Esercizi Probabilità

[esxpe]

Salve, ho svolto questi esercizi ma non so se il procedimento è corretto, e del 4 non so come procedere. Mi potreste dare una mano?
ho $ pdf=2xPi (x-1/2) $

$ 1. Pr(|4X-2|<1)=Pr(1/4 $ 2. Pr(X>1/2,|X-1/2|<1/4)=Pr(X>1/2,1/4 $ 3. Pr(X<1/4|X<1/2)=(Pr(X<1/4,X<1/2))/(Pr(X<1/2))=(Pr(X<1/4))/(Pr(X<1/2))= (2int_(0)^(1/4) x dx)/(2int_(0)^(1/2) x dx)=1/16*4=1/2 $

$ 4.E[X|X<1/2]=(E[X,X<1/2])/(E[X<1/2]) $ di questo non so come svolgere gli l'integrali


Grazie mille in anticipo

[Lo_zio_Tom]

bene.....vedo che hai sistemato immediatamente il post ; ora il messaggio è confacente ad un forum di matematica, non trovi?

Non ho tempo di guardare il tutto con attenzione ma si tratta davvero di quesiti molto banali e quindi avrai sicuramente fatto tutto per bene.

Ecco come svolgere il 4): $f_X(x)=2x*mathbb{1}_([0;1])(x)$

con un semplice ragionamento ricavi la distribuzione condizionata: $f_(X|X<1/2)(x)=8x*mathbb{1}_([0;1/2])(x)$

quindi $mathbb{E}[X|X<1/2]=int_(0)^(1/2)8x^2dx=1/3$

Se non ricordo male, avendo intravisto la foto dell'esercizio postata precedentemente, ad un certo punto si richiedeva la media di una qualche funzione della variabile. A tal proposito ricorda che $mathbb{E}[g(X)]=int_mathcal(D)g(x)dF(x)$

[esxpe]

"tommik":bene.....vedo che hai sistemato immediatamente il post
non ho tempo di guardare il tutto ma si tratta davvero di quesiti molto banali.

non sapevo fosse vietato mi dispiace,se hai tempo dopo potresti darci un'occhiata?

"tommik":
con un semplice ragionamento ricavi la distribuzione condizionata: $f_(X|X<1/2)(x)=8x*mathbb{1}_([0;1/2])(x)$
quindi $mathbb{E}[X|X<1/2]=int_(0)^(1/2)8x^2dx=1/3$

purtroppo non so farlo quel ragionamento(infatti non ho capito come fai a trovarti quell'8), mi insegneresti come si fa?

"tommik":
per l'ultimo (anche se ancora non l'hai riscritto ma mi ricordo di aver intravisto nella foto postata inizialmente che si cercava la media di una qualche funzione di $X$) ricorda che $mathbb{E}[g(X)]=int_mathcal(D)g(x)dF(x)$

sìsì la ricordo perciò non l'ho postato l'ultimo esercizio

[Lo_zio_Tom]

"esxpe":
purtroppo non so farlo quel ragionamento(infatti non ho capito come fai a trovarti quell'8), mi insegneresti come si fa?

Supponiamo di avere una variabile aleatoria con CDF $F(x)$ continua e consideriamo un insieme $B={X<=a}$. Per definizione si ha

$F(x|B)=P(X<=x|X<=a)=(P(X<=x,X<=a))/(P(X<=a))={{: ( (F(x))/(F(a)) , ;x=a ) :}$

derivando ottieni la densità che, applicata al tuo caso, porge subito $(2x)/(1/4)=8x$


non ho tempo perché lavoro....cerco di fare ciò che posso ma questi quesiti sono solo conticini, cerco di concentrare il poco tempo libero per quesiti che abbiano qualche cosa di interessante....sono sicuro che hai fatto tutto per bene.

saluti

[esxpe]

Adesso ho capito, quando ho il valore medio di un insieme, devo prima ricavarmi la pdf su quell'insieme come derivata della cdf, e poi calcolo il valore medio.
TI ringrazio.

[Lo_zio_Tom]

"esxpe":Adesso ho capito, quando ho il valore medio di un insieme, devo prima ricavarmi la pdf su quell'insieme come derivata della cdf, e poi calcolo il valore medio.
TI ringrazio.

no. Occorre ragionare caso per caso....qui mi sembrava meglio fare come ti ho detto anche perché la distribuzione condizionata io l'ho calcolata a mente.... ma non è affatto detto che sia così in generale....anzi in generale è più facile evitare di calcolare la pdf

Guarda ad esempio questo.. e prova a risolverlo senza guardare come ho fatto io....calcolare la distribuzione di X e poi la media....miiiiii

Oppure questo: la media è immediata, per la densità ci devi lavorare un po'.....

PS: nel topic ho dimenticato di dire quale sia la densità che si trova alla fine.....tu sapresti rispondere?

[esxpe]

l'ho guardato però sinceramente ci dovrei perdere un po' di tempo per capirlo per bene,e non credo che esca quel tipo di esercizio. Comunque lo terrò a mente che non è l'unico modo. Credo che come esercizio più difficile esca quello che mi hai aiutato a capire come risolvere, quindi mi concentro su quel metodo... casomai esce una pdf difficile(spero di no...) imparerò quell'altro metodo che mi hai suggerito