Esercizi di calcolo combinatorio
Salve, ho provato a risolvere questi problemi di calcolo combinatorio e volevo la vostra opinione sul procedimento che ho seguito:
1) Quante partite si giocano complessivamente in un torneo a 7 squadre in cui sono previste partite di andata e ritorno?
Siccome le squadre giocano una contro l'altra ho pensato di considerarla una disposizione semplice di 7 elementi di classe 2 e quindi ho trovato D = 7!/(7-5)! che fa 42 partite
2) Quante parole effettivamente diverse, anche se di senso non compiuto, si possono formare con le lettere della parola BIBLIOTECA?
Abbiamo una parola di 10 lettere ma la lettera B e la I si ripetono due volte quindi l'ho considerata una permutazione con ripetizione P= 10!/2!*2! e quindi 907200 combinazioni possibili
3) Quante diverse formazioni, ciascuna di 5 elementi, si possono mettere in campo se si hanno 8 elementi a disposizione? E se due di questi elementi non possono giocare insieme?
Invece in questo caso ritengo che si tratti di una combinazione semplice visto che gli 8 elementi distinti devono essere combinati a gruppi di 5
Da ciò ho trovato che C = 8!/(8-5)!*5! che ha 56 combinazioni possibili
Nel secondo caso invece, una volta che il primo elemento è finito in una squadra, abbiamo 7 giocatori che possono ricoprire i 4 posti restanti ovvero C = 7!/3!*4! cioè 35 possibilità
Grazie a tutti per le risposte
1) Quante partite si giocano complessivamente in un torneo a 7 squadre in cui sono previste partite di andata e ritorno?
Siccome le squadre giocano una contro l'altra ho pensato di considerarla una disposizione semplice di 7 elementi di classe 2 e quindi ho trovato D = 7!/(7-5)! che fa 42 partite
2) Quante parole effettivamente diverse, anche se di senso non compiuto, si possono formare con le lettere della parola BIBLIOTECA?
Abbiamo una parola di 10 lettere ma la lettera B e la I si ripetono due volte quindi l'ho considerata una permutazione con ripetizione P= 10!/2!*2! e quindi 907200 combinazioni possibili
3) Quante diverse formazioni, ciascuna di 5 elementi, si possono mettere in campo se si hanno 8 elementi a disposizione? E se due di questi elementi non possono giocare insieme?
Invece in questo caso ritengo che si tratti di una combinazione semplice visto che gli 8 elementi distinti devono essere combinati a gruppi di 5
Da ciò ho trovato che C = 8!/(8-5)!*5! che ha 56 combinazioni possibili
Nel secondo caso invece, una volta che il primo elemento è finito in una squadra, abbiamo 7 giocatori che possono ricoprire i 4 posti restanti ovvero C = 7!/3!*4! cioè 35 possibilità
Grazie a tutti per le risposte
Risposte
1) dove scrivi (7-5) ritengo che intendevi (7-2). In quanto il calcolo è esatto.
2) OK
3) il mio pc, mi dice 56 e 36.
2) OK
3) il mio pc, mi dice 56 e 36.
"elwitt":
...
1) Quante partite si giocano complessivamente in un torneo a 7 squadre in cui sono previste partite di andata e ritorno?
...
Vediamo l'andata:
dato che ogni squadra deve giocare con le altre 6 abbiamo
$(7*6)/2 = 21$ incontri;
poi, visto che c'è anche il ritorno,
basta moltiplicare per $2$, ottenendo in questo modo:
$2 * (7*6)/2 = 42$ partite totali.
Grazie per le risposte
Si nel primo ho sbagliato a scrivere infatti i calcoli li ho eseguito per (7-2)!
Nel terzo esercizio invece ho scritto C = 7!/3!*4! ovvero 7*6*4!/3!*4! a questo punto ho semplificato il 4!, poi ho semplificato anche il 6 col 3! e quindi mi è rimasto solo 7*5 ovvero 35, nella seconda parte del problema ho forse sbagliato procedimento? Ah ecco forse ci sono devo magari sommare uno per tenere anche conto del primo elemento
Si nel primo ho sbagliato a scrivere infatti i calcoli li ho eseguito per (7-2)!
Nel terzo esercizio invece ho scritto C = 7!/3!*4! ovvero 7*6*4!/3!*4! a questo punto ho semplificato il 4!, poi ho semplificato anche il 6 col 3! e quindi mi è rimasto solo 7*5 ovvero 35, nella seconda parte del problema ho forse sbagliato procedimento? Ah ecco forse ci sono devo magari sommare uno per tenere anche conto del primo elemento
"elwitt":
3) Quante diverse formazioni, ciascuna di 5 elementi, si possono mettere in campo se si hanno 8 elementi a disposizione? E se due di questi elementi non possono giocare insieme?
Per la prima parte è
$((8),(5)) = (8!)/(5! (8-5)!) = (8*7*6*5!)/(5! * 3!) = 8*7 = 56$ possibili formazioni.
"elwitt":
Si nel primo ho sbagliato a scrivere infatti i calcoli li ho eseguito per (7-2)!
Nel terzo esercizio invece ho scritto C = 7!/3!*4! ovvero 7*6*4!/3!*4! a questo punto ho semplificato il 4!, poi ho semplificato anche il 6 col 3! e quindi mi è rimasto solo 7*5 ovvero 35, nella seconda parte del problema ho forse sbagliato procedimento? Ah ecco forse ci sono devo magari sommare uno per tenere anche conto del primo elemento
Nelle 56 combinazioni, ogni cifra appare 35 volte ($56 * 5 / 8$ )
In queste 35 volte incontrerà ogni cifra 20 volte ($35 * 4 / 7$)
Pertanto dalle 56 combinazioni iniziali, devi escluderne 20. Pertanto le rimanenti saranno 36.
"elwitt":
3) Quante diverse formazioni, ciascuna di 5 elementi, si possono mettere in campo se si hanno 8 elementi a disposizione? E se due di questi elementi non possono giocare insieme?
Per la seconda parte io ragionerei così:
chiamo $A$ e $B$ questi due giocatori che non possono giocare insieme.
Conto le formazioni che posso fare con $A$ (ma ovviamente non con $B$):
$((6),(4))$
in quanto devo scegliere i restanti $4$ giocatori tra i 6 rimanenti ($A$ è già stato
selezionato, mentre $B$ non può giocare insieme con $A$);
lo stesso discorso vale per $B$, ovviamente.
Quindi abbiamo per il momento
$2* ((6),(4))$ formazioni con $A$ o $B$ (la "o" va intesa nel senso di "aut aut").
Ora al conto mancano le formazioni in cui non compaiono né $A$ né $B$:
$((6),(5))$.
In definitiva abbiamo che il numero di possibili formazioni sotto i vincoli imposti è uguale a:
$2 * ((6),(4)) + ((6),(5)) = 2 * (6*5*4!)/(4! * 2!) + 6 = 2*15 + 6 = 36$ .
Oppure si può anche ragionare togliendo da tutte e 56 le formazioni quelle formazioni in cui
ci sono sia $A$ che $B$;
queste ultime sono esattamente
$((6),(3))$
infatti devo scegliere gli altri 3 compagni di squadra tra i 6 rimanenti.
In definitiva si ha:
$((8),(5)) - ((6),(3)) = 56 - 20 = 36$ .
Questa soluzione è più veloce di quella che ho scritto sopra.
Ma l'importante è che sono giuste entrambe..
ci sono sia $A$ che $B$;
queste ultime sono esattamente
$((6),(3))$
infatti devo scegliere gli altri 3 compagni di squadra tra i 6 rimanenti.
In definitiva si ha:
$((8),(5)) - ((6),(3)) = 56 - 20 = 36$ .
Questa soluzione è più veloce di quella che ho scritto sopra.
Ma l'importante è che sono giuste entrambe..
"franced":
[quote="elwitt"]
...
1) Quante partite si giocano complessivamente in un torneo a 7 squadre in cui sono previste partite di andata e ritorno?
...
Vediamo l'andata:
dato che ogni squadra deve giocare con le altre 6 abbiamo
$(7*6)/2 = 21$ incontri;
poi, visto che c'è anche il ritorno,
basta moltiplicare per $2$, ottenendo in questo modo:
$2 * (7*6)/2 = 42$ partite totali.[/quote]
In effetti dire (andata e ritorno) è come dire disposizioni anzichè combinazioni, quindi puoi anche trovare direttamente le disposizioni.
Ho provato a fare anche questi esercizi, il cui procedimento pongo alla vostra gentile attenzione:
1)In quanti modi posso distribuire su due scaffali 7 libri, se voglio che in ognuno dei due scaffali ci sia almeno un libro?
Allora questo lo risolto così: distribuisco un libro su ciascun scaffale quindi mi restano 5 libri da distribuire liberamente.
Applicando la formula delle combinazioni con ripetizioni ottengo C = (2+5-1)!/5!*(2-1)! che è uguale a 6!/5!*1! ovvero 6 possibilità
2) Quanti sono i possibili tris di nove che si possono formare scegliendo 5 fra 40 carte? E se si vuole che del tris faccia necessariamente parte l'asso di denari?
Qui ho ragionato così: delle 5 carte 3 devono essere necessariamente dei nove quindi devo considerare le rimanenti due: la quarta carta sarà 40-3 (i nove usciti)-1 (il nove che è rimasto nel mazzo e non deve uscire perchè altrimenti avrei un poker e non più un tris) ovvero ho 36 carte possibili, per la quinta carta ragionando analogamente avrò 35 possibilità (perchè devo sottrarre la quarta carta uscita). Quindi i possibili tris sono 36*35
Per la seconda parte invece ho che 3 carte devono essere dei nove mentre la quarta l'asso di denari a questo punto per la quinta carta restano 35 possibilità (40- 3 nove usciti-1 nove rimasto-l'asso di denari)
Con questo stesso ragionamento ho risolto anche questo problema:
Quante coppie di 9 si possono formare scegliendo 4 carte di un mazzo di 40? E la soluzione mi è venuta nuovamente 36*35
3)Quanti sono i possibili gruppi di 5 persone che si possono formare avendo 8 maschi e 10 donne? E se in ogni gruppo devono essere presenti almeno due donne ma non più di 3 donne?
Ancora una volta ho supposto che ho una combinazione di 18 elementi (10 donne e 8 uomini) da raggruppare a cinque a cinque quindi: C = 18!/(18-5)!*5! e mi è risultato 8568
Per la seconda domanda in pratica in ogni gruppo Devono esserci necessariamente 2 donne e quindi:
C = 16!/(16-3)!*3! che risulta 560 possibili gruppi, qui in pratica ho sottratto ai 18 elementi iniziali le due donne e ho considerato che invece di 5 posti ne restavano solo 3.
Grazie in anticipo per le vostre risposte
1)In quanti modi posso distribuire su due scaffali 7 libri, se voglio che in ognuno dei due scaffali ci sia almeno un libro?
Allora questo lo risolto così: distribuisco un libro su ciascun scaffale quindi mi restano 5 libri da distribuire liberamente.
Applicando la formula delle combinazioni con ripetizioni ottengo C = (2+5-1)!/5!*(2-1)! che è uguale a 6!/5!*1! ovvero 6 possibilità
2) Quanti sono i possibili tris di nove che si possono formare scegliendo 5 fra 40 carte? E se si vuole che del tris faccia necessariamente parte l'asso di denari?
Qui ho ragionato così: delle 5 carte 3 devono essere necessariamente dei nove quindi devo considerare le rimanenti due: la quarta carta sarà 40-3 (i nove usciti)-1 (il nove che è rimasto nel mazzo e non deve uscire perchè altrimenti avrei un poker e non più un tris) ovvero ho 36 carte possibili, per la quinta carta ragionando analogamente avrò 35 possibilità (perchè devo sottrarre la quarta carta uscita). Quindi i possibili tris sono 36*35
Per la seconda parte invece ho che 3 carte devono essere dei nove mentre la quarta l'asso di denari a questo punto per la quinta carta restano 35 possibilità (40- 3 nove usciti-1 nove rimasto-l'asso di denari)
Con questo stesso ragionamento ho risolto anche questo problema:
Quante coppie di 9 si possono formare scegliendo 4 carte di un mazzo di 40? E la soluzione mi è venuta nuovamente 36*35
3)Quanti sono i possibili gruppi di 5 persone che si possono formare avendo 8 maschi e 10 donne? E se in ogni gruppo devono essere presenti almeno due donne ma non più di 3 donne?
Ancora una volta ho supposto che ho una combinazione di 18 elementi (10 donne e 8 uomini) da raggruppare a cinque a cinque quindi: C = 18!/(18-5)!*5! e mi è risultato 8568
Per la seconda domanda in pratica in ogni gruppo Devono esserci necessariamente 2 donne e quindi:
C = 16!/(16-3)!*3! che risulta 560 possibili gruppi, qui in pratica ho sottratto ai 18 elementi iniziali le due donne e ho considerato che invece di 5 posti ne restavano solo 3.
Grazie in anticipo per le vostre risposte
Grazie Franced per la spiegazione 
Sei stato molto gentile
Sei stato molto gentile
"elwitt":
3)Quanti sono i possibili gruppi di 5 persone che si possono formare avendo 8 maschi e 10 donne? E se in ogni gruppo devono essere presenti almeno due donne ma non più di 3 donne?
Ancora una volta ho supposto che ho una combinazione di 18 elementi (10 donne e 8 uomini) da raggruppare a cinque a cinque quindi: C = 18!/(18-5)!*5! e mi è risultato 8568
Per la seconda domanda in pratica in ogni gruppo Devono esserci necessariamente 2 donne e quindi:
C = 16!/(16-3)!*3! che risulta 560 possibili gruppi, qui in pratica ho sottratto ai 18 elementi iniziali le due donne e ho considerato che invece di 5 posti ne restavano solo 3.
Ok su 8568.
La frequenza è questa:
0M-5F 252
1M-4F 1680
2M-3F 3360
3M-2F 2520
4M-1F 700
5M-0F 56
Pertanto la risp. dovrebbe essere 2520+3360
"elwitt":
Grazie Franced per la spiegazione
Prego!
Grazie anche a te Umby per l'aiuto, il procedimento degli altri due esercizi (la distribuzione dei 7 libri su due scaffali e quello del tris di nove) invece era corretto?
Sui libri non penso ci sia tanto da dire. 
Per i tris, a me esce 2520
e poi, per la seconda domanda $2520*2/36=140$
verifica....
Per i tris, a me esce 2520
e poi, per la seconda domanda $2520*2/36=140$
verifica....
Ti può servire vedere come altri possano ragionare per arrivare, si spera, alle stesse tue risposte.
Problema N. 1) I modi di disporre 7 libri su 2 scaffali badando che nessuno dei 2 scaffali resti vuoto, sono $((6),(1))$, perchè i modi di spezzare un intero $s$ nella somma di $n$ interi positivi, considerando distinte due soluzioni che differiscano anche solo per l'ordine, sono $((s-1),(n-1))=((7-1),(2-1))$
Problema N. 2) Vedi la mia prossima ...
Problema N. 3) Si hanno M uomini e F donne.
a) Gruppi possibili fatti di k persone: $((M+F),(k))=((18),(5))$ OK
b) Gruppi possibili con esattamente n donne presenti: $((F),(n))((M),(k-n))$
Quindi basterà sommare per n=2,3, nella fattispecie: $((10),(2))((8),(3))+((10),(3))((8),(2))=45xx56+120xx28=5880$
La tua risposta, 560, è quindi ridicolmente bassa.
Gli errori che hai fatto sono due, entrambi gravi.
1) Hai preso due donne particolari, diciamo Elena e Sara, invece che due donne qualsiasi.
2) Col tuo modo di procedere hai poi mancato di escludere i gruppi contenenti 4 o 5 donne (che sono vietati).
Rileggi bene il testo.
Problema N. 1) I modi di disporre 7 libri su 2 scaffali badando che nessuno dei 2 scaffali resti vuoto, sono $((6),(1))$, perchè i modi di spezzare un intero $s$ nella somma di $n$ interi positivi, considerando distinte due soluzioni che differiscano anche solo per l'ordine, sono $((s-1),(n-1))=((7-1),(2-1))$
Problema N. 2) Vedi la mia prossima ...
Problema N. 3) Si hanno M uomini e F donne.
a) Gruppi possibili fatti di k persone: $((M+F),(k))=((18),(5))$ OK
b) Gruppi possibili con esattamente n donne presenti: $((F),(n))((M),(k-n))$
Quindi basterà sommare per n=2,3, nella fattispecie: $((10),(2))((8),(3))+((10),(3))((8),(2))=45xx56+120xx28=5880$
La tua risposta, 560, è quindi ridicolmente bassa.
Gli errori che hai fatto sono due, entrambi gravi.
1) Hai preso due donne particolari, diciamo Elena e Sara, invece che due donne qualsiasi.
2) Col tuo modo di procedere hai poi mancato di escludere i gruppi contenenti 4 o 5 donne (che sono vietati).
Rileggi bene il testo.
E veniamo al problema N. 2 (uno sfacelo!)
2a) Quanti sono i possibili tris di nove che si possono formare scegliendo 5 carte da un mazzo di 40 carte?
-Ognuno dei 4 nove può essere quello che resta fuori, il che dà un fattore $4$
-Le rimanenti 36 carte (i non-9) possono occupare i restanti 2 posti, il che dà un fattore $((36),(2))$
-In totale: $4((36),(2))=2xx36xx35=2520$, quindi la tua risposta è sbagliata.
2b) E se si vuole che del tris faccia necessariamente parte l'asso di denari?
-Ognuno dei 4 nove può essere quello che resta fuori, il che dà un fattore $4$
-Le rimanenti 35 carte (i non-9, escluso l'asso di denari) possono occupare ognuna il posto restante, il che dà un fattore 35
-In totale: $4xx35=140$, e quindi la tua risposta è sbagliata.
2c) Quante mani contenenti una coppia di 9 si possono formare scegliendo 4 carte da un mazzo di 40?
-I due 9 presenti (o assenti) possono essere ciascuna delle $((9),(2))$ paia di 9 che si possono formare con i quattro 9 del mazzo, il che dà un fattore $36$;
-Le rimanenti 36 carte (i non-9) possono occupare a piacere i restanti 2 posti, il che dà un fattore $((36),(2))$
-In totale: $36((36),(2))=36xx(36xx35)/2=22680$, quindi anche qui, tanto per cambiare, la tua risposta è sbagliata.
2a) Quanti sono i possibili tris di nove che si possono formare scegliendo 5 carte da un mazzo di 40 carte?
-Ognuno dei 4 nove può essere quello che resta fuori, il che dà un fattore $4$
-Le rimanenti 36 carte (i non-9) possono occupare i restanti 2 posti, il che dà un fattore $((36),(2))$
-In totale: $4((36),(2))=2xx36xx35=2520$, quindi la tua risposta è sbagliata.
2b) E se si vuole che del tris faccia necessariamente parte l'asso di denari?
-Ognuno dei 4 nove può essere quello che resta fuori, il che dà un fattore $4$
-Le rimanenti 35 carte (i non-9, escluso l'asso di denari) possono occupare ognuna il posto restante, il che dà un fattore 35
-In totale: $4xx35=140$, e quindi la tua risposta è sbagliata.
2c) Quante mani contenenti una coppia di 9 si possono formare scegliendo 4 carte da un mazzo di 40?
-I due 9 presenti (o assenti) possono essere ciascuna delle $((9),(2))$ paia di 9 che si possono formare con i quattro 9 del mazzo, il che dà un fattore $36$;
-Le rimanenti 36 carte (i non-9) possono occupare a piacere i restanti 2 posti, il che dà un fattore $((36),(2))$
-In totale: $36((36),(2))=36xx(36xx35)/2=22680$, quindi anche qui, tanto per cambiare, la tua risposta è sbagliata.
"seascoli":
2c) Quante mani contenenti una coppia di 9 si possono formare scegliendo 4 carte da un mazzo di 40?
-I due 9 presenti (o assenti) possono essere ciascuna delle $((9),(2))$ paia di 9 che si possono formare con i quattro 9 del mazzo, il che dà un fattore $36$;
-Le rimanenti 36 carte (i non-9) possono occupare a piacere i restanti 2 posti, il che dà un fattore $((36),(2))$
-In totale: $36((36),(2))=36xx(36xx35)/2=22680$, quindi anche qui, tanto per cambiare, la tua risposta è sbagliata.
perchè non $((4),(2))$ quindi fattore 6 ?
"Umby":
[quote="seascoli"]
2c) Quante mani contenenti una coppia di 9 si possono formare scegliendo 4 carte da un mazzo di 40?
-I due 9 presenti (o assenti) possono essere ciascuna delle $((9),(2))$ paia di 9 che si possono formare con i quattro 9 del mazzo, il che dà un fattore $36$;
-Le rimanenti 36 carte (i non-9) possono occupare a piacere i restanti 2 posti, il che dà un fattore $((36),(2))$
-In totale: $36((36),(2))=36xx(36xx35)/2=22680$, quindi anche qui, tanto per cambiare, la tua risposta è sbagliata.
perchè non $((4),(2))$ quindi fattore 6 ?[/quote]
secondo me la domanda non esclude affatto la possibilità che ci siano anche 3 o 4 "nove", per cui penso che la risposta sia $((4),(2))*((38),(2))=4218$.
ciao.
"adaBTTLS":
secondo me la domanda non esclude affatto la possibilità che ci siano anche 3 o 4 "nove", per cui penso che la risposta sia $((4),(2))*((38),(2))=4218$.
ciao.
Io ho considerato solo le coppie: $6 * 630 = 3780$
Volendo considerare anche il TRIS $4 * 36 = 144$ ed il poker $1$
mi viene 3925.
Dove è che sbaglio ?
@Umby: Sì, hai ragione, si trattava di un mio "lapsus calami".
@Ada: No, il senso della domanda, almeno come io l'ho riformulata ("una coppia di 9", nel senso di un punteggio, come nel poker) proprio per evitare ambiguità, non era "almeno 2 nove", bensì "esattamente 2 nove".
Mi dispiace che anche così il senso sia rimasto ambiguo (ma non lo era certo per chi gioca a poker e sa bene cosa significa avere in mano un "tris di 9" o solo "una coppia di 9").
@Ada: No, il senso della domanda, almeno come io l'ho riformulata ("una coppia di 9", nel senso di un punteggio, come nel poker) proprio per evitare ambiguità, non era "almeno 2 nove", bensì "esattamente 2 nove".
Mi dispiace che anche così il senso sia rimasto ambiguo (ma non lo era certo per chi gioca a poker e sa bene cosa significa avere in mano un "tris di 9" o solo "una coppia di 9").
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo