Esecizio sulla distribuzione normale
Credo sia di una banale ma non riesco a non risolverlo.
Cercherò di postare il tutto attenendomi alle regole del forum.. abbiate pazienza se fallisco :P
L'esercizio in questione è questo:
Sapendo che il primo quartile ( x[size=59]0,25[/size] ) di una variabile casuale X distribuita in modo Normale è pari a 20 e il terzo quartile ( x [size=59]0,75[/size] pari a 40, determinare la media aritmetica e la varianza di tale variabile.
Ora io credevo mi bastasse mettere a unico sistema
$\{(20 - \mu) / \sigma = z_(0.25):}$
$\{(40 - \mu) / \sigma = z_(0.75):}$
e risolvere
ma ottengo dei risultati completamente sballati...
Per favore aiuto
Cercherò di postare il tutto attenendomi alle regole del forum.. abbiate pazienza se fallisco :P
L'esercizio in questione è questo:
Sapendo che il primo quartile ( x[size=59]0,25[/size] ) di una variabile casuale X distribuita in modo Normale è pari a 20 e il terzo quartile ( x [size=59]0,75[/size] pari a 40, determinare la media aritmetica e la varianza di tale variabile.
Ora io credevo mi bastasse mettere a unico sistema
$\{(20 - \mu) / \sigma = z_(0.25):}$
$\{(40 - \mu) / \sigma = z_(0.75):}$
e risolvere
ma ottengo dei risultati completamente sballati...
Per favore aiuto
Risposte
Il sistema è giusto come lo risolvi?
Nota che essendo la normale simmetrica alla sua media, se ti fornisce quantili equidistanti da 0.5 la media è il punto medio dei quantili. (ovvero 30)
Nota che essendo la normale simmetrica alla sua media, se ti fornisce quantili equidistanti da 0.5 la media è il punto medio dei quantili. (ovvero 30)
provo a farti vedere la risoluzione, sono convinto di aver capito male la teoria a questo punto...
$\{(20 - \mu) / \sigma = 0,25:}$
$\{(40 - \mu) / \sigma = 0,75:}$
poi
$\{(20 - \mu) = 0,25 \sigma:}$
$\{(40 - \mu) = 0,75 \sigma:}$
e
$\{ \mu = 20 - 0,25 \sigma:}$
$\{(40 - (20 - 0,25 \sigma)) = 0,75 \sigma:}$
ottengo dopo pochi passaggi e sostituendo
$\{ \mu = 10 :}$
$\{ \sigma = 40 :}$
so di sbagliare, ma non capisco cosa, penso l'impostazione dell'esercizio o i quantili :/
$\{(20 - \mu) / \sigma = 0,25:}$
$\{(40 - \mu) / \sigma = 0,75:}$
poi
$\{(20 - \mu) = 0,25 \sigma:}$
$\{(40 - \mu) = 0,75 \sigma:}$
e
$\{ \mu = 20 - 0,25 \sigma:}$
$\{(40 - (20 - 0,25 \sigma)) = 0,75 \sigma:}$
ottengo dopo pochi passaggi e sostituendo
$\{ \mu = 10 :}$
$\{ \sigma = 40 :}$
so di sbagliare, ma non capisco cosa, penso l'impostazione dell'esercizio o i quantili :/
Si, sbagli sui $z_(0.25)$ e $z_(0.75)$ che non sono uguali a 0.25 e 0.75, ma sono i punti dove F(z)=0.25/75.
non potresti essere un pò più esauriente? Ho cominciato solo adesso a studiare la normale... Come avrei dovuto impostare il sistema
Ok, però sto uscendo quindi continuerà qualcun'altro.
Setta $z_alpha$ è come il punto tale che $P(Z<=z_alpha)=alpha$ Z normale standard.
Ti hanno assegnato una variabile normale $X$ con media $mu$ e varianza $sigma^2$.
$X$ avrà la forma $X=sigma Z+mu$
Ti hanno dato $P(X<=20)=0.25$ e $P(X<=40)=0.75$. (in questo caso i punti 20 e 40 corrispondono a $x_(0.25)$ e $x_(0.75)$)
Standardizzi (lo faccio per uno) ottieni $P((X-mu)/sigma<=(20-mu)/sigma)=0.25$ e questa $(X-mu)/sigma=Z$
Poi consideri $P(Z<=z_(0.25))=0.25$ e fai l'equazione
$z_(0.25)=(20-mu)/sigma$
Stessa cosa per l'altra.
Il punto $z_(0.25)$ quindi non è 0.25, ma è il punto tale che la probabilità che la normale standard sia minore di quel punto è 0.25
In questo caso i due valori sono -0.67 e +0.67.
In definitiva ti viene $mu=30$ e $sigma=14.83$
EDIT: Corretto un 10 con un 20.
Setta $z_alpha$ è come il punto tale che $P(Z<=z_alpha)=alpha$ Z normale standard.
Ti hanno assegnato una variabile normale $X$ con media $mu$ e varianza $sigma^2$.
$X$ avrà la forma $X=sigma Z+mu$
Ti hanno dato $P(X<=20)=0.25$ e $P(X<=40)=0.75$. (in questo caso i punti 20 e 40 corrispondono a $x_(0.25)$ e $x_(0.75)$)
Standardizzi (lo faccio per uno) ottieni $P((X-mu)/sigma<=(20-mu)/sigma)=0.25$ e questa $(X-mu)/sigma=Z$
Poi consideri $P(Z<=z_(0.25))=0.25$ e fai l'equazione
$z_(0.25)=(20-mu)/sigma$
Stessa cosa per l'altra.
Il punto $z_(0.25)$ quindi non è 0.25, ma è il punto tale che la probabilità che la normale standard sia minore di quel punto è 0.25
In questo caso i due valori sono -0.67 e +0.67.
In definitiva ti viene $mu=30$ e $sigma=14.83$
EDIT: Corretto un 10 con un 20.
Grazie per l'aiuto ma non capisco dove hai preso quel 10 in
$\{ z_(0.25) = (10 - \mu) / \sigma:}$
$\{ z_(0.25) = (10 - \mu) / \sigma:}$
"Balengs":
Grazie per l'aiuto ma non capisco dove hai preso quel 10 in
$\{ z_(0.25) = (10 - \mu) / \sigma:}$
Ma è solo un errore di battitura, è ovvio che intendeva $20$
Rifletti su cosa è $z_0.75$: è quel valore (quantile) della v.c. normale standard tale che $P(Z<=z_0.75)=F(z_0.75)=\int_{-\infty}^{z_0.75}f(z)dz=0.75$
Quindi sai la probabilità (0.75) e puoi usare le tavole della funzione di ripartizione $F(z)$ per trovarti il $z$ corrispondente.
"cenzo":
Ma è solo un errore di battitura, è ovvio che intendeva $20$
Grazie cenzo.
Ho editato.
Oki! Credo di aver capito
Grazie a entrambi ciao ciao
Grazie a entrambi ciao ciao
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