Esercizi distribuzioni continue

[factotumleo]

Ciao ragazzi, sono alle prese con dei "problemini" di probabilità che riguardano il calcolo di densità di variabili aleatorie congiunte. Vi espongo uno degli esercizi:

1) Se X e Y sono indipendenti, esponenziali di parametri a e b, la probabilità che x non superi y vale?

La mia difficoltà sta nel determinare gli intervalli di integrazione e anche nel capire come congiungere le densità delle due variabili aleatorie. Il problema è che, non avendo seguito questa parte del corso, mi trovo un tantino impantanato! Il fatto di cui sono certo è che la distribuzione, essendo esponenziale, è nota. Infatti:

$P(X < t) = 1 - e^(-\alphat)$ , con $t > 0$ , dovrebbe essere la funzione di ripartizione. Facendo la derivata ottengo la funzione di densità, cioè : $f(X,t) = \alphae^(-\alphat)$ , sempre con $t > 0$.

Ora non riesco a capire come procedere. Cioè, cosa vuol dire "parametri a e b"? che devo sostituire $a$ e $b$ ad $\alpha$?
Come devo procedere insomma?? Grazie mille a tutti e scusate se sono stato impreciso ma è la prima volta che scrivo formule e simboli sul forum!

[walter891]

certamente il primo passo è sostituire i parametri giusti ottenendo le due densità marginali $f(x)=ae^(-ax)$ e $f(y)=be^(-by)$, poi sapendo che sono indipendenti trovi la densità congiunta semplicemente moltiplicandole $f(x,y)=abe^(-a-b)$
Ora devi impostare un integrale che permette il calcolo di $P(X

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[factotumleo]

Grazie per la risposta! Il problema è proprio quello! Come imposto l'integrale per calcolare $P(X < Y)$? Poi, come giustamente hai scritto tu, $f(x,y) = f(x)*f(y)=abe^(-a-b)$...ma mi chiedo, in tutto questo, che fine fanno gli esponenti $x$ e $y$? Non dovrebbe essere $f(x,y) = f(x)*f(y)=abe^(-ax-by)$?

[walter891]

scusami, gli esponenti giustamente contengono ancora $x$ e $y$
l'integrale dovrebbe essere questo $P(X

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