Esercizi calcolo combinatorio
Salve, avrei due esercizi:
1) uno studente deve scegliere 6 materie su 9 per il suo piano di studi. Qual è il minor numero di studenti tale che almeno 10 di essi abbia lo stesso piano di studi.
2) su una scacchiera 8x8 ci sono due pedine. Calcolare in quanti modi diversi si possono disporre affinché non stiano in caselle adiacenti(comprese quelle oblique).
per il primo:
ci sono ,dalla formula delle combinazioni semplici \(n!/k!(n-k)! = 9!/6!3! = 84 \) piani di studio diversi, quindi nel caso peggiore, si avranno 84 studenti con piani diversi; sapendo questo, se si aggiungesse un solo studente al gruppo di prima, dovrà avere sicuramente la stessa combinazione di materie di un altro. Quindi basterebbe fare una moltiplicazione per 10 per avere il numero richiesto \(840\).
per il secondo:
per ogni pedina ci sono 3 possibilità per quanto riguarda il numero di caselle adiacenti dipendente dalla loro posizione: \( 3(+1) \) caselle adiacenti se una pedina si trova sui vertici; \( 5(+1) \) se si trova nei bordi; \( 8(+1) \) da tutte le altre parti. Se io tengo fissa la posizione di una pedina, l'altra avrà di conseguenza un numero di modi diversi per disporsi sulla scacchiera sempre dipendenti dalla posizione nella quale abbiamo fissato la prima. Quindi, considerando l'ordine di prima, ci sono rispettivamente \( 60, 58 , 55 \)modi diversi per disporla, ma questo varrà anche per l'altra ovviamente.
In conclusione vorrei sapere se il ragionamento è corretto e come risolvere il secondo esercizio, grazie in anticipo!
1) uno studente deve scegliere 6 materie su 9 per il suo piano di studi. Qual è il minor numero di studenti tale che almeno 10 di essi abbia lo stesso piano di studi.
2) su una scacchiera 8x8 ci sono due pedine. Calcolare in quanti modi diversi si possono disporre affinché non stiano in caselle adiacenti(comprese quelle oblique).
per il primo:
ci sono ,dalla formula delle combinazioni semplici \(n!/k!(n-k)! = 9!/6!3! = 84 \) piani di studio diversi, quindi nel caso peggiore, si avranno 84 studenti con piani diversi; sapendo questo, se si aggiungesse un solo studente al gruppo di prima, dovrà avere sicuramente la stessa combinazione di materie di un altro. Quindi basterebbe fare una moltiplicazione per 10 per avere il numero richiesto \(840\).
per il secondo:
per ogni pedina ci sono 3 possibilità per quanto riguarda il numero di caselle adiacenti dipendente dalla loro posizione: \( 3(+1) \) caselle adiacenti se una pedina si trova sui vertici; \( 5(+1) \) se si trova nei bordi; \( 8(+1) \) da tutte le altre parti. Se io tengo fissa la posizione di una pedina, l'altra avrà di conseguenza un numero di modi diversi per disporsi sulla scacchiera sempre dipendenti dalla posizione nella quale abbiamo fissato la prima. Quindi, considerando l'ordine di prima, ci sono rispettivamente \( 60, 58 , 55 \)modi diversi per disporla, ma questo varrà anche per l'altra ovviamente.
In conclusione vorrei sapere se il ragionamento è corretto e come risolvere il secondo esercizio, grazie in anticipo!
Risposte
"Cicchi27":
Quindi basterebbe fare una moltiplicazione per 10 per avere il numero richiesto \(840\).
Non basta moltiplicare per 9 e aggiungere 1?
Giusto, perché è la stessa logica di averne almeno 2 aggiungendone solo uno al gruppo di partenza, mi sono incartato da solo
Per la seconda parte sei essenzialmente lì.
La cosa che mi perplime è: sapendo che comunque il numero di modi di disporre la pedina cambiano rispetto alla posizione fissata dell'altra, so anche che in ogni insieme ci sono ovviamente dei modi che si ripetono, cioè se già so che le due pedine occupano due metà diverse della scacchiera, in ogni insieme avrò delle configurazioni identiche, pertanto non penso sia soltanto la somma poiché gli insiemi non sono disgiunti, ma forse la sto rendendo più difficile di quel che è e mi sto perdendo qualcosa 
"Cicchi27":
in ogni insieme avrò delle configurazioni identiche
Facendo la somma, quante volte appare ogni configurazione? Ci sono configurazioni che appaiono, diciamo, una volta e altre che appaiono cinque volte?
limitandosi a tenere 3 posizioni fisse(quindi considerando per esempio solo uno dei vertici) sono massimo 3
"Cicchi27":
limitandosi a tenere 3 posizioni fisse(quindi considerando per esempio solo uno dei vertici) sono massimo 3
Come fa la stessa configurazione ad apparire 3 volte?
non capisco dove vuoi arrivare. Potresti gentilmente farmi capire il ragionamento da adottare piuttosto che mandare questi messaggi corti?
"Cicchi27":
non capisco dove vuoi arrivare. Potresti gentilmente farmi capire il ragionamento da adottare piuttosto che mandare questi messaggi corti?
Il tuo ragionamento è giusto. Ogni configurazione appare _esattamente_ due volte.
quindi basta solo la somma dei 3 casi diversi per avere tutte le configurazioni? in tal caso, per avere il numero totale basterebbe moltiplicare questa somma per 2?
"Cicchi27":
quindi basta solo la somma dei 3 casi diversi per avere tutte le configurazioni? in tal caso, per avere il numero totale basterebbe moltiplicare questa somma per 2?
Dividere per due. Facendo la somma dei tre casi conti ogni posizione due volte, quindi dividi per due alla fine.
Ok capito, grazie per il chiarimento!
"Cicchi27":
La cosa che mi perplime è: sapendo che comunque il numero di modi di disporre la pedina cambiano rispetto alla posizione fissata dell'altra, so anche che in ogni insieme ci sono ovviamente dei modi che si ripetono, cioè se già so che le due pedine occupano due metà diverse della scacchiera, in ogni insieme avrò delle configurazioni identiche, pertanto non penso sia soltanto la somma poiché gli insiemi non sono disgiunti, ma forse la sto rendendo più difficile di quel che è e mi sto perdendo qualcosa
Non ho ben capito, a quale risultato finale sei arrivato, ma ti chiedo:
non era più semplice suddividere la scacchiera in:
- Righe
- Colonne
- Diagonali ?
Per una idea... vedi qui:
https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=12&t=170530
\(60 + 58 + 55 \) è il numero di caselle che, fissata la posizione di una rispettivamente nei bordi, nei lati e in altre caselle, l'altra pedina può occupare per non trovarsi in posizioni adiacenti. Ovviamente non basta fare questa somma; è necessario moltiplicare ogni numero della somma con quello delle caselle disponibili all'altra pedina non fissata. Quindi: \( 60*4 + 58*24 + 55*36 \)
"Cicchi27":
\(60 + 58 + 55 \) è il numero di caselle.....
.... sommare questi 3 numeri tra loro... non ha molto senso...
"Cicchi27":
Quindi: \( 60*4 + 58*24 + 55*36 \)
diviso 2.
"Umby":
[quote="Cicchi27"]\( 60 + 58 + 55 \) è il numero di caselle.....
.... sommare questi 3 numeri tra loro... non ha molto senso...
"Cicchi27":
Quindi: \( 60*4 + 58*24 + 55*36 \)
diviso 2.[/quote] Che senso ha puntualizzare sul fatto che quella somma non abbia senso quando era già inteso
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