 + X_2$ deve essere assolutamente continua.
3)
Siano:
— ($Omega$, F, P) uno spazio di probabilità;
— $X_1, X_2, ..., X_m$ v.a. 1-dim. i.i.d. definite sullo stesso sp. di prob. ($Omega$, F, P).
Dimostrare che
$E(X_k)=0, V(X_k)=1, AAk=1, 2, ..., m => AA lambda>0: P(sum_{k=1}^m X_k ^2>=lambda m)<=1/lambda$
Sebbene brancoli completamente nel buio, riporto di seguito come ho iniziato a "impostare" gli esercizi.
1)
Indico con $F_Z$ la FdD (funzione di distribuzione) di Z.
Da ii) $F_Z(x)$=P(Z$<=$x)=0 se x<0.
Sia x$>=0$
$F_Z(x)=P(Z<=x)=$ da i)
$=P(Z=0$
$=P(Z=y)={P(Z=y)}/{P(Z>=y)}$
E ora non so come proseguire e provare che questa quantità è uguale a $lambda e^(-lambda x)$ per qualche $lambda>0$.
2)
$F_{X_1+X_2}(x)=P(X_1+X_2<=x)=P((X_1, X_2) in A_x)$, dove $A_x={(u,v): u+v<=x}$
Definiti $(A_x)_1={u|EEv: (u,v) in A_x}$ e $(A_x)_2={v|EEu: (u,v) in A_x}$, e stante l'indipendenza delle v.a. in esame
$F_{X_1+X_2}(x)=P(X_1 in (A_x)_1)P(X_2 in (A_x)_2)$
Ora, poiché $X_1$ è discreta, detto $R_{X_1}$ il suo supporto, sappiamo che questo insieme è al più numerabile.
Dunque
$F_{X_1+X_2}(x)=P(X_1 in (A_x)_1nnR_{X_1})P(X_2 in (A_x)_2)=(sum_{u in (A_x)_1nnR_{X_1}} P(u)) (int_{(A_x)_1} f_{X_2}(v) dv)$, dove $f_(X_2)$ è la p.d.f. (funzione di probabilità di densità) della $X_2$.
Posto $phi(x):=sum_{u in (A_x)_1nnR_{X_1}} P(u) in [0,1]$
$F_{X_1+X_2}(x)=phi(x) int_{-infty}^{-u+x} f_{X_2}(v) dv=int_{-infty}^{-u+x} phi(x)f_{X_2}(v) dv$
E qui mi fermo; dovrei dimostrare che $F_{X_1+X_2}(x)=int_{-infty}^{x} g(v) dv$ e provare che g è una p.d.f., ma come?
3)
Sono riuscito a fare solo banali osservazioni:
$V(X_k)=E(X_k^2)$;
$X_1^2, ..., X_m^2$ ancora v.a. i.i.d.;
$P(sum_{k=1}^m X_k^2 >=lambda m)=P((X_1^2, ..., X_m^2) in A)$, dove $A=RR^m - B(0, lambda m)$
E per l'indipendenza
$P(sum_{k=1}^m X_k^2 >=lambda m)=prod_{k=1}^m P(X_k^2 in A_k)$, dove $A_k$ è la sezione k-ma di A
Non so proprio da dove cominciare insomma!
Spero possiate darmi una mano.
Grazie.
Sto studiando per l'esame di Calcolo delle probabilità (c.d.l. in Matematica, III anno); purtroppo l'impostazione del corso è stata molto teorica (tante noiose dimostrazioni molto tecniche) e non c'è stato tempo di fare più di un paio di lezioni di esercitazioni, perciò sto avendo non poche difficoltà nel tentare di svolgere gli esercizi che il docente ha proposto per la preparazione dell'esame.
Ne riporto di seguito tre, sperando possiate aiutarmi a capirci qualcosa.
1)
Siano dati:
— uno spazio di probabilità ($Omega$, F, P);
— Z v.a. 1dim.
Dimostrare che se
i) la FdD di Z è una funzione continua;
ii) P(Z$>=$0)=1;
iii) per ogni x$>=$0 e per ogni y$>=$0: P(Z
2)
Siano dati due v.a. 1-dim. indipendenti $X_1$, $X_2$. Dimostrare che se $X_1$ è assolutamente continua e $X_2$ è
discreta, allora $X_1 + X_2$ deve essere assolutamente continua.
3)
Siano:
— ($Omega$, F, P) uno spazio di probabilità;
— $X_1, X_2, ..., X_m$ v.a. 1-dim. i.i.d. definite sullo stesso sp. di prob. ($Omega$, F, P).
Dimostrare che
$E(X_k)=0, V(X_k)=1, AAk=1, 2, ..., m => AA lambda>0: P(sum_{k=1}^m X_k ^2>=lambda m)<=1/lambda$
Sebbene brancoli completamente nel buio, riporto di seguito come ho iniziato a "impostare" gli esercizi.
1)
Indico con $F_Z$ la FdD (funzione di distribuzione) di Z.
Da ii) $F_Z(x)$=P(Z$<=$x)=0 se x<0.
Sia x$>=0$
$F_Z(x)=P(Z<=x)=$ da i)
$=P(Z
$=P(Z
E ora non so come proseguire e provare che questa quantità è uguale a $lambda e^(-lambda x)$ per qualche $lambda>0$.
2)
$F_{X_1+X_2}(x)=P(X_1+X_2<=x)=P((X_1, X_2) in A_x)$, dove $A_x={(u,v): u+v<=x}$
Definiti $(A_x)_1={u|EEv: (u,v) in A_x}$ e $(A_x)_2={v|EEu: (u,v) in A_x}$, e stante l'indipendenza delle v.a. in esame
$F_{X_1+X_2}(x)=P(X_1 in (A_x)_1)P(X_2 in (A_x)_2)$
Ora, poiché $X_1$ è discreta, detto $R_{X_1}$ il suo supporto, sappiamo che questo insieme è al più numerabile.
Dunque
$F_{X_1+X_2}(x)=P(X_1 in (A_x)_1nnR_{X_1})P(X_2 in (A_x)_2)=(sum_{u in (A_x)_1nnR_{X_1}} P(u)) (int_{(A_x)_1} f_{X_2}(v) dv)$, dove $f_(X_2)$ è la p.d.f. (funzione di probabilità di densità) della $X_2$.
Posto $phi(x):=sum_{u in (A_x)_1nnR_{X_1}} P(u) in [0,1]$
$F_{X_1+X_2}(x)=phi(x) int_{-infty}^{-u+x} f_{X_2}(v) dv=int_{-infty}^{-u+x} phi(x)f_{X_2}(v) dv$
E qui mi fermo; dovrei dimostrare che $F_{X_1+X_2}(x)=int_{-infty}^{x} g(v) dv$ e provare che g è una p.d.f., ma come?
3)
Sono riuscito a fare solo banali osservazioni:
$V(X_k)=E(X_k^2)$;
$X_1^2, ..., X_m^2$ ancora v.a. i.i.d.;
$P(sum_{k=1}^m X_k^2 >=lambda m)=P((X_1^2, ..., X_m^2) in A)$, dove $A=RR^m - B(0, lambda m)$
E per l'indipendenza
$P(sum_{k=1}^m X_k^2 >=lambda m)=prod_{k=1}^m P(X_k^2 in A_k)$, dove $A_k$ è la sezione k-ma di A
Non so proprio da dove cominciare insomma!
Spero possiate darmi una mano.
Grazie.
Risposte
Per il primo la relazione si riscrive come $P(Z>x+y)=P(Z>x)P(Z>y)$ dunque scrivendo $g(x)=P(Z>x)$, hai $g(x+y)=g(x)g(y)$ e devi dimostrare che la funzione $ g(x)=e^{-lambda x}$.
Per il 3) a me pare ci sia di mezzo la definizione della legge chi-quadro e Chebyshev...
$AA lambda>0: P(sum_{k=1}^m X_k ^2>=lambda m)<=1/lambda$
sì è come pensavo basta utilizzare la definizione del chi-quadro $sum_{k=1}^m X_k ^2 \sim \chi^2(m)$, ma non Chebyshev, ma la dis. di Markov
sai che il chi-quadro è una fun. sempre positiva perciò hai gratuita l'applicabilità di Markov:
$P(sum_{k=1}^m X_k ^2>=lambda m) = P(1/m*sum_{k=1}^m X_k ^2 >= 1/m* lambda m) <= {E[1/m *sum_{k=1}^m X_k ^2]}/lambda$
$E[1/m *sum_{k=1}^m X_k ^2] = m/m = 1$
perciò:
$P(sum_{k=1}^m X_k ^2>=lambda m) <= 1/lambda$
basta scriverlo in maniera più formale ed hai finito (salvo errori ovvio...)
sì è come pensavo basta utilizzare la definizione del chi-quadro $sum_{k=1}^m X_k ^2 \sim \chi^2(m)$, ma non Chebyshev, ma la dis. di Markov
sai che il chi-quadro è una fun. sempre positiva perciò hai gratuita l'applicabilità di Markov:
$P(sum_{k=1}^m X_k ^2>=lambda m) = P(1/m*sum_{k=1}^m X_k ^2 >= 1/m* lambda m) <= {E[1/m *sum_{k=1}^m X_k ^2]}/lambda$
$E[1/m *sum_{k=1}^m X_k ^2] = m/m = 1$
perciò:
$P(sum_{k=1}^m X_k ^2>=lambda m) <= 1/lambda$
basta scriverlo in maniera più formale ed hai finito (salvo errori ovvio...)
Dove hai usato la proprietà delle v.a. di essere chi quadro? Il resto è giusto.
"DajeForte":
Dove hai usato la proprietà delle v.a. di essere chi quadro?
no io intendo che è legge chi-quadro.
dato che ogni $X_i$ ha media 0 e varianza 1, sono indipendenti, le ho considerate perciò normali standard. Non è scritto espressamente, ma mi sembra un'applicabilità naturale vedendo come è scritta la sommatoria di v.a.
Comunque credo che non serve dimostrare esser chi-quadro o meno. Ma basta utilizzare le sole def. del valore attesto per dimostrare la disuguaglianza.
Certo ma non puoi assumere (o affermare) che le v.a. siano normali...comunque osserva anche che l'ipotesi che le v.a. siano i.i.d. è superflua.
"DajeForte":
Certo ma non puoi assumere (o affermare) che le v.a. siano normali...
sì, diciamo che si incastrava ben bene se fossereo anche normali. Semplicemente vedendo i vari passaggi per Markov, e che il val. atteso di quella v.a. è proprio $m$, ci stava bene nei ragionamenti
comunque osserva anche che l'ipotesi che le v.a. siano i.i.d. è superflua.
per i meri passaggi direi che hai ragione.
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