Esercizi probabilità e distribuzioni di probabilità
Innanzitutto buona serata a tutti!!
Ho qualche problema con la risoluzione di alcuni esercizi, di seguito mostro il testo e la mia risoluzione.
1)Siano date due urne U1 e U2 tali che U1 contenga 3 palline bianche e 9 palline nere, e U2 contenga 6 palline bianche e 5 nere. Le due urne sono indistinguibili e per individuarle si sceglie a caso un’urna e da essa si estraggono 3 palline. Se la maggioranza delle palline estratte è bianca si attribuisce all’urna l’etichetta U1 mentre in caso contrario le si attribuisce l’etichetta U2. Quale è la probabilità di sbagliare ad individuare le due urne?
Risoluzione
Innanzitutto definisco i seguenti eventi:
EI: errata individuazione delle urne
CI: corretta individuazione delle urne
[tex]{B}_{1}[/tex]: viene estratta una pallina bianca dall'urna 1
[tex]{N}_{1}[/tex]: viene estratta una pallina nera dall'urna 1
[tex]{N}_{2}[/tex]: viene estratta una pallina nera dall'urna 2
[tex]{B}_{2}[/tex]: viene estratta una pallina bianca dall'urna 2
Fatto ciò si ha che
[tex]P(EI) = 1 - P(CI)[/tex]
con
[tex]P(CI) = P(({B}_{1},{B}_{1},{B}_{1}) \cup ({B}_{1},{B}_{1},{N}_{1})) + P(({N}_{2},{N}_{2},{N}_{2}) \cup ({N}_{2},{N}_{2},{B}_{2}))[/tex]
quindi calcolo
[tex]P(({B}_{1},{B}_{1},{B}_{1}) \cup ({B}_{1},{B}_{1},{N}_{1})) = P(({B}_{1},{B}_{1},{B}_{1})) + P(({B}_{1},{B}_{1},{N}_{1})) = \frac{3}{12} \cdot \frac{2}{11} \cdot \frac{1}{10} + \frac{3}{12} \cdot \frac{2}{11} \cdot \frac{9}{10} = \frac{60}{1320} = 0,045[/tex]
[tex]P(({N}_{2},{N}_{2},{N}_{2}) \cup ({N}_{2},{N}_{2},{B}_{2})) = P(({N}_{2},{N}_{2},{N}_{2})) + P(({N}_{2},{N}_{2},{B}_{2})) = \frac{5}{11} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{5}{11} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{180}{990} = 0,18[/tex]
[tex]P(CI) = P(({B}_{1},{B}_{1},{B}_{1}) \cup ({B}_{1},{B}_{1},{N}_{1})) + P(({N}_{2},{N}_{2},{N}_{2}) \cup ({N}_{2},{N}_{2},{B}_{2})) = 0,045 + 0,18 = 0,225[/tex]
[tex]P(EI) = 1 - P(CI) = 1 - 0,225 = 0,775 \cong 77,5%[/tex]
2)Una fabbrica produce telefoni cellulari che sappiamo essere caratterizzati da un numero di difetti funzionali per singolo apparato telefonico avente valor medio pari a 1.5 difetti. Scegliendo in maniera opportuna l’ipotesi circa la distribuzione del numero di errori, si consideri un singolo apparato telefonico prodotto dalla suddetta fabbrica
a)ci chiediamo quale sia la probabilità che esso presenti almeno un difetto funzionale.
b)Inoltre, si determini la probabilità che il dato apparato telefonico presenti meno di 4 difetti funzionali.
Risoluzione
Il problema mi da come dato che [tex]E[X] = 1,5[/tex].
Ora mi pare di aver capito che la distribuzione da utilizzare per variabili aleatorie riguardanti il numero di dfetti su di una unità è quella di Poisson o degli eventi rari.
Detto questo, so che per una distribuzione di Poisson [tex]E[X] = \lambda = 1,5[/tex], quindi procedo:
a) [tex]P(X \leq 1) = e^{-\lambda} + e^{-\lambda} \cdot \lambda = 0,558 \cong 55,8%[/tex]
b) [tex]P(X < 4) = e^{-\lambda} + e^{-\lambda} \cdot \lambda + e^{-\lambda} \cdot \frac{{\lambda}^{2}}{2} + e^{-\lambda} \cdot \frac{{\lambda}^{3}}{6} = 0,934 \cong 93,4%[/tex]
3)Nel Dipartimento di Informatica c’è una stanza riservata a 4 dottorandi, Mario, Sandro, Laura e Federica. In un generico giorno della settimana, ogni dottorando, indipendentemente dagli altri, è presente nella stanza dottorandi con probabilità 0.3. Il coordinatore del dottorato si chiede
a) Quale è il numero minimo di scrivanie da allocare nella stanza dottorandi considerata, se si desidera che ogni dottorando trovi una scrivania disponibile con probabilità maggiore o uguale a 0.9?
b) Se nella stanza vi sono 2 scrivanie, qual è la probabilità che in un generico giorno vi sia almeno un dottorando che non trova posto?
(NOTA: si svolga l’esercizio sfruttando una ben nota distribuzione di probabilità e non tramite il conteggio degli elementi che costituiscono lo spazio campione) (LA RISOLUZIONE PER PURO CONTEGGIO DEGLI ELEMENTI DELLO SPAZIO CAMPIONE NON SARA’ CONSIDERATA VALIDA AI FINI DELLA VALUTAZIONE D’ESAME)
Risoluzione
Per questo ho trovato parecchi problemi.
innanzitutto non riesco a capire quale distribuzione utilizzare.
Io utilizzarei una discreta, ho tentato prima con una Binomiale e poi con una Poisson.
Con la Binominale, una volta messo [tex]p = 0,3[/tex],[tex]x = 4[/tex] ed [tex](1 - p) = 0,7[/tex] [tex]P(X = x) = \binom{n}{x} p^{x}(1-p)^{n - x}[/tex] e posta la formula con le relative sostituizioni uguale a [tex]0,9[/tex] non ho idea di come procedere. Con tale approccio mi esce per forza un valore [tex]n > 4[/tex], poco sensato per il problema in oggetto.
Provando con la Poisson i problemi cui vado in contro sono simili, infatti se pongo [tex]\lambda = 0,3 \cdot n[/tex] non riesco più ad ottenere il valore cercato giungendo poi a [tex]e^{-n} \cdot {n}^{4}[/tex] uguale ai termini noti moltiplicati per [tex]0,9[/tex]... insomma arrivo ad un punto morto, e la teoria studiata non mi aiuta affatto a sbrogliarmi.
4) Vengono venduti prodotti di due tipi diversi, tipo A e tipo B. Una unità di prodotto A presenta un numero di difetti secondo la distribuzione seguente (sia N il numero di difetti):
Una unità di prodotto B presenta un numero di difetti secondo la distribuzione seguente:
a) Supponendo che in un campione casuale siano presenti 2 unità di prodotto B per ogni 5 unità di prodotto A, qual è la distribuzione del numero dei difetti di una generica unità?
b) Qual’è la probabilità che nell’insieme formato da due generiche unità di prodotto vi siano meno di 3 difetti?
Risoluzione
Ora, inizio con il definire la variabile aleatoria bidimensionale in questione:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28A%3BB%29%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%280%2C0%29%20%26%20%5C%5C%20%280%2C1%29%20%26%20%5C%5C%20%281%2C0%29%26%20%5C%5C%20%281%2C1%29%20%26%20%5C%5C%20%282%2C0%29%20%26%20%5C%5C%20%282%2C1%29%5Cend%7Bcases%7D[/img]
da ciò ottengo la funzione di distribuzione discreta congiunta:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%7Bp%7D_%7BA%2CB%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%200%2C375%20%26%20%5Ctext%7Bse%20%7D%20%280%2C0%29%20%5C%5C%200%2C125%20%26%20%5Ctext%7Bse%20%7D%20%280%2C1%29%20%5C%5C%200%2C225%20%26%20%5Ctext%7Bse%20%7D%20%281%2C0%29%20%5C%5C%200%2C075%20%26%20%5Ctext%7Bse%20%7D%20%281%2C1%29%20%5C%5C%200%2C15%20%26%20%5Ctext%7Bse%20%7D%20%282%2C0%29%20%5C%5C%200%2C05%20%26%20%5Ctext%7Bse%20%7D%20%282%2C1%29%5Cend%7Bcases%7D[/img]
a) Non ho idea di come procedere, o meglio mi sembrano indizi inutili/ingannevoli quelli sulle quantità delle unità analizzate relativamente ad un campione. Peraltro nel testo si fa cenno ad un "capione" solo nel punto a) in quanto le distribuzioni discrete relative alle singole unità A e B sono riferite ad una ed una sola unità di prodotto, non a 5 ne a 2...
Come faccio poi a definire la distribuzione di una generica unità. Tuttalpiù posso definire le marginali data la distribuzione discreta congiunta da me definita sopra, la distribuzione di una unità casuale non so come definirla, potrei pensarla come la soma delle marginali ma avrei che $ sum_(t = 0)^(2)p_{C}(t) \ne 1 $ e non sarebbe quindi una distribuzione discreta di probabilità.
Pertanto in questo caso buio totale: non so come muovermi!!
b)Questa penso di averla interpretata correttamente, della serie che se pongo
[tex]D = A + B[/tex] e trovo
[tex]p_{D}(0) = p_{A,B}(0,0) = 0,375[/tex]
[tex]p_{D}(1) = p_{A,B}(0,1) + p_{A,B}(1,0)= 0,125 + 0,225 = 0,35[/tex]
[tex]p_{D}(2) = p_{A,B}(1,1) + p_{A,B}(2,0)= 0,075 + 0,15 = 0,225[/tex]
da ciò trovo che
$ F_{D}(2) = sum_(t =0)^2 p_{C}(t) = p_{C}(0) + p_{C}(1) + p_{C}(2) = 0,375 + 0,35 + 0,225 = 0,95 \cong 95% $ il medesimo risultato era raggiungibile anche come [tex]F_{D}(2) = 1 - p_{D}(3)[/tex].
Vi ringrazio per l'attenzione prestatami.
Ancora buona serata!!
Ho qualche problema con la risoluzione di alcuni esercizi, di seguito mostro il testo e la mia risoluzione.
1)Siano date due urne U1 e U2 tali che U1 contenga 3 palline bianche e 9 palline nere, e U2 contenga 6 palline bianche e 5 nere. Le due urne sono indistinguibili e per individuarle si sceglie a caso un’urna e da essa si estraggono 3 palline. Se la maggioranza delle palline estratte è bianca si attribuisce all’urna l’etichetta U1 mentre in caso contrario le si attribuisce l’etichetta U2. Quale è la probabilità di sbagliare ad individuare le due urne?
Risoluzione
Innanzitutto definisco i seguenti eventi:
EI: errata individuazione delle urne
CI: corretta individuazione delle urne
[tex]{B}_{1}[/tex]: viene estratta una pallina bianca dall'urna 1
[tex]{N}_{1}[/tex]: viene estratta una pallina nera dall'urna 1
[tex]{N}_{2}[/tex]: viene estratta una pallina nera dall'urna 2
[tex]{B}_{2}[/tex]: viene estratta una pallina bianca dall'urna 2
Fatto ciò si ha che
[tex]P(EI) = 1 - P(CI)[/tex]
con
[tex]P(CI) = P(({B}_{1},{B}_{1},{B}_{1}) \cup ({B}_{1},{B}_{1},{N}_{1})) + P(({N}_{2},{N}_{2},{N}_{2}) \cup ({N}_{2},{N}_{2},{B}_{2}))[/tex]
quindi calcolo
[tex]P(({B}_{1},{B}_{1},{B}_{1}) \cup ({B}_{1},{B}_{1},{N}_{1})) = P(({B}_{1},{B}_{1},{B}_{1})) + P(({B}_{1},{B}_{1},{N}_{1})) = \frac{3}{12} \cdot \frac{2}{11} \cdot \frac{1}{10} + \frac{3}{12} \cdot \frac{2}{11} \cdot \frac{9}{10} = \frac{60}{1320} = 0,045[/tex]
[tex]P(({N}_{2},{N}_{2},{N}_{2}) \cup ({N}_{2},{N}_{2},{B}_{2})) = P(({N}_{2},{N}_{2},{N}_{2})) + P(({N}_{2},{N}_{2},{B}_{2})) = \frac{5}{11} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{5}{11} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{180}{990} = 0,18[/tex]
[tex]P(CI) = P(({B}_{1},{B}_{1},{B}_{1}) \cup ({B}_{1},{B}_{1},{N}_{1})) + P(({N}_{2},{N}_{2},{N}_{2}) \cup ({N}_{2},{N}_{2},{B}_{2})) = 0,045 + 0,18 = 0,225[/tex]
[tex]P(EI) = 1 - P(CI) = 1 - 0,225 = 0,775 \cong 77,5%[/tex]
2)Una fabbrica produce telefoni cellulari che sappiamo essere caratterizzati da un numero di difetti funzionali per singolo apparato telefonico avente valor medio pari a 1.5 difetti. Scegliendo in maniera opportuna l’ipotesi circa la distribuzione del numero di errori, si consideri un singolo apparato telefonico prodotto dalla suddetta fabbrica
a)ci chiediamo quale sia la probabilità che esso presenti almeno un difetto funzionale.
b)Inoltre, si determini la probabilità che il dato apparato telefonico presenti meno di 4 difetti funzionali.
Risoluzione
Il problema mi da come dato che [tex]E[X] = 1,5[/tex].
Ora mi pare di aver capito che la distribuzione da utilizzare per variabili aleatorie riguardanti il numero di dfetti su di una unità è quella di Poisson o degli eventi rari.
Detto questo, so che per una distribuzione di Poisson [tex]E[X] = \lambda = 1,5[/tex], quindi procedo:
a) [tex]P(X \leq 1) = e^{-\lambda} + e^{-\lambda} \cdot \lambda = 0,558 \cong 55,8%[/tex]
b) [tex]P(X < 4) = e^{-\lambda} + e^{-\lambda} \cdot \lambda + e^{-\lambda} \cdot \frac{{\lambda}^{2}}{2} + e^{-\lambda} \cdot \frac{{\lambda}^{3}}{6} = 0,934 \cong 93,4%[/tex]
3)Nel Dipartimento di Informatica c’è una stanza riservata a 4 dottorandi, Mario, Sandro, Laura e Federica. In un generico giorno della settimana, ogni dottorando, indipendentemente dagli altri, è presente nella stanza dottorandi con probabilità 0.3. Il coordinatore del dottorato si chiede
a) Quale è il numero minimo di scrivanie da allocare nella stanza dottorandi considerata, se si desidera che ogni dottorando trovi una scrivania disponibile con probabilità maggiore o uguale a 0.9?
b) Se nella stanza vi sono 2 scrivanie, qual è la probabilità che in un generico giorno vi sia almeno un dottorando che non trova posto?
(NOTA: si svolga l’esercizio sfruttando una ben nota distribuzione di probabilità e non tramite il conteggio degli elementi che costituiscono lo spazio campione) (LA RISOLUZIONE PER PURO CONTEGGIO DEGLI ELEMENTI DELLO SPAZIO CAMPIONE NON SARA’ CONSIDERATA VALIDA AI FINI DELLA VALUTAZIONE D’ESAME)
Risoluzione
Per questo ho trovato parecchi problemi.
innanzitutto non riesco a capire quale distribuzione utilizzare.
Io utilizzarei una discreta, ho tentato prima con una Binomiale e poi con una Poisson.
Con la Binominale, una volta messo [tex]p = 0,3[/tex],[tex]x = 4[/tex] ed [tex](1 - p) = 0,7[/tex] [tex]P(X = x) = \binom{n}{x} p^{x}(1-p)^{n - x}[/tex] e posta la formula con le relative sostituizioni uguale a [tex]0,9[/tex] non ho idea di come procedere. Con tale approccio mi esce per forza un valore [tex]n > 4[/tex], poco sensato per il problema in oggetto.
Provando con la Poisson i problemi cui vado in contro sono simili, infatti se pongo [tex]\lambda = 0,3 \cdot n[/tex] non riesco più ad ottenere il valore cercato giungendo poi a [tex]e^{-n} \cdot {n}^{4}[/tex] uguale ai termini noti moltiplicati per [tex]0,9[/tex]... insomma arrivo ad un punto morto, e la teoria studiata non mi aiuta affatto a sbrogliarmi.
4) Vengono venduti prodotti di due tipi diversi, tipo A e tipo B. Una unità di prodotto A presenta un numero di difetti secondo la distribuzione seguente (sia N il numero di difetti):
| N | 0 | 1 | 2 |
Una unità di prodotto B presenta un numero di difetti secondo la distribuzione seguente:
| N | 0 | 1 |
a) Supponendo che in un campione casuale siano presenti 2 unità di prodotto B per ogni 5 unità di prodotto A, qual è la distribuzione del numero dei difetti di una generica unità?
b) Qual’è la probabilità che nell’insieme formato da due generiche unità di prodotto vi siano meno di 3 difetti?
Risoluzione
Ora, inizio con il definire la variabile aleatoria bidimensionale in questione:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28A%3BB%29%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%280%2C0%29%20%26%20%5C%5C%20%280%2C1%29%20%26%20%5C%5C%20%281%2C0%29%26%20%5C%5C%20%281%2C1%29%20%26%20%5C%5C%20%282%2C0%29%20%26%20%5C%5C%20%282%2C1%29%5Cend%7Bcases%7D[/img]
da ciò ottengo la funzione di distribuzione discreta congiunta:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%7Bp%7D_%7BA%2CB%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%200%2C375%20%26%20%5Ctext%7Bse%20%7D%20%280%2C0%29%20%5C%5C%200%2C125%20%26%20%5Ctext%7Bse%20%7D%20%280%2C1%29%20%5C%5C%200%2C225%20%26%20%5Ctext%7Bse%20%7D%20%281%2C0%29%20%5C%5C%200%2C075%20%26%20%5Ctext%7Bse%20%7D%20%281%2C1%29%20%5C%5C%200%2C15%20%26%20%5Ctext%7Bse%20%7D%20%282%2C0%29%20%5C%5C%200%2C05%20%26%20%5Ctext%7Bse%20%7D%20%282%2C1%29%5Cend%7Bcases%7D[/img]
a) Non ho idea di come procedere, o meglio mi sembrano indizi inutili/ingannevoli quelli sulle quantità delle unità analizzate relativamente ad un campione. Peraltro nel testo si fa cenno ad un "capione" solo nel punto a) in quanto le distribuzioni discrete relative alle singole unità A e B sono riferite ad una ed una sola unità di prodotto, non a 5 ne a 2...
Come faccio poi a definire la distribuzione di una generica unità. Tuttalpiù posso definire le marginali data la distribuzione discreta congiunta da me definita sopra, la distribuzione di una unità casuale non so come definirla, potrei pensarla come la soma delle marginali ma avrei che $ sum_(t = 0)^(2)p_{C}(t) \ne 1 $ e non sarebbe quindi una distribuzione discreta di probabilità.
Pertanto in questo caso buio totale: non so come muovermi!!
b)Questa penso di averla interpretata correttamente, della serie che se pongo
[tex]D = A + B[/tex] e trovo
[tex]p_{D}(0) = p_{A,B}(0,0) = 0,375[/tex]
[tex]p_{D}(1) = p_{A,B}(0,1) + p_{A,B}(1,0)= 0,125 + 0,225 = 0,35[/tex]
[tex]p_{D}(2) = p_{A,B}(1,1) + p_{A,B}(2,0)= 0,075 + 0,15 = 0,225[/tex]
da ciò trovo che
$ F_{D}(2) = sum_(t =0)^2 p_{C}(t) = p_{C}(0) + p_{C}(1) + p_{C}(2) = 0,375 + 0,35 + 0,225 = 0,95 \cong 95% $ il medesimo risultato era raggiungibile anche come [tex]F_{D}(2) = 1 - p_{D}(3)[/tex].
Vi ringrazio per l'attenzione prestatami.
Ancora buona serata!!
Risposte
Nel primo esercizio andava così:
$3/12*2/11*1/10+3/12*2/11*9/10*3=168/1320=7/55=0,127$
e
$5/11*4/10*3/9+5/11*4/10*6/9*3=420/990=14/33=0,424$
Devi moltiplicare per 3, perchè la pallina dell'altro colore può essere in una qualsiasi delle tre posizioni.
Ma pensandoci bene, il testo mi sembra assurdo.
Non è che sia il contrario: cioè se la maggioranza delle palline è bianca, si etichetta l'urna U2 e se la maggioranza delle palline è nera, si etichetta l'urna U1.
Perchè messo come hai scritto tu, non ha proprio senso....
$3/12*2/11*1/10+3/12*2/11*9/10*3=168/1320=7/55=0,127$
e
$5/11*4/10*3/9+5/11*4/10*6/9*3=420/990=14/33=0,424$
Devi moltiplicare per 3, perchè la pallina dell'altro colore può essere in una qualsiasi delle tre posizioni.
Ma pensandoci bene, il testo mi sembra assurdo.
Non è che sia il contrario: cioè se la maggioranza delle palline è bianca, si etichetta l'urna U2 e se la maggioranza delle palline è nera, si etichetta l'urna U1.
Perchè messo come hai scritto tu, non ha proprio senso....
"Howard_Wolowitz":
Ora mi pare di aver capito che la distribuzione da utilizzare per variabili aleatorie riguardanti il numero di dfetti su di una unità è quella di Poisson o degli eventi rari.
Detto questo, so che per una distribuzione di Poisson [tex]E[X] = \lambda = 1,5[/tex], quindi procedo:
mi sembra accettabile.
"Howard_Wolowitz":
a) [tex]P(X \leq 1) = e^{-\lambda} + e^{-\lambda} \cdot \lambda = 0,558 \cong 55,8%[/tex]
ti chiede almeno uno quindi $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$
"Howard_Wolowitz":
b) [tex]P(X < 4)[/tex]
ok
"Howard_Wolowitz":
Risoluzione
Per questo ho trovato parecchi problemi.
innanzitutto non riesco a capire quale distribuzione utilizzare.
Io utilizzarei una discreta, ho tentato prima con una Binomiale e poi con una Poisson.
Con la Binominale, una volta messo \( p = 0,3 \),\( x = 4 \) ed \( (1 - p) = 0,7 \) \( P(X = x) = \binom{n}{x} p^{x}(1-p)^{n - x} \) e posta la formula con le relative sostituizioni uguale a \( 0,9 \) non ho idea di come procedere. Con tale approccio mi esce per forza un valore \( n > 4 \), poco sensato per il problema in oggetto.
Provando con la Poisson i problemi cui vado in contro sono simili, infatti se pongo \( \lambda = 0,3 \cdot n \) non riesco più ad ottenere il valore cercato giungendo poi a \( e^{-n} \cdot {n}^{4} \) uguale ai termini noti moltiplicati per \( 0,9 \)... insomma arrivo ad un punto morto, e la teoria studiata non mi aiuta affatto a sbrogliarmi.
Sicuro è una Binomiale.
Per numero minimo si intenderà il numero massimo di persone che stanno nella stanza nello stesso momento con prob. approssimativa 0.9. con qualche conticino semplici ci arrivi senza nessun problema.
Ringrazio entrambi per le soluzioni proposte!!
@superpippone: per il primo esercizio il testo è quello che ho scritto. Penso sia fatto di proposito, proprio perchè in quel modo è più "facile" sbagliare urna.
Per il 3° esercizio proporrei la seguente risoluzione:
a) Quello che mi traeva in inganno erano il numero di scrivanie da allocare ed infatti ero portato a pensare il parametro [tex]n[/tex] della distribuzione binomiale come variabile.
In realtà [tex]n[/tex] è da considerare fisso uguale a [tex]4[/tex], ovvero il numero massimo di dottorandi, ed il parametro che deve variare è [tex]x[/tex]. Con la binomiale si trova quindi la probabilità che arrivino [tex]X = t[/tex] dottorandi in uno stesso giorno. Da ciò, imponendo il problema la condizione [tex]P(X \leq t) \geq 0,9[/tex] devo trovare il valore di [tex]t \in [0;4][/tex] per cui $ sum_(x = 0)^(t) P(X = x) \geq 0,9 $, ovvero il numero massimo di dottorandi presenti in un dato giorno nella stanza.
Da ciò trovo che [tex]t = 2[/tex]. Quindi il numero minimo di scrivanie da allocare per consentire ad ogni dottorando presente di trovare posto con probabilità maggiore o uguale a [tex]0,9[/tex] è [tex]2[/tex].
b) Per il secondo punto, chiedendomi qual'è la probabilità che con due scrivanie almeno un dottorando non trovi posto(denominando questo evento A), o meglio che arrivino più di due dottorandi.
Il calcolo da fare è il seguente:
[tex]P(A) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 0,9163 = 0,0837[/tex].
Trovate corretti questi calcoli e queste considerazioni?
Avete soluzioni o consigli su come affrontare l'esercizio 4?
Grazi mille ancora ed a presto!!
@superpippone: per il primo esercizio il testo è quello che ho scritto. Penso sia fatto di proposito, proprio perchè in quel modo è più "facile" sbagliare urna.
Per il 3° esercizio proporrei la seguente risoluzione:
a) Quello che mi traeva in inganno erano il numero di scrivanie da allocare ed infatti ero portato a pensare il parametro [tex]n[/tex] della distribuzione binomiale come variabile.
In realtà [tex]n[/tex] è da considerare fisso uguale a [tex]4[/tex], ovvero il numero massimo di dottorandi, ed il parametro che deve variare è [tex]x[/tex]. Con la binomiale si trova quindi la probabilità che arrivino [tex]X = t[/tex] dottorandi in uno stesso giorno. Da ciò, imponendo il problema la condizione [tex]P(X \leq t) \geq 0,9[/tex] devo trovare il valore di [tex]t \in [0;4][/tex] per cui $ sum_(x = 0)^(t) P(X = x) \geq 0,9 $, ovvero il numero massimo di dottorandi presenti in un dato giorno nella stanza.
Da ciò trovo che [tex]t = 2[/tex]. Quindi il numero minimo di scrivanie da allocare per consentire ad ogni dottorando presente di trovare posto con probabilità maggiore o uguale a [tex]0,9[/tex] è [tex]2[/tex].
b) Per il secondo punto, chiedendomi qual'è la probabilità che con due scrivanie almeno un dottorando non trovi posto(denominando questo evento A), o meglio che arrivino più di due dottorandi.
Il calcolo da fare è il seguente:
[tex]P(A) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 0,9163 = 0,0837[/tex].
Trovate corretti questi calcoli e queste considerazioni?
Avete soluzioni o consigli su come affrontare l'esercizio 4?
Grazi mille ancora ed a presto!!
Nessun suggerimento per l'esercizio 4?
Pubblico i seguenti due esercizi e relative risoluzioni.
1)Uno staff di ricerca aerospaziale è costituito da 12 ricercatori. Il capo dello staff decide di formare 3 gruppi dedicati ad un nuovo progetto (ogni ricercatore appartiene ad uno ed un solo gruppo). Ai gruppi sono associati compiti differenti; “Strumentazione”, costituito da 5 individui, “Progettazione”, costituito da 4 individui e “Computazione”.
a)In quanti modi possono essere ripartiti i ricercatori?
b)Sapendo che uno dei ricercatori desidera lavorare nel gruppo “Progettazione”, quale è la probabilità che formando a caso i tre gruppi la soluzione trovata vada bene a tale ricercatore?
Risoluzione:
a)I ricercatori possono essere ripartiti in:
[tex]\binom{12}{5} \cdot \binom{7}{5} \cdot \binom{2}{2} = 24948[/tex] modi
b)La probabilità che tale ricercatore sia soddisfatto della formazione casuale dei gruppi è:
[tex]\frac{\binom{12}{5}}{24948} = \frac{792}{24948} = 0,0317 \cong 31,7%[/tex]
2)Sappiamo che un manuale software è caratterizzato da un numero di errori ortografici per singola pagina avente valor medio pari a 2.5 errori per pagina. Scegliendo in maniera opportuna l’ipotesi circa la distribuzione del numero di errori, si consideri una data pagina del manuale:
a)ci chiediamo quale sia la probabilità che vi sia almeno un errore nella pagina.
b)si determini la probabilità che nella data pagina vi siano più di 3 errori ortografici
Risoluzione:
Utilizzo la distribuzione di Poisson.
[tex]E[X] = 2,5 = \lambda[/tex]
a) [tex]P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = e^{-2,5} + e^{-2,5} \cdot 2,5 = 0,2873 \cong 28,73%[/tex]
b) Devo trovare [tex]P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3)[/tex]
[tex]P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = e^{-2,5} + e^{-2,5} \cdot 2,5 + e^{-2,5} \cdot \frac{{2,5}^2}{2!} + e^{-2,5} \cdot \frac{{2,5}^3}{3!} = 0,7576[/tex]
[tex]P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - 0,7576 = 0,2424 \cong 24,24%[/tex]
Pubblico i seguenti due esercizi e relative risoluzioni.
1)Uno staff di ricerca aerospaziale è costituito da 12 ricercatori. Il capo dello staff decide di formare 3 gruppi dedicati ad un nuovo progetto (ogni ricercatore appartiene ad uno ed un solo gruppo). Ai gruppi sono associati compiti differenti; “Strumentazione”, costituito da 5 individui, “Progettazione”, costituito da 4 individui e “Computazione”.
a)In quanti modi possono essere ripartiti i ricercatori?
b)Sapendo che uno dei ricercatori desidera lavorare nel gruppo “Progettazione”, quale è la probabilità che formando a caso i tre gruppi la soluzione trovata vada bene a tale ricercatore?
Risoluzione:
a)I ricercatori possono essere ripartiti in:
[tex]\binom{12}{5} \cdot \binom{7}{5} \cdot \binom{2}{2} = 24948[/tex] modi
b)La probabilità che tale ricercatore sia soddisfatto della formazione casuale dei gruppi è:
[tex]\frac{\binom{12}{5}}{24948} = \frac{792}{24948} = 0,0317 \cong 31,7%[/tex]
2)Sappiamo che un manuale software è caratterizzato da un numero di errori ortografici per singola pagina avente valor medio pari a 2.5 errori per pagina. Scegliendo in maniera opportuna l’ipotesi circa la distribuzione del numero di errori, si consideri una data pagina del manuale:
a)ci chiediamo quale sia la probabilità che vi sia almeno un errore nella pagina.
b)si determini la probabilità che nella data pagina vi siano più di 3 errori ortografici
Risoluzione:
Utilizzo la distribuzione di Poisson.
[tex]E[X] = 2,5 = \lambda[/tex]
a) [tex]P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = e^{-2,5} + e^{-2,5} \cdot 2,5 = 0,2873 \cong 28,73%[/tex]
b) Devo trovare [tex]P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3)[/tex]
[tex]P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = e^{-2,5} + e^{-2,5} \cdot 2,5 + e^{-2,5} \cdot \frac{{2,5}^2}{2!} + e^{-2,5} \cdot \frac{{2,5}^3}{3!} = 0,7576[/tex]
[tex]P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - 0,7576 = 0,2424 \cong 24,24%[/tex]
Premetto che per l'esercizio 2 non ho alcuna competenza.
Per quanto riguarda l'esercizio 1, alla lettera a) a me viene $27.720$ (nel gruppo progettazione sono in 4 e non in 5).
Per la lettera b) molto semplicemente $4/12=1/3=33,33333333%$
Per quanto riguarda l'esercizio 1, alla lettera a) a me viene $27.720$ (nel gruppo progettazione sono in 4 e non in 5).
Per la lettera b) molto semplicemente $4/12=1/3=33,33333333%$
Caspita, hai ragione per entrambi i punti, che errori!
Il primo di disattenzione; per il secondo mi accorgo solo ora che non vuole dire assolutamente nulla estrarre 4 persone da un gruppo di dodici e dividere il numero di "quartine"(io ho messo cinque per l'errore sul gruppo progettazione)... alla fine la soluzione più semplice è quella corretta...
Il primo di disattenzione; per il secondo mi accorgo solo ora che non vuole dire assolutamente nulla estrarre 4 persone da un gruppo di dodici e dividere il numero di "quartine"(io ho messo cinque per l'errore sul gruppo progettazione)... alla fine la soluzione più semplice è quella corretta...
"Howard_Wolowitz":
a) Quello che mi traeva in inganno erano il numero di scrivanie da allocare ed infatti ero portato a pensare il parametro [tex]n[/tex] della distribuzione binomiale come variabile.
In realtà [tex]n[/tex] è da considerare fisso uguale a [tex]4[/tex],
questo mi sembra ovvio. Nella Binomiale il valore $n$ corrisponde alla grandezza dei valori possibili e non cambia mai.
ovvero il numero massimo di dottorandi, ed il parametro che deve variare è [tex]x[/tex]. Con la binomiale si trova quindi la probabilità che arrivino [tex]X = t[/tex] dottorandi in uno stesso giorno. Da ciò, imponendo il problema la condizione [tex]P(X \leq t) \geq 0,9[/tex] devo trovare il valore di [tex]t \in [0;4][/tex] per cui $ sum_(x = 0)^(t) P(X = x) \geq 0,9 $, ovvero il numero massimo di dottorandi presenti in un dato giorno nella stanza.
Da ciò trovo che [tex]t = 2[/tex]. Quindi il numero minimo di scrivanie da allocare per consentire ad ogni dottorando presente di trovare posto con probabilità maggiore o uguale a [tex]0,9[/tex] è [tex]2[/tex].
mi sembra ok.
b) Per il secondo punto, chiedendomi qual'è la probabilità che con due scrivanie almeno un dottorando non trovi posto(denominando questo evento A), o meglio che arrivino più di due dottorandi.
Il calcolo da fare è il seguente:
[tex]P(A) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 0,9163 = 0,0837[/tex].
sembra ok anche questo.
"Howard_Wolowitz":
2)Sappiamo che un manuale software è caratterizzato da un numero di errori ortografici per singola pagina avente valor medio pari a 2.5 errori per pagina. Scegliendo in maniera opportuna l’ipotesi circa la distribuzione del numero di errori, si consideri una data pagina del manuale:
2.5 errori medi in una pagina, è Poisson ok.
P(X=x) è la prob. che ci siano x errori in una pagina.
"Howard_Wolowitz":
a)ci chiediamo quale sia la probabilità che vi sia almeno un errore nella pagina.
a) [tex]P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = e^{-2,5} + e^{-2,5} \cdot 2,5 = 0,2873 \cong 28,73%[/tex]
perchè metti $<=$? è lo stesso errore che hai fatti nell'esercizio 2.a) del primo post.
almeno uno vuol dire $P(>=1) = 1 - P(<1)$
ripensa meglio tali eventi e relative probabilità.
"Howard_Wolowitz":
b) Devo trovare [tex]P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3)[/tex]
[tex]P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = e^{-2,5} + e^{-2,5} \cdot 2,5 + e^{-2,5} \cdot \frac{{2,5}^2}{2!} + e^{-2,5} \cdot \frac{{2,5}^3}{3!} = 0,7576[/tex]
[tex]P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - 0,7576 = 0,2424 \cong 24,24%[/tex]
ok.
"superpippone":
Nel primo esercizio andava così:
$3/12*2/11*1/10+3/12*2/11*9/10*3=168/1320=7/55=0,127$
e
$5/11*4/10*3/9+5/11*4/10*6/9*3=420/990=14/33=0,424$
Devi moltiplicare per 3, perchè la pallina dell'altro colore può essere in una qualsiasi delle tre posizioni.
Ma pensandoci bene, il testo mi sembra assurdo.
Non è che sia il contrario: cioè se la maggioranza delle palline è bianca, si etichetta l'urna U2 e se la maggioranza delle palline è nera, si etichetta l'urna U1.
Perchè messo come hai scritto tu, non ha proprio senso....
Scusate l'intromissione, comunque il testo dice proprio quello.. ma ammettendo lo stesso tipo di esercizio con lo stesso tipo di richieste solo che invece di pescare 3 palline ne pesca 5, al posto di moltiplicare per 3, per quale numero dovrei moltiplicare?
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