Eserc. processo di Poisson

[gheto-]

I pazienti che arrivano ad uno studio dentistico costituiscono un processo di Poisson di parametro $v$. Sapendo che il trattamento dura $Delta "secondi"$ indipendentemente dagli arrivi e che $Delta$ è una variabile aleatoria esponenziale di parametro $lambda$
1) determinare la probabilità che il secondo paziente non debba aspettare
2) determinare il tempo medio di attesa del secondo paziente

Indicando con $T(k)$ gli arrivi dei pazienti, risulta:
$T(k)=\sum_{i=1}^k D(i)$
dove $D(i)$ rappresenta intervallo tra due arrivi consecutivi ed è distribuito come $D(i) ~ Ex(lambda)$

Corretto fino a qui??

[Lo_zio_Tom]

Sei totalmente fuori strada.

L'esercizio è molto interessante.

Devi partire dal fatto che se il processo è $ Po(v) $ significa che gli interarrivi sono esponenziali di media $1/v $. Poi c'è l'altra variabile da considerare: la durata della visita, anch'essa esponenziale $ Exp (lambda) $
Quindi indichiamo con $Z$ la variabile "tempo di attesa del secondo paziente" e troviamo, con qualche ragionamento sulle due variabili esponenziali indipendenti:

1) $ P(Z=0)=lambda/(lamda+v)$

2) La distribuzione del tempo di attesa del secondo paziente è la seguente:

$F_(Z)(z)-={{: ( 0 , ;z<0 ),( lambda/(lambda+v) , ;z=0 ),( 1-v/(v+lambda)e^(-lambdaz) , ;z>0 ) :}$

da cui si vede subito [senza fare conti] che la media è $E(Z)=v/(lambda(lambda+v))$

...se non lo vedi puoi tranquillamente calcolarla con la definizione: $E(Z)=int_(D)zdF$

EDIT:

@vinci93: facendo seguito alla tua richiesta di spiegazioni i pm ecco i miei commenti

dunque....se gli arrivi sono poissoniani di media $v$ è facile dimostare che i tempi di interarrivo sono distribuiti esponenzialmente di media $1/v$


supponiamo infatti di avere $lambda$ arrivi nel tempo $t$. il processo sarà descritto da una variabile di poisson $Po(lambdat)$.
Indichiamo con $T$ il tempo di interarrivo, ossia il tempo che intercorre fra un arrivo e il successivo. Cerchiamo $F_(T)(t)$

Ovvero cerchiamo

$F_(T)(t)=P(T<=t)=1-P(T>t)=1-e^(-lambdat)$

Infatti $P(T>t)$ significa che nel tempo $t$ devono arrivare zero persone. Come vedi la CDF trovata è proprio la CDF di una $Exp(lambda)$ cioè una esponenziale negativa di media $1/lambda$



a questo punto, la probablità che il cliente non debba aspettare è come dire la probabilità che la visita duri meno del tempo di interarrivo, ovvero basta calcolare $P(Y
Per proseguire il problema calcolerai la probabilità che la visita duri di più del tempo di interarrivo, ovviamente ciò in funzione del tempo di attesa

Formalmente:

$Z-={{: ( 0 , ;y<=x ),( Y-X , ;y>x ) :}$

per cui ti basta calcolare

$P(ZX$...l'integrale è davvero semplice e si risolve in pochissimi passaggi



....la variabile risutlante sarà una variabile mista, dato che concentra una massa positiva in zero. Una volta calcolata la distribuzione la media è lì che ti guarda....senza doverla calcolare

[vinci931]

"tommik":@vinci93: facendo seguito alla tua richiesta di spiegazioni i pm ecco i miei commenti

dunque....se gli arrivi sono poissoniani di media $v$ è facile dimostare che i tempi di interarrivo sono distribuiti esponenzialmente di media $1/v$


supponiamo infatti di avere $lambda$ arrivi nel tempo $t$. il processo sarà descritto da una variabile di poisson $Po(lambdat)$.
Indichiamo con $T$ il tempo di interarrivo, ossia il tempo che intercorre fra un arrivo e il successivo. Cerchiamo $F_(T)(t)$

Ovvero cerchiamo

$F_(T)(t)=P(T<=t)=1-P(T>t)=1-e^(-lambdat)$

Infatti $P(T>t)$ significa che nel tempo $t$ devono arrivare zero persone. Come vedi la CDF trovata è proprio la CDF di una $Exp(lambda)$ cioè una esponenziale negativa di media $1/lambda$



a questo punto, la probablità che il cliente non debba aspettare è come dire la probabilità che la visita duri meno del tempo di interarrivo, ovvero basta calcolare $P(Y

Fino a qui tutto chiaro. Non ho capito poi cosa hai fatto scrivendo..

"tommik":Per proseguire il problema calcolerai la probabilità che la visita duri di più del tempo di interarrivo, ovviamente ciò in funzione del tempo di attesa

Formalmente:

$Z-={{: ( 0 , ;y<=x ),( Y-X , ;y>x ) :}$

per cui ti basta calcolare

$P(ZX$...l'integrale è davvero semplice e si risolve in pochissimi passaggi



....la variabile risutlante sarà una variabile mista, dato che concentra una massa positiva in zero. Una volta calcolata la distribuzione la media è lì che ti guarda....senza doverla calcolare

PS: se non riesci a risolverlo dimmelo subito perché ora l'ho riguardato e ri-risolto...se me lo chiedi fra 15 giorni non me lo ricordo più.....non ho più 30 anni.....

[Lo_zio_Tom]

ora dobbiamo calcolare il tempo medio di attesa del cliente. Quindi ci serve la distribuzione del tempo di attesa. Abbiamo già calcolato la probabilità che il tempo di attesa sia zero. Ora supponiamo che il tempo di attesa sia $>0$

La nostra variabile è $Z=Y-X$ definita per $Y>X$

Per calcolare la CDF occorre calcolare

$lambda/(lambda+v)+int_(0)^(+oo)ve^(-vx)dxint_(x)^(x+z)lambdae^(-lambday)dy$

Questo perché la distribuzione del tempo di attesa è una variabile mista, cioè è continua ma ha un punto (lo zero) in cui concentra massa di probabilità positiva. (calcolata al punto precedente).

Il dominio di integrazione è quindi questo




per calcolare la media, iniziamo a derivare la CDF (il valore corrispondente a $z=0$ non ci interessa per il calcolo della media)

ottenendo

$f(z)=v/(v+lambda) lambdae^(-lambdax)$

e quindi ricordando che $E(aX)=aE(X)$ otteniamo che $E(Z)=v/(lambda(lambda+v))$





chiaro?