Esercizi su lanci di dadi ed estrazioni
Ciao a tutti. Mi sto cimentando con alcuni esercizi di calcolo delle probabilità ed ho dei dubi su svolgimenti e risultati. 
1) Quale dei due eventi ha probabilità maggiore di verificarsi?
$A_1$={esce almeno un uno nel lancio di quattro dadi}; $A_2$={esce almeno un doppio uno in 24 lanci di una coppia di dadi}.
Ho ragionato così: posto $B_i$={esce 1 sul dado i} e $P(B_i)$=1/6, abbiamo che $A_1$ è l'unione disgiunta dei quattro $B_i$, percìò $P(A_1)=P(B_1)+P(B_2)+P(B_3)+P(B_4)=2/3$.
Posto invece $C_i$={esce un doppio 1 al lancio i}, con $P(C_i)=1/36$, abbiamo che $A_2$ è l'unione disgiunta dei 24 $C_i$, e come prima $P(A_2)=2/3$.
2) Una scatola contiene 5 pedine doppie del gioco del domino, contrassegnate dai numeri 1, 2, 3, 4, 5. Si estraggono a caso due pedine, senza rimpiazzo.
i) Calcolare la probabilità che la prima pedina estratta sia contrassegnata da un numero pari.
ii) Calcolare la probabilità che la seconda pedina estratta sia contrassegnata da un numero pari.
iii) Calcolare la probabilità che entrambe le pedine estratte siano contrassegnate da numeri pari.
Questo è ciò che ho fatto: i) Posto $P_i$={esce una pedina con numero pari alla i-esima estrazione}, $D_i$={esce una pedina con numero dispari alla i-esima estrazione}.
Nella scatola, 2 pedine su 5 sono contrassegnate da un numero pari. Perciò $P(P_1)=2/5$.
ii) Abbiamo $P_2=(P_2 nn P_1)uu(P_2 nn D_1)$, e quindi $P(P_2)=P(P_2|P_1)P(P_1)+P(P_2|D_1)P(D_1)=2/5$.
iii) L'evento cercato è $(P_2 nn P_1)$, e quindi $P(P_2 nn P_1)=P(P_2|P_1)P(P_1)=1/10$.
È giusto oppure ho sparato un mucchio di fesserie?
Vi ringrazio in anticipo.
1) Quale dei due eventi ha probabilità maggiore di verificarsi?
$A_1$={esce almeno un uno nel lancio di quattro dadi}; $A_2$={esce almeno un doppio uno in 24 lanci di una coppia di dadi}.
Ho ragionato così: posto $B_i$={esce 1 sul dado i} e $P(B_i)$=1/6, abbiamo che $A_1$ è l'unione disgiunta dei quattro $B_i$, percìò $P(A_1)=P(B_1)+P(B_2)+P(B_3)+P(B_4)=2/3$.
Posto invece $C_i$={esce un doppio 1 al lancio i}, con $P(C_i)=1/36$, abbiamo che $A_2$ è l'unione disgiunta dei 24 $C_i$, e come prima $P(A_2)=2/3$.
2) Una scatola contiene 5 pedine doppie del gioco del domino, contrassegnate dai numeri 1, 2, 3, 4, 5. Si estraggono a caso due pedine, senza rimpiazzo.
i) Calcolare la probabilità che la prima pedina estratta sia contrassegnata da un numero pari.
ii) Calcolare la probabilità che la seconda pedina estratta sia contrassegnata da un numero pari.
iii) Calcolare la probabilità che entrambe le pedine estratte siano contrassegnate da numeri pari.
Questo è ciò che ho fatto: i) Posto $P_i$={esce una pedina con numero pari alla i-esima estrazione}, $D_i$={esce una pedina con numero dispari alla i-esima estrazione}.
Nella scatola, 2 pedine su 5 sono contrassegnate da un numero pari. Perciò $P(P_1)=2/5$.
ii) Abbiamo $P_2=(P_2 nn P_1)uu(P_2 nn D_1)$, e quindi $P(P_2)=P(P_2|P_1)P(P_1)+P(P_2|D_1)P(D_1)=2/5$.
iii) L'evento cercato è $(P_2 nn P_1)$, e quindi $P(P_2 nn P_1)=P(P_2|P_1)P(P_1)=1/10$.
È giusto oppure ho sparato un mucchio di fesserie?
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
"emmeffe90":
È giusto oppure ho sparato un mucchio di fesserie?
ne vedo almeno 3.
Nel punto 1, rivedilo tutto. Ti conviene calcolare la probabilità di entrambi eventi opposti.
Le due probabilità sono di poco differenti, e se ho fatto bene i conti la prima è maggiore.
Per quanto rigurada l'esercizio 1 la prob. di avere almeno un $1$ nel lancio contemporaneo di quattro dadi distinti (che chiamo $A4$) non può essere quella che hai scritto cioè $2/3$, ti dò una motivazione intuitiva del perchè, se avessi non quattro dadi ma sei? seguendo il tuo ragionamento $P(A6)=1$ che non è vero; e se i dadi fossero più di sei la prob. sarebbe maggiore di uno che è chiaramente assurdo.
Se ti è d'aiuto puoi pensare alla prob. che lanciando quattro volte il dado esca almeno una volta $1$ che è identica a qualla che cerchi. Allora la prob. che esca $1$ al primo lancio è $P(A1)=1/6$ la prob. che non esca è $1-P(A1)=5/6$ è data l'indipendenza degli eventi, la prob. che non esca per quattro volte è $(1-P(A1))^4=(5/6)^4=0,482...$ da cui la prob che cerchi, ovvero quella che ci sia almeno un uno in quattro lanci è: $P(A4)=1-0,482...=0,518..$
Se ti è d'aiuto puoi pensare alla prob. che lanciando quattro volte il dado esca almeno una volta $1$ che è identica a qualla che cerchi. Allora la prob. che esca $1$ al primo lancio è $P(A1)=1/6$ la prob. che non esca è $1-P(A1)=5/6$ è data l'indipendenza degli eventi, la prob. che non esca per quattro volte è $(1-P(A1))^4=(5/6)^4=0,482...$ da cui la prob che cerchi, ovvero quella che ci sia almeno un uno in quattro lanci è: $P(A4)=1-0,482...=0,518..$
Innanzitutto vi ringrazio entrambi per le risposte.
Sull'1: avevo anch'io l'impressione che il risultato fosse assurdo, ma al momento non avevo altre idee in mente per risolverlo.
Questo è invece ciò a cui sono pervenuto ragionandoci sopra un altro po' (nella speranza di non dire altre fesserie): con le stesse notazioni di sopra, consideriamo il complementare di $A_1$ l'evento {non esce mai l'1} e lo vediamo come intersezione dei complementari dei vari $B_i$, che essendo i $B_i$ eventi indipendenti, ha come probabilità il prodotto delle probabilità dei quattro eventi, cioè $(5/6)^4$. Perciò $A_1$ ha probabilità $1-(5/6)^4$.
Con ragionamento analogo, $P(A_2)=1-(35/36)^24$, e quindi $P(A_1)>P(A_2)$. Come sempre, corregetemi se sbaglio.
E sul secondo che mi dite?
Sull'1: avevo anch'io l'impressione che il risultato fosse assurdo, ma al momento non avevo altre idee in mente per risolverlo.
Questo è invece ciò a cui sono pervenuto ragionandoci sopra un altro po' (nella speranza di non dire altre fesserie): con le stesse notazioni di sopra, consideriamo il complementare di $A_1$ l'evento {non esce mai l'1} e lo vediamo come intersezione dei complementari dei vari $B_i$, che essendo i $B_i$ eventi indipendenti, ha come probabilità il prodotto delle probabilità dei quattro eventi, cioè $(5/6)^4$. Perciò $A_1$ ha probabilità $1-(5/6)^4$.
Con ragionamento analogo, $P(A_2)=1-(35/36)^24$, e quindi $P(A_1)>P(A_2)$. Come sempre, corregetemi se sbaglio.
E sul secondo che mi dite?
1) Direi perfetto. Anche se non si capisce come fai a dire che $P(A_1) > P(A_2)$, considerato che non le hai calcolate.
2) Ti invito a riflettere su "senza rimpiazzo"
2) Ti invito a riflettere su "senza rimpiazzo"
1)$P(A_1)>P(A_2)<=>1-(5/6)^4>1-(35/36)^24<=>5/6<(35/36)^6<=>1<6/5*(35/36)^6<=>1<367653125/302330880$ (mi ero dimenticato di scrivere qui i calcoli...)
Ora mi concentro sul 2... Quel "senza rimpiazzo" dovrebbe farmi pensare ad un variabile ipergeometrica?
Ora mi concentro sul 2... Quel "senza rimpiazzo" dovrebbe farmi pensare ad un variabile ipergeometrica?
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