Esercio calcolo combinatorio e bambini
"Probabilisti di tutto il mondo,UNITEVI!"
Ho questo esercizio:
"Dati otto bambini di cui quattro femmine e quattro maschi,quante sono le possibili disposizioni che si possono avere se devno sedersi intorno ad un tavolo rettangolare di dieci posti,e tale che due femmine siano sempre vicine?"
Io avevo pensato a $2*10*8!$ ma non sono troppe?
Ho questo esercizio:
"Dati otto bambini di cui quattro femmine e quattro maschi,quante sono le possibili disposizioni che si possono avere se devno sedersi intorno ad un tavolo rettangolare di dieci posti,e tale che due femmine siano sempre vicine?"
Io avevo pensato a $2*10*8!$ ma non sono troppe?
Risposte
La prima parte credo vada bene , dacchè tu fai variare le due bambine sui dieci posti e poi moltipliche per due dato che possono permutare . E' sull'8! che non mi ritrovo con il tuo ragionamento . Te devi considerarti il modo in cui puoi scegliere le 2 bambine tra le 4 totali e poi considerarti il modo in cui i restanti 6 bambini possono distribuirsi sui restanti 8 posti . Che ne pensi ??? 
Scusate ma non ho capito una cosa: OGNI bambina dev'essere accanto a qualcun'altra o, delle 4 bambine, basta che due a caso stiano vicine?
Credo che si intenda che ci siano sempre due bambine vicine ! MI sbaglio , Mr ??
Bisognerebbe stabilire se due bambine adiacenti ma disposte nell'angolo sono da considerarsi "vicine" o meno. Pertanto potrebbe essere importante anche stabilire la composizione del tavolo rettangolare. Si potrebbe avere infatti un tavolo di 10 posti formato da (4+1+4+1) (forma classica con il capotavola), oppure formato con (3+2+3+2) (diciamo piu' quadrato).
Propongo di risolverlo prima pensando ad un tavolo circolare (... piu' semplice ...) e poi eventualmente valutare la forma rettangolare...
Per il circolare penso di avere la soluzione, ma aspetto le vs. idee.
Propongo di risolverlo prima pensando ad un tavolo circolare (... piu' semplice ...) e poi eventualmente valutare la forma rettangolare...
Per il circolare penso di avere la soluzione, ma aspetto le vs. idee.
Ciao Umby, io prima della disposizione del tavolo ho bisogno di capire se, appunto, basta che due bambine a caso stiano accanto (almeno), o se tutte ogni bambina deve stare accanto a un'altra, formando quindi o due coppie o un quartetto.
"borador":
Ciao Umby, io prima della disposizione del tavolo ho bisogno di capire se, appunto, basta che due bambine a caso stiano accanto (almeno), o se tutte ogni bambina deve stare accanto a un'altra, formando quindi o due coppie o un quartetto.
Questo punto mi sembra abbastanza chiaro:
io lo intepreto che almeno 2 delle 4 bambine devono essere vicine, ad esempio considero valida la seguente disposizione:
FMVFFMMVFM
F=Femmina
M=Maschio
V=Posto Vuoto
valida perchè in posizione 4 e 5 ci sono due bambine adiacenti, anche se le altre due non lo sono.
Allora io farei in questo modo (penso a un tavolo circolare, ma cambia poco alla fine invece di dividere per 10 basterà dividere per un altro numero a seconda del tavolo):
1) Scelgo le bambine che staranno accanto, in maniera ordinata (cioè $AB != BA$), quindi $4 times 3$;
2) Scelgo i posti, ovviamente accanto, quindi $10$ modi possibili (visto che ho scelto le bambine in modo ordinato non devo distribuirle dentro ai posti, ce le metto così come sono);
3) Scelgo, degli 8 posti rimanenti, quelli in cui piazzare gli altri, quindi $( ( 8 ),( 6 ) )$;
4) Piazzo i 6 bambini rimanenti in questi 6 posti, quindi $6!$.
5) Divido per $10$, perché in un tavolo circolare ogni disposizione è uguale a un'altra a meno di una "scalata" di un posto.
Quindi, in definitiva, i possibili modi sono $(4 times 3 times 10 times ( ( 8 ),( 6 ) ) times 6!)/10$
Potrebbe essere corretto così?
1) Scelgo le bambine che staranno accanto, in maniera ordinata (cioè $AB != BA$), quindi $4 times 3$;
2) Scelgo i posti, ovviamente accanto, quindi $10$ modi possibili (visto che ho scelto le bambine in modo ordinato non devo distribuirle dentro ai posti, ce le metto così come sono);
3) Scelgo, degli 8 posti rimanenti, quelli in cui piazzare gli altri, quindi $( ( 8 ),( 6 ) )$;
4) Piazzo i 6 bambini rimanenti in questi 6 posti, quindi $6!$.
5) Divido per $10$, perché in un tavolo circolare ogni disposizione è uguale a un'altra a meno di una "scalata" di un posto.
Quindi, in definitiva, i possibili modi sono $(4 times 3 times 10 times ( ( 8 ),( 6 ) ) times 6!)/10$
Potrebbe essere corretto così?
L'interpretazione di Umby è quella giusta.
Però mi chiedo non è che come hai fatto Borador si corre il rischio di contare alcune disposizioni due volte o magari tre?
Però mi chiedo non è che come hai fatto Borador si corre il rischio di contare alcune disposizioni due volte o magari tre?
"borador":
Potrebbe essere corretto così?
Concordo con quanto già detto da Mrhaha, cosi' facendo alcune disposizioni ( tipo FFxxxFFxxx ) le conteggi due volte. Anche quelle tipo (FFFxxxFxxx), o quelle (FFFFxxxxxx). In alcuni casi anche più di 2 volte.
Non è semplice come sembrava!
Avete ragione... ora non ho tempo, speriamo che qualcun'altro riesca a farlo, altrimeti ci riprovo!
Considero un tavolo circolare con posti numerati e voglio sapere quante sono le disposizioni che presentano almeno due femmine (qualunque) vicine.
Farei così: dalle $(10!)/(2!)$ permutazioni totali sottraggo quelle che non presentano nessuna femmina vicino ad un'altra (1-1-1-1).
Queste ultime dovrebbero essere $[((7),(4))-((5),(2))]*4!*(6!)/(2!)=216000$ (ricavabili sfruttando le considerazioni fatte in questo post).
@Umby
Per differenza ottengo quindi: $ 1814400-216000=1598400$.
A questo punto rilancio:
Trovare quante disposizioni presentano esattamente:
(1-1-1-1) nessuna femmina vicina (già fatto)
(2-1-1) due femmine vicine e due no
(2-2) due femmine vicine e altre due pure vicine
(3-1) tre femmine vicine e una da sola
(4) quattro femmine tutte vicine
Verificare infine che la somma faccia il totale $(10!)/(2!)$.
Farei così: dalle $(10!)/(2!)$ permutazioni totali sottraggo quelle che non presentano nessuna femmina vicino ad un'altra (1-1-1-1).
Queste ultime dovrebbero essere $[((7),(4))-((5),(2))]*4!*(6!)/(2!)=216000$ (ricavabili sfruttando le considerazioni fatte in questo post).
@Umby
Per differenza ottengo quindi: $ 1814400-216000=1598400$.
A questo punto rilancio:
Trovare quante disposizioni presentano esattamente:
(1-1-1-1) nessuna femmina vicina (già fatto)
(2-1-1) due femmine vicine e due no
(2-2) due femmine vicine e altre due pure vicine
(3-1) tre femmine vicine e una da sola
(4) quattro femmine tutte vicine
Verificare infine che la somma faccia il totale $(10!)/(2!)$.
"cenzo":
A questo punto rilancio:
Trovare una formuletta per ognuna delle casistiche da te menzionate non è facile.
Partendo dalle $1.814.400$ disposizioni totali il mio programma ha calcolato le seguenti disposizioni espresse in $1/42$ sulle totali:
[4] 2
[3-1] 10
[2-2] 5
[2-1-1] 20
[1-1-1-1] 5
il totale fa 42, quindi tutto quadra.
"cenzo":
@Umby
Tra l'altro finalmente mi sono "tolto lo sfizio" di capire il modo "semplicissimo" di dimostrare quella formula..
Cosa avevo in mente a dicembre ? booo ....
Mi conforta che ci tornano gli stessi risultati 
Per alcuni casi è semplice, per altri meno: il caso 2-2 è quello che mi ha dato più grattacapi.
Comunque ho usato a man bassa la logica della formula citata in quel post..
Salvo errori, mi risultano queste soluzioni:
Quel topic si era "sedimentato" nei miei pensieri e tra i segnalibri.
Sono contento di averne finalmente capito il ragionamento..
"Umby":
Trovare una formuletta per ognuna delle casistiche da te menzionate non è facile.
Per alcuni casi è semplice, per altri meno: il caso 2-2 è quello che mi ha dato più grattacapi.
Comunque ho usato a man bassa la logica della formula citata in quel post..
Salvo errori, mi risultano queste soluzioni:
"Umby":
Cosa avevo in mente a dicembre ? booo ....
Quel topic si era "sedimentato" nei miei pensieri e tra i segnalibri.
Sono contento di averne finalmente capito il ragionamento..
"cenzo":
Per alcuni casi è semplice, per altri meno: il caso 2-2 è quello che mi ha dato più grattacapi.
Forse il caso 2-2 è proprio quello più rompi....
Io l'avrei risolto così
Prima coppia [XX] (posso disporla in 10 modi diversi), occupo uno posto ai due lati (per la circolarità [BXXB], seconda coppia usando i 6 posti liberi, posso ottenerla in 5 modi diversi.
Non mi interessa la disposizione tra prima e seconda coppia (perchè la considero dopo), quindi ottengo:
$(10*5)/2=25$
il fattore di moltiplicazione è: $4!$ per le bimbe, e $(6!)/2$ per gli altri 6 posti (il diviso 2 perchè non c'e' differenza tra i due posti vuoti [lo stesso motivo di eliminazione da quelli totali])
"Umby":
Io l'avrei risolto così
Prima coppia [XX] (posso disporla in 10 modi diversi), occupo uno posto ai due lati (per la circolarità [BXXB], seconda coppia usando i 6 posti liberi, posso ottenerla in 5 modi diversi.
Non mi interessa la disposizione tra prima e seconda coppia (perchè la considero dopo), quindi ottengo:
$(10*5)/2=25$
Hai visto che c'era un modo più semplice!
Avevo provato la tua strada, ma non avevo realizzato che occorreva dividere per 2 ... e i conti ovviamente non tornavano..
mi ero quindi messo a linearizzare il tavolo e a ricomporlo, facendo attenzione agli effetti di bordo..
E' sempre un piacere leggere i tuoi ragionamenti
"cenzo":
E' sempre un piacere leggere i tuoi ragionamenti
Reciproca..
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