Esercizi base eventi
Ciao a tutti e buon risveglio 
1) Indica (a) il punto totale più probabile nel lancio contemporaneo di due dadi e (b) la probabilità dell'evento.
Facendo un facile schemino:
(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)
(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)
(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)
(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)
(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)
(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)
a. è 7
b. è ovviamente 1/6, però ho provato a tirarne fuori una formula, perchè ok la logica ma vorrei anche imparare a fare due calcoli nel caso l'esempio sia troppo grande per poterlo schematizzare e non capisco dove sbaglio.
L'evento credo sia compatibile e indipendente, quindi: P(E1 U E2) = p(E1) + p(E2) - (p(E1) * p(E2)) = 1/6 + 1/6 - (1/6) = 11/36
2) Calcola la probabilità che lanciando 3 monete contemporanemente si presentino una testa e due croci.
Risultato del libro: 3/8
Perchè non è 1/8 (1/2*1/2*1/2)?
Cosa sbaglio?
Grazie
1) Indica (a) il punto totale più probabile nel lancio contemporaneo di due dadi e (b) la probabilità dell'evento.
Facendo un facile schemino:
(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)
(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)
(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)
(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)
(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)
(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)
a. è 7
b. è ovviamente 1/6, però ho provato a tirarne fuori una formula, perchè ok la logica ma vorrei anche imparare a fare due calcoli nel caso l'esempio sia troppo grande per poterlo schematizzare e non capisco dove sbaglio.
L'evento credo sia compatibile e indipendente, quindi: P(E1 U E2) = p(E1) + p(E2) - (p(E1) * p(E2)) = 1/6 + 1/6 - (1/6) = 11/36
2) Calcola la probabilità che lanciando 3 monete contemporanemente si presentino una testa e due croci.
Risultato del libro: 3/8
Perchè non è 1/8 (1/2*1/2*1/2)?
Cosa sbaglio?
Grazie
Risposte
"TommyB1992":
b. è ovviamente 1/6, però ho provato a tirarne fuori una formula, perchè ok la logica ma vorrei anche imparare a fare due calcoli nel caso l'esempio sia troppo grande per poterlo schematizzare e non capisco dove sbaglio.
L'evento credo sia compatibile e indipendente, quindi: P(E1 U E2) = p(E1) + p(E2) - (p(E1) * p(E2)) = 1/6 + 1/6 - (1/6) = 11/36
Intendi l'evento che la somma dei due dadi sia $7$? In tal caso si ha[nota]
$p(2)=1/36 qquad p(3)=2/36 qquad p(4)=3/36 qquad p(5)=4/36 qquad p(6)=5/36 qquad p(7)=6/36$
$p(8)=5/36 qquad p(9)=4/36 p(10)=3/36 qquad p(11)=2/36 qquad p(12)=1/36$
[/nota]:$p(8)=5/36 qquad p(9)=4/36 p(10)=3/36 qquad p(11)=2/36 qquad p(12)=1/36$
$p(7)=P(X=7)=P((1,6)uu(2,5)uu(3,4)uu(4,3)uu(5,2)uu(6,1))$
essendo eventi disgiunti, la probabilità dell'unione è la somma delle probabilità dei singoli sotto-eventi:
$p(7)=P(X=7)=P(1,6)+P(2,5)+P(3,4)+(4,3)+P(5,2)+P(6,1)=6/36=1/6$
"TommyB1992":
2) Calcola la probabilità che lanciando 3 monete contemporanemente si presentino una testa e due croci.
Risultato del libro: 3/8
Perchè non è 1/8 (1/2*1/2*1/2)?
Cosa sbaglio?
Grazie
Lo spazio degli eventi è $Omega={T,C}^3$ la cui cardinalità risulta essere pari a $|Omega|=8$ e, essendo gli eventi equiprobabili, si ha che $AA omega in Omega qquad, P(omega)=1/8$.
Indicando con $iT$ l'evento che esca $i$ volte $T$ e con $jC$ l'vento che esca $j$ volte $C$, la probabilità dell'evento cercato è quindi
$P(1T nn 2C)=P((T,C,C)uu(C,T,C)uu(C,C,T))$
anche in questo caso gli eventi sono disgiunti, per cui
$=P(T,C,C)+P(C,T,C)+P(C,C,T)=3/8$
"Magma":
Lo spazio degli eventi è $Omega={T,C}^3$ la cui cardinalità risulta essere pari a $|Omega|=8$ e, essendo gli eventi indipendenti, si ha che $AA omega in Omega qquad, P(omega)=1/8$.
Indicando con $iT$ l'evento che esca $i$ volte $T$ e con $jC$ l'vento che esca $j$ volte $C$, la probabilità dell'evento cercato è quindi
$P(1T nn 2C)=P((T,C,C)uu(C,T,C)uu(C,C,T))$
anche in questo caso gli eventi sono disgiunti, per cui
$=P(T,C,C)+P(C,T,C)+P(C,C,T)=3/8$
Ok questo è chiaro, ora mi viene più semplice capire anche perchè se l'evento che si deve verificare sono 3 croci o 3 teste il calcolo da fare è: P(C,C,C) = 1/2*1/2*1/2 = 1/8, quindi ottenere 2 croci e 1a testa (o il contrario) è più facile che ottenere 3 figure uguali.
"Magma":
Intendi l'evento che la somma dei due dadi sia $7$? In tal caso si ha$p(2)=1/36 qquad p(3)=2/36 qquad p(4)=3/36 qquad p(5)=4/36 qquad p(6)=5/36 qquad p(7)=6/36$:
$p(8)=5/36 qquad p(9)=4/36 p(10)=3/36 qquad p(11)=2/36 qquad p(12)=1/36$
$p(7)=P(X=7)=P((1,6)uu(2,5)uu(3,4)uu(4,3)uu(5,2)uu(6,1))$
essendo eventi disgiunti, la probabilità dell'unione è la somma delle probabilità dei singoli sotto-eventi:
$p(7)=P(X=7)=P(1,6)+P(2,5)+P(3,4)+(4,3)+P(5,2)+P(6,1)=6/36=1/6$
Questo invece non mi per niente chiaro...
Da dove tiri fuori:
$p(2)=1/36 qquad p(3)=2/36 qquad p(4)=3/36 qquad p(5)=4/36 qquad p(6)=5/36 qquad p(7)=6/36$
$p(8)=5/36 qquad p(9)=4/36 p(10)=3/36 qquad p(11)=2/36 qquad p(12)=1/36$
$p(8)=5/36 qquad p(9)=4/36 p(10)=3/36 qquad p(11)=2/36 qquad p(12)=1/36$
???
E poi perchè parti dall'indice 2? Ipotizzo tu possa anche chiamare gli eventi p(367), p(1000), p(-1) quindi credo sia una distrazione, ma se così non fosse puoi delucidarmi?
Non capisco anche perchè incrementi ogni evento e poi lo decrementi...
Ti ringrazio
"TommyB1992":
Questo invece non mi per niente chiaro...
Da dove tiri fuori:$p(2)=1/36 qquad p(3)=2/36 qquad p(4)=3/36 qquad p(5)=4/36 qquad p(6)=5/36 qquad p(7)=6/36$
$p(8)=5/36 qquad p(9)=4/36 p(10)=3/36 qquad p(11)=2/36 qquad p(12)=1/36$
???
E poi perchè parti dall'indice 2? Ipotizzo tu possa anche chiamare gli eventi p(367), p(1000), p(-1) quindi credo sia una distrazione, ma se così non fosse puoi delucidarmi?
Non capisco anche perchè incrementi ogni evento e poi lo decrementi...
Sia $X_1$ la v. a. che conta gli esiti del primo dado e $X_2$ del secondo dado; per entrambi lo spazio degli esiti risulta essere
$\Omega={1,...,6}, qquad |Omega|=6$ quindi $AA omega in Omega, qquad P(omega)=1/6$.
Ora sia $X=X_1+X_2={2,...,12}$[nota]Nessuna combinazione dei dadi potrà dare come somma degli esiti i valori da te citati: $367,1000,-1$.[/nota], ovvero la variabile che conta la somma degli esiti dei due dadi.
Lo spazio degli esiti risulta essere
$S={1,...,6}^2={(1,1),...,(1,6),(2,1),...,(2,6),...,(6,6)}, qquad |S|=36$ e $AA s in S, qquad P(s)=|s|/|S|$
Detto ciò ha senso chiedersi quanto vale
$P(X=2)=P{(1,1)}=1/36$
$P(X=3)=P{(1,2),(2,1)}=2/36$
$P(X=3)=P{(1,2),(2,1)}=2/36$
etcc...
P.S.:[ot]Per rendere il thread di più facile lettura, potresti cancellare la nota dalla citazione del mio post e il codice
[nota][/nota]dopo i due punti?[/ot]
Nessuna combinazione dei dadi potrà dare come somma degli esiti i valori da te citati: 367,1000,−1
Beh si questo era ovvio, non capivo il P(2 ... 12), ora ho capito che è la somma del lancio dei due dadi, che ovviamente parte da 2 perchè il minor risultato possibile è 1+1, quindi 1/6*1/6 = 1/36 come hai giustamente scritto.
Grazie
"TommyB1992":
non capivo il $p(2), ... p(12)$
Quello è un extra che ho aggiunto io: l'intento era di farti osservare che
$sum_(i=2)^12 P(X=i)=1=P(S)$
come previsto dal secondo assioma della probabilità.
Perdonami, ma non ho la più pallida idea di cosa voglia dire questa formula. Sto studiando da pochi giorni (3, massimo 4) e non sono mai stato capace in matematica.
Scusa, ma che scuola frequenti? 
Nessuna scuola, studio da autodidatta
Ok, allora
la sigma maiuscola è un simbolo che indica una somma di $n$ valori.
In probabilità, il secondo assioma specifica che, se $Omega={omega_1,...,omega_n}$ è lo spazio degli eventi e gli esiti sono tutti equiprobabili (ovvero $AA omega in Omega, qquad P(omega)=1/|Omega|=1/n$), allora
"TommyB1992":
Perdonami, ma non ho la più pallida idea di cosa voglia dire questa formula. Sto studiando da pochi giorni (3, massimo 4) e non sono mai stato capace in matematica.
$sum_(i=1)^n x_i=x_1+x_2+...+x_n$
la sigma maiuscola è un simbolo che indica una somma di $n$ valori.
In probabilità, il secondo assioma specifica che, se $Omega={omega_1,...,omega_n}$ è lo spazio degli eventi e gli esiti sono tutti equiprobabili (ovvero $AA omega in Omega, qquad P(omega)=1/|Omega|=1/n$), allora
$P(omega_1)+...+P(omega_n)=nP(omega)=1=P(Omega)$
Anche se con un giorno di ritardo, ti ringrazio per la spiegazione
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