Esercizi probabilità chi quadrato,Poisson,intervallo confidenza,disposizioni
Salve,vi propongo alcuni esercizi
1)Ho una serratura a combinazione con 3 dischi su uno stesso asse,ogni disco ciascun disco è diviso in 6 settori distinti con numeri da 1 a 6. La serratura si apre se allineo i 3 numeri corretti.Vogliamo calcolare la probabilità di trovare la combinazione giusta al 4 quarto tentativo, ipotizzando però che ogni combinazione sia diversa dalla precedente..ad esempio 264, 351,123, 416.
2)Sapendo che $1/(1-2t)^(1/2)$ è la funzione generatrice dei momenti di una variabile aleatoria costituita dal quadrato di una variabile aleatoria Gaussiana Standard , si calcoli media e varianza della variabile aleatoria Y = 2 + 3K con K variabile aleatoria Chi Quadrato con n gradi di libertà .
3)Si consideri un campione con 16 lampadine aventi una vita media di 3000 ore ed uno scarto tipo di 20 ore. Assumendo una Cdf delle durate di tipo normale di paramentri $mu$ e $sigma$,si valuti l’intervallo di confidenza di mi al livello $1-alpha = 0.9$
4)Ho 1000 componenti,la probabilità di guasto è pari a p=0.001. Si calcoli la probabilità di guasto di almeno due componenti
Vi dico come li ho svolti,in ordine sparso.
4) Ho approssimato il modello binomiale con p=0.001 ed n=1000 ad un modello di Poisson,fissando $mu=np=1$.
Dunque fissata la v.a. Y=numero guasti
$Pr(Y>=2)=1-Pr(Y<2)=sum_{y=0}^1 (mu^y*e^-mu)/(y!)$
con risultato $1-e^-mu-e^-mu=0.26$
3)essendo noto lo scarto tipo,ho usato la funzione ancillare $U =( bar(X)-mu )/(sigma/(sqrtn)$
valutando l'intervallo
$Pr( -u alpha /2 < (x - mu)/(sigma/sqrtn) < u alpha /2) = 1-alpha$
trovato $u alpha /2=1.650$
$Prx-(u alpha /2)*(sigma/sqrtn)< mu< x+(u alpha /2)*(sigma/sqrtn)$
1)Ho valutato la disposizione di n=18 elementi su k=3 posti
Le combinazioni saranno
${18!}/{(18-3)!}=4896$
di cui solo una è quella corretta
La probabilità di indovinare al primo tentativo l'ho calcolata come:
$4895/4896*4894/4895*4893/4894*1/4893$
2) su questo esercizio ho i maggiori dubbi,dico la verità non ero molto ferrata e sono andata per intuito.
Ho letto dal libro che la variabile chi quadrato ha la stessa Mgf proposta,per cui ho semplicemente derivato nel punto t=0 e ottenuto media e varianza.
Non mi dilungo nella descrizione di questo ultimo esercizio,ditemi se ho sbagliato completamente strada o c'è qualcosa di buono nel ragionamento,ed io vi riporterò tutto l'esercizio che ho scritto.
Vi prego di dare un'occhiata,è molto importante.
Vi ringrazio anticipatamente.
1)Ho una serratura a combinazione con 3 dischi su uno stesso asse,ogni disco ciascun disco è diviso in 6 settori distinti con numeri da 1 a 6. La serratura si apre se allineo i 3 numeri corretti.Vogliamo calcolare la probabilità di trovare la combinazione giusta al 4 quarto tentativo, ipotizzando però che ogni combinazione sia diversa dalla precedente..ad esempio 264, 351,123, 416.
2)Sapendo che $1/(1-2t)^(1/2)$ è la funzione generatrice dei momenti di una variabile aleatoria costituita dal quadrato di una variabile aleatoria Gaussiana Standard , si calcoli media e varianza della variabile aleatoria Y = 2 + 3K con K variabile aleatoria Chi Quadrato con n gradi di libertà .
3)Si consideri un campione con 16 lampadine aventi una vita media di 3000 ore ed uno scarto tipo di 20 ore. Assumendo una Cdf delle durate di tipo normale di paramentri $mu$ e $sigma$,si valuti l’intervallo di confidenza di mi al livello $1-alpha = 0.9$
4)Ho 1000 componenti,la probabilità di guasto è pari a p=0.001. Si calcoli la probabilità di guasto di almeno due componenti
Vi dico come li ho svolti,in ordine sparso.
4) Ho approssimato il modello binomiale con p=0.001 ed n=1000 ad un modello di Poisson,fissando $mu=np=1$.
Dunque fissata la v.a. Y=numero guasti
$Pr(Y>=2)=1-Pr(Y<2)=sum_{y=0}^1 (mu^y*e^-mu)/(y!)$
con risultato $1-e^-mu-e^-mu=0.26$
3)essendo noto lo scarto tipo,ho usato la funzione ancillare $U =( bar(X)-mu )/(sigma/(sqrtn)$
valutando l'intervallo
$Pr( -u alpha /2 < (x - mu)/(sigma/sqrtn) < u alpha /2) = 1-alpha$
trovato $u alpha /2=1.650$
$Prx-(u alpha /2)*(sigma/sqrtn)< mu< x+(u alpha /2)*(sigma/sqrtn)$
1)Ho valutato la disposizione di n=18 elementi su k=3 posti
Le combinazioni saranno
${18!}/{(18-3)!}=4896$
di cui solo una è quella corretta
La probabilità di indovinare al primo tentativo l'ho calcolata come:
$4895/4896*4894/4895*4893/4894*1/4893$
2) su questo esercizio ho i maggiori dubbi,dico la verità non ero molto ferrata e sono andata per intuito.
Ho letto dal libro che la variabile chi quadrato ha la stessa Mgf proposta,per cui ho semplicemente derivato nel punto t=0 e ottenuto media e varianza.
Non mi dilungo nella descrizione di questo ultimo esercizio,ditemi se ho sbagliato completamente strada o c'è qualcosa di buono nel ragionamento,ed io vi riporterò tutto l'esercizio che ho scritto.
Vi prego di dare un'occhiata,è molto importante.
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
"bluevelvet":
Vi dico come li ho svolti,in ordine sparso.
4) Ho approssimato il modello binomiale con p=0.001 ed n=1000 ad un modello di Poisson,fissando $mu=np=1$.
Dunque fissata la v.a. Y=numero guasti
$Pr(Y>=2)=1-Pr(Y<2)=sum_{y=0}^1 (mu^y*e^-mu)/(y!)$
con risultato $1-e^-mu-e^-mu=0.26$
ok.
Con l'utilizzo della Binomiale direttamente, wolfram dice che il risultato esatto è: $0.264241$.
"bluevelvet":
3)essendo noto lo scarto tipo,ho usato la funzione ancillare $U =( bar(X)-mu )/(sigma/(sqrtn)$
valutando l'intervallo
$Pr( -u alpha /2 < (x - mu)/(sigma/sqrtn) < u alpha /2) = 1-alpha$
trovato $u alpha /2=1.650$
$Prx-(u alpha /2)*(sigma/sqrtn)< mu< x+(u alpha /2)*(sigma/sqrtn)$
no.
Te conosci lo scarto del campione non la deviazione standard della popolazione normale, che è incognita.
In questo caso devi usare i quantili della t-student e sostituire la deviazione standard di $U$ con lo scarto (anche se propriamente sarebbe da usare lo stimatore corretto, ma è un es.)
"bluevelvet":
2) su questo esercizio ho i maggiori dubbi,dico la verità non ero molto ferrata e sono andata per intuito.
Ho letto dal libro che la variabile chi quadrato ha la stessa Mgf proposta,per cui ho semplicemente derivato nel punto t=0 e ottenuto media e varianza.
Non mi dilungo nella descrizione di questo ultimo esercizio,ditemi se ho sbagliato completamente strada o c'è qualcosa di buono nel ragionamento,ed io vi riporterò tutto l'esercizio che ho scritto.
si può risolvere in più modi anche piuttosto banalmente senza passare per la fgm. Ma è corretto passare per la derivazione. Tieni conto che trovi la media e varianza di $X^2$ non di $chi^2(n)$. Dove anche qui basterebbe ricordarsi che se sono normali standard allora:
$chi^2(n) = sum_{i=1}^n X_i^2$ dove $X_i$ sono normali standard.
$E[chi^2(n)] = n$
$Var(chi^2(n)) = 2n$
e avresti finito con altri due conti, perchè l'esercizio ti da semplicemente la definizione della v.a. $chi^2$ girandoci intorno.
Scusa l'ignoranza,ma sul libro mi veniva detto che conoscendo lo scarto tipo era possibile utilizzare la funzione ancillare U,per questo ho usato quella.
Per quanto riguarda quello della chi quadrato,credo di essere uscita fuori strada visto che io derivando la mgf mi trovavo (svolte le opportune derivate e poste=0)
E[k]=1
Var[k]=2
E[k]=1
Var[k]=2
"bluevelvet":
Scusa l'ignoranza,ma sul libro mi veniva detto che conoscendo lo scarto tipo era possibile utilizzare la funzione ancillare U,per questo ho usato quella.
nel caso citato dal libro, suppongo, si intenda l'applicabilità se lo scarto tipo e la deviazione standard, rispettivamente stimatore campionario della varianza e varianza della popolazione, coincidono (ci sarebbe poi da contare anche la numerosità del campione, ma stiamo laschi).
"bluevelvet":
Per quanto riguarda quello della chi quadrato,credo di essere uscita fuori strada visto che io derivando la mgf mi trovavo (svolte le opportune derivate e poste=0)
E[k]=1
Var[k]=2
è corretto, ma te hai trovato:
$E[X^2] = 1$
$Var(X^2) = 2$
che è esattamente quello che la fgm calcola.
ti mancano gli altri due conticini semplici semplici, vedi l'equivalenza di chi-quadro che ti ho proposto e la definizione di linearità della media e varianza.
Diciamo che ho combinato un vero pasticcio. Bocciatura assicurata...tu che dici?
"bluevelvet":
Diciamo che ho combinato un vero pasticcio. Bocciatura assicurata...tu che dici?
errori basilari e procedurali, ma a seconda del docente può essere grave oppure solo dimenticanza.
Nulla da fare.. niente ammissione all'orale. Giuro che sto impazzendo con quest'esame.
Bah,forse ho sbagliato l'approccio,ma davvero non so dove mettere le mani,e di questo passo la laurea slitterà al Duemila e credici.
Grazie comunque di tutto.
Bah,forse ho sbagliato l'approccio,ma davvero non so dove mettere le mani,e di questo passo la laurea slitterà al Duemila e credici.
Grazie comunque di tutto.
"bluevelvet":
Nulla da fare.. niente ammissione all'orale. Giuro che sto impazzendo con quest'esame.
che s****...
ma ascolta cosa contempla questa ammissione? risolvere questi quattro esercizi e proporli oralmente?
"bluevelvet":
Bah,forse ho sbagliato l'approccio,ma davvero non so dove mettere le mani,e di questo passo la laurea slitterà al Duemila e credici.
il forum c'è, gente disponibile anche (salvo impegni...). Prima del prossimo orale, proviamo a discutere questi esercizi (se sono questo l'impedimento all'ammissione) e rivoltiamoli con la teoria annessa, non solo le formule da utilizzare.
Scusate per la risposta un pò tardiva. In pratica l'ammissione è basata sui primi due esercizi, in linea di massima,anche se talvolta se si commettono degli errori ma gli altri 2 sono fatti bene se ne tiene conto. é da poco tempo però (2 appelli) che si adotta questo metodo,ed io purtroppo non mi posso laureare se non passo questo esame,il che è alquanto frustrante,anche perchè se non passo lo scritto devo saltare un appello (in una sessione ci sono 2 appelli). Grazie mille per l'immensa disponibilità,spero di darvi presto buone notizie.
Non capisco perchè nel primo esercizio calcoli le disposizioni di 18 elementi.
Per me i casi possibili sono $6^3=216$.
A meno che io non abbia interpretato male il testo...
Per me i casi possibili sono $6^3=216$.
A meno che io non abbia interpretato male il testo...
Avevo pensato che in totale tu hai 18 numeri (sei per ogni disco) di cui solo 3 corretti. Dici che ho sbagliato ragionamento??
Non ci sono 18 numeri.
Ci sono tre dischi con 6 settori ciascuno.
Per ogni disco c'è un unico settore esatto.
Sarebbe come se tu dovessi trovare la combinazione lanciando 3 dadi: su ogni dado ci sarebbe un numero esatto.
Ovvero $6^3=216$
Pertanto la probabilità di "imbroccare" la combinazione al 4° tentativo (mettendo sempre una combinazione diversa) è
$1/216$
Ci sono tre dischi con 6 settori ciascuno.
Per ogni disco c'è un unico settore esatto.
Sarebbe come se tu dovessi trovare la combinazione lanciando 3 dadi: su ogni dado ci sarebbe un numero esatto.
Ovvero $6^3=216$
Pertanto la probabilità di "imbroccare" la combinazione al 4° tentativo (mettendo sempre una combinazione diversa) è
$1/216$
Ah okkè...grazie mille!! Una cosa:il fatto che sia diversa dalla precedente (e non riprendi due volte la stessa combinazione non prevede di dover moltiplicare $215/216*214/215*213/214*1/213 $ ??
Ciao.
Guarda che se semplifichi il tuo conteggio ti viene comunque $1/216$.
Il fatto di trovarla al 1° tentativo o al 4° o al 50° o al .......216° è sempre $1/216$.
Guarda che se semplifichi il tuo conteggio ti viene comunque $1/216$.
Il fatto di trovarla al 1° tentativo o al 4° o al 50° o al .......216° è sempre $1/216$.
Sìsì me ne ero accorta,era giusto per un fatto formale.
Grazie mille caro!
Grazie mille caro!
Ciao.
Avresti ragione sul fatto formale.
Però prova a pensare se invece che al 4° tentativo, ti fosse stato chiesto di trovare la probabilità al 193°.
Avevi voglia a scrivere la formula.... Ti sarebbero servite un paio di pagine!!
Grazie per il "caro".
Quasi quasi mi commuovo. Specialmente oggi.
Saluti.
Luciano.
Avresti ragione sul fatto formale.
Però prova a pensare se invece che al 4° tentativo, ti fosse stato chiesto di trovare la probabilità al 193°.
Avevi voglia a scrivere la formula.... Ti sarebbero servite un paio di pagine!!
Grazie per il "caro".
Quasi quasi mi commuovo. Specialmente oggi.
Saluti.
Luciano.
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