Es. sulla funzione di distribuzione di var. aleatoria

[antony85]

Salve ragazzi, dovrei svolgere un esercizio, formato da 2 punti, di cui la traccia dice:
Punto A:
Verificare che la funzione:

F(X):
valga 0 se x<=0
valga -x^3+x^2+x se 0 valga 1 se x>1

sia la distribuzione di una variabile aleatoria continua, che indicheremo in seguito con X.

Punto B:
Calcolare poi P{-1

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Risposte

antony85

29 ott 2011, 02:44

Come primo approccio, al Punto A, ho capito che questa funzione di distribuzione vale 0 se x<=0, ovvero non ci sono possibilità che tale evento si verifichi, dopodichè vale -x^3+x^2+x nel caso sia compreso tra 0 e 1,e vale 1 se maggiore di 1(ovvero credo che anche qui, dopo il valore di 1, non ci sono piu possibilità che l'evento si verifichi).

Quindi il tutto "si gioca" tra 0 e 1, e quella funzione -x^3+x^2+x a farla da padrone per lo svolgimento dell'esercizio, ma non so come approcciare la risoluzione...

Il secondo punto, se ho interpretato bene la traccia, chiede di calcolare la probabilità di X compreso tra -1 e 2/3, quindi avevo pensato di sostituire alla funzione -x^3+x^2+x prima il valore -1 e poi quello 2/3, ma anche qui iniziano poi i dubbi, e non saprei piu come muovermi....

Grazie a chiunque risponderà!

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retrocomputer

29 ott 2011, 07:09

"antony85":Come primo approccio, al Punto A, ho capito che questa funzione di distribuzione vale 0 se x<=0, ovvero non ci sono possibilità che tale evento si verifichi, dopodichè vale -x^3+x^2+x nel caso sia compreso tra 0 e 1,e vale 1 se maggiore di 1(ovvero credo che anche qui, dopo il valore di 1, non ci sono piu possibilità che l'evento si verifichi).

Mmmm... A parte il fatto che potrebbero esserci differenze nel modo in cui si chiamano i vari oggetti matematici utilizzati, ma secondo me stai confondendo la distribuzione con la funzione di ripartizione... La F che hai scritto assomiglia a una funzione di ripartizione e credo che l'esercizio ti chieda di provare se F è la funzione di ripartizione di una qualche misura di probabilità (e quindi di una qualche variabile aleatoria).

Ora, per provare questo, io conosco un teorema che chiamo teorema fondamentale del calcolo e che, in pratica, ti dice che se la F è monotona non decrescente, continua e $C^1$ a tratti, allora la misura di probabilità suddetta esiste.

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Sk_Anonymous

29 ott 2011, 12:38

"retrocomputer":
Ora, per provare questo, io conosco un teorema che chiamo teorema fondamentale del calcolo e che, in pratica, ti dice che se la F è monotona non decrescente, continua e $C^1$ a tratti, allora la misura di probabilità suddetta esiste.

In questo caso, sono necessarie anche le seguenti:

$[\lim_{x->-oo}F(x)=0] ^^ [\lim_{x->+oo}F(x)=1]$

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retrocomputer

29 ott 2011, 12:49

"speculor":
In questo caso, sono necessarie anche le seguenti:

$[\lim_{x->-oo}F(x)=0] ^^ [\lim_{x->+oo}F(x)=1]$

Esatto, proprio quello. Tu come lo chiami?

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Sk_Anonymous

29 ott 2011, 13:41

"retrocomputer":
Esatto, proprio quello. Tu come lo chiami?

Se ti stai riferendo alle condizioni espresse dai $2$ limiti, non credo abbiano un nome particolare.

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retrocomputer

29 ott 2011, 14:08

No no, mi riferivo al nome del teorema

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antony85

29 ott 2011, 17:20

ok ragà sto seguendo il vostro dialogo cerchero ovviamente di apprendere quanto piu possibile, se volete posso pure postare la traccia scannerizzata dell'esercizio

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antony85

29 ott 2011, 17:37

Questa è la traccia dell'esercizio...

http://i40.tinypic.com/24c60b4.jpg

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Sk_Anonymous

29 ott 2011, 17:48

Riassumendo:

Condizione 1: $F(x)$ continua.

Condizione 2: $F(x)$ monotona non decrescente.

Condizione 3: $\lim_{x->-oo}F(x)=0$.

Condizione 4: $\lim_{x->+oo}F(x)=1$

Per quanto riguarda la prima condizione, credo sia sufficiente la continuità. Invece, quando la variabile aleatoria è discreta, si richiede solo la continuità a destra.

"retrocomputer":
No no, mi riferivo al nome del teorema.

Non capisco se stai parlando del teorema fondamentale del calcolo integrale.

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retrocomputer

29 ott 2011, 21:23

"speculor":
Non capisco se stai parlando del teorema fondamentale del calcolo integrale.

Le mie difficoltà comunicative in questo thread mi stanno preoccupando... Parlo del teorema che stiamo usando, del quale hai elencato le 4 condizioni (forse manca la condizione $C^1$ a tratti, penso che serva perché la densità è proprio la derivata della funzione di ripartizione dove quest'ultima è $C^1$, mentre è $0$ nei punti, un numero finito, non $C^1$) e che io ho sentito chiamare Teorema fondamentale del calcolo (senza integrale ).

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retrocomputer

29 ott 2011, 21:48

Mi correggo: per provare l'esistenza di una probabilità avente $F$ come funzione di ripartizione non serve la condizione di $C^1$ a tratti, come dice giustamente speculor. Questa serve per ottenere che la suddetta probabilità sia definita da una densità... Spero che ora vada bene

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antony85

30 ott 2011, 08:46

vai ragazzi, scrivete il piu possibile, che io domani devo discutere quest'esercizio e non so proprio come uscirmene!

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Sk_Anonymous

30 ott 2011, 09:02

"antony85":
vai ragazzi, scrivete il piu possibile, che io domani devo discutere quest'esercizio e non so proprio come uscirmene!

A questo punto, si tratta di verificare queste $4$ condizioni:

"speculor":

Condizione 1: $F(x)$ continua.

Condizione 2: $F(x)$ monotona non decrescente.

Condizione 3: $\lim_{x->-oo}F(x)=0$.

Condizione 4: $\lim_{x->+oo}F(x)=1$

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DajeForte

30 ott 2011, 09:32

"antony85":Salve ragazzi, dovrei svolgere un esercizio, formato da 2 punti, di cui la traccia dice:
Punto A:
Verificare che la funzione:

F(X):
valga 0 se x<=0
valga -x^3+x^2+x se 0 valga 1 se x>1

sia la distribuzione di una variabile aleatoria continua, che indicheremo in seguito con X.

Verifica che esiste una funzione $f$, di variabile reale, non negativa, e con integrale su R uguale a 1 tale che:
$F(x)=int_{-infty}^xf(u)du$

@speculor: per una v.a. assolutamente continua non basta la sola continuità della $F$.

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Sk_Anonymous

30 ott 2011, 09:57

"DajeForte":
@speculor: per una v.a. assolutamente continua non basta la sola continuità della $F$.

Ok. Se ricordo bene, una variabile aleatoria assolutamente continua può essere descritta mediante una densità di probabilità. Non capisco però come tale richiesta si possa evincere dal testo dell'esercizio. In breve, la tua è una doverosa considerazione di carattere generale oppure ritieni di doverla applicare anche in questo esercizio?

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DajeForte

30 ott 2011, 10:04

Che diceva di dimostrare che era la funzione di distribuzione di una variabile continua (che ritengo vada inteso per assolutamente continua)

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Sk_Anonymous

30 ott 2011, 10:19

"DajeForte":
Che diceva di dimostrare che era la funzione di distribuzione di una variabile continua (che ritengo vada inteso per assolutamente continua)

Ok e grazie dell'integrazione.

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DajeForte

30 ott 2011, 11:55

"speculor":Ok e grazie dell'integrazione.

Figurati è un piacere.
Comunque ogni funzione di ripartizione di una variabile reale deve rispettare le condizioni che hai scritto te, dove nella condizione 1 viene richieste la continuità solo da destra.

Sulla questione della continuità (versus assoluta continuità) se vuoi approfondire considera che:

ogni funzione di ripartizione di una v.a. reale può essere scritta come la conbinazione lineare di 3 funzioni di ripartizione dove una è assolutamente continua; una singolare continua (tipo la distribuzione di Cantor); ed una singolare(discreta per intenderci).

Questo è praticamente il teorema di decomposizione della misura di Lebesgue.

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retrocomputer

30 ott 2011, 14:39

Allora, provo a risolvere l'esercizio... Ma si tratta solo di un tentativo di risoluzione, come se fossi io a proporre l'esercizio

La prima parte dell'esercizio è una applicazione del teorema che fornisce delle condizioni sufficienti perché una funzione sia di ripartizione per una variabile aleatoria con legge definita da una densità. Si verificano le condizioni 1,2,3,4 di cui sopra per garantire l'esistenza di una (e unica) misura di probabilità avente $F$ come funzione di ripartizione e si verifica che $F$ è $C^1$ a tratti per garantirsi che la suddetta misura di probabilità è definita da una densità (che sarà la derivata della $F$ nei punti in cui $F$ è $C^1$ e sarà definita a piacimento nei punti non $C^1$, intanto sono un numero finito, quindi un insieme trascurabile).

Condizione 1: $F$ è continua (a destra)

Si vede che è proprio continua e per farlo direi che basta fare la verifica nei punti $0$ e $1$, visto che altrove la $F$ è o costante o un polinomio. Risparmio tempo e spazio evitando il calcolo dei limiti destri e sinistri che risultano essere uguali...

Condizione 2: $F$ è monotona non decrescente

Anche qui si può restringere il campo all'intervallo $(0,1)$, visto che al di fuori la $F$ è costante... Al limite ci si potrebbe assicurare che la $F$ sia sempre compresa tra $0$ e $1$ nell'intervallo $(0,1)$, ma questo si vede mentre si studia la monotonia in questo intervallo:
$F(0)=0$
$F(1)=1$
e si vede che la $F$ è crescente in $(0,1)$ osservando che la sua derivata è sempre positiva.

Condizione 3 e 4: i limiti

Credo che si provino facilmente, dal momento che, per costruzione, $F$ è definitivamente $1$ per $x->oo$ e definitivamente $0$ per $x->-oo$.

Condizione di $C^1$ a tratti:

$F$ è ovviamente $C^1$ ovunque tranne nei punti $0$ e $1$, nei quali bisogna forse qualche limite di rapporti incrementali per vedere se la $F$ è $C^1$ anche lì. A me risulterebbe $C^1$ in $1$ ma non in $0$... Ma forse non è importante: basta che gli eventuali punti non $C^1$ siano un numero finito...

Dunque la nostra densità è

$f(x)=\{(0,\ se\ x\leq 0),(-3x^2+2x+1,\ se\ 01):}$

La seconda parte dell'esercizio chiede di calcolare $\mathbb{P}\{-1 $\mathbb{P}\{-1 Va bene?

Infine si calcola la speranza:

$\mathbb{E}[X]=\int_{RR}xf(x)dx=\int_0^1x(-3x^2+2x+1)dx=...=5/{12}$
Torna?

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Sk_Anonymous

30 ott 2011, 17:37

@retrocomputer
Non ho svolto gli ultimi calcoli, in ogni modo il procedimento è corretto.

@DajeForte
Grazie dell'ulteriore integrazione.

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[antony85]

Come primo approccio, al Punto A, ho capito che questa funzione di distribuzione vale 0 se x<=0, ovvero non ci sono possibilità che tale evento si verifichi, dopodichè vale -x^3+x^2+x nel caso sia compreso tra 0 e 1,e vale 1 se maggiore di 1(ovvero credo che anche qui, dopo il valore di 1, non ci sono piu possibilità che l'evento si verifichi).

Quindi il tutto "si gioca" tra 0 e 1, e quella funzione -x^3+x^2+x a farla da padrone per lo svolgimento dell'esercizio, ma non so come approcciare la risoluzione...

Il secondo punto, se ho interpretato bene la traccia, chiede di calcolare la probabilità di X compreso tra -1 e 2/3, quindi avevo pensato di sostituire alla funzione -x^3+x^2+x prima il valore -1 e poi quello 2/3, ma anche qui iniziano poi i dubbi, e non saprei piu come muovermi....

Grazie a chiunque risponderà!

[retrocomputer]

"antony85":Come primo approccio, al Punto A, ho capito che questa funzione di distribuzione vale 0 se x<=0, ovvero non ci sono possibilità che tale evento si verifichi, dopodichè vale -x^3+x^2+x nel caso sia compreso tra 0 e 1,e vale 1 se maggiore di 1(ovvero credo che anche qui, dopo il valore di 1, non ci sono piu possibilità che l'evento si verifichi).

Mmmm... A parte il fatto che potrebbero esserci differenze nel modo in cui si chiamano i vari oggetti matematici utilizzati, ma secondo me stai confondendo la distribuzione con la funzione di ripartizione... La F che hai scritto assomiglia a una funzione di ripartizione e credo che l'esercizio ti chieda di provare se F è la funzione di ripartizione di una qualche misura di probabilità (e quindi di una qualche variabile aleatoria).

Ora, per provare questo, io conosco un teorema che chiamo teorema fondamentale del calcolo e che, in pratica, ti dice che se la F è monotona non decrescente, continua e $C^1$ a tratti, allora la misura di probabilità suddetta esiste.

[Sk_Anonymous]

"retrocomputer":
Ora, per provare questo, io conosco un teorema che chiamo teorema fondamentale del calcolo e che, in pratica, ti dice che se la F è monotona non decrescente, continua e $C^1$ a tratti, allora la misura di probabilità suddetta esiste.

In questo caso, sono necessarie anche le seguenti:

$[\lim_{x->-oo}F(x)=0] ^^ [\lim_{x->+oo}F(x)=1]$

[retrocomputer]

"speculor":
In questo caso, sono necessarie anche le seguenti:

$[\lim_{x->-oo}F(x)=0] ^^ [\lim_{x->+oo}F(x)=1]$

Esatto, proprio quello. Tu come lo chiami?

[Sk_Anonymous]

"retrocomputer":
Esatto, proprio quello. Tu come lo chiami?

Se ti stai riferendo alle condizioni espresse dai $2$ limiti, non credo abbiano un nome particolare.

[retrocomputer]

No no, mi riferivo al nome del teorema

[antony85]

ok ragà sto seguendo il vostro dialogo cerchero ovviamente di apprendere quanto piu possibile, se volete posso pure postare la traccia scannerizzata dell'esercizio

[antony85]

Questa è la traccia dell'esercizio...

http://i40.tinypic.com/24c60b4.jpg

[Sk_Anonymous]

Riassumendo:

Condizione 1: $F(x)$ continua.

Condizione 2: $F(x)$ monotona non decrescente.

Condizione 3: $\lim_{x->-oo}F(x)=0$.

Condizione 4: $\lim_{x->+oo}F(x)=1$

Per quanto riguarda la prima condizione, credo sia sufficiente la continuità. Invece, quando la variabile aleatoria è discreta, si richiede solo la continuità a destra.

"retrocomputer":
No no, mi riferivo al nome del teorema.

Non capisco se stai parlando del teorema fondamentale del calcolo integrale.

[retrocomputer]

"speculor":
Non capisco se stai parlando del teorema fondamentale del calcolo integrale.

Le mie difficoltà comunicative in questo thread mi stanno preoccupando... Parlo del teorema che stiamo usando, del quale hai elencato le 4 condizioni (forse manca la condizione $C^1$ a tratti, penso che serva perché la densità è proprio la derivata della funzione di ripartizione dove quest'ultima è $C^1$, mentre è $0$ nei punti, un numero finito, non $C^1$) e che io ho sentito chiamare Teorema fondamentale del calcolo (senza integrale ).

[retrocomputer]

Mi correggo: per provare l'esistenza di una probabilità avente $F$ come funzione di ripartizione non serve la condizione di $C^1$ a tratti, come dice giustamente speculor. Questa serve per ottenere che la suddetta probabilità sia definita da una densità... Spero che ora vada bene

[antony85]

vai ragazzi, scrivete il piu possibile, che io domani devo discutere quest'esercizio e non so proprio come uscirmene!

[Sk_Anonymous]

"antony85":
vai ragazzi, scrivete il piu possibile, che io domani devo discutere quest'esercizio e non so proprio come uscirmene!

A questo punto, si tratta di verificare queste $4$ condizioni:

"speculor":

Condizione 1: $F(x)$ continua.

Condizione 2: $F(x)$ monotona non decrescente.

Condizione 3: $\lim_{x->-oo}F(x)=0$.

Condizione 4: $\lim_{x->+oo}F(x)=1$

[DajeForte]

"antony85":Salve ragazzi, dovrei svolgere un esercizio, formato da 2 punti, di cui la traccia dice:
Punto A:
Verificare che la funzione:

F(X):
valga 0 se x<=0
valga -x^3+x^2+x se 0 valga 1 se x>1

sia la distribuzione di una variabile aleatoria continua, che indicheremo in seguito con X.

Verifica che esiste una funzione $f$, di variabile reale, non negativa, e con integrale su R uguale a 1 tale che:
$F(x)=int_{-infty}^xf(u)du$

@speculor: per una v.a. assolutamente continua non basta la sola continuità della $F$.

[Sk_Anonymous]

"DajeForte":
@speculor: per una v.a. assolutamente continua non basta la sola continuità della $F$.

Ok. Se ricordo bene, una variabile aleatoria assolutamente continua può essere descritta mediante una densità di probabilità. Non capisco però come tale richiesta si possa evincere dal testo dell'esercizio. In breve, la tua è una doverosa considerazione di carattere generale oppure ritieni di doverla applicare anche in questo esercizio?

[DajeForte]

Che diceva di dimostrare che era la funzione di distribuzione di una variabile continua (che ritengo vada inteso per assolutamente continua)

[Sk_Anonymous]

"DajeForte":
Che diceva di dimostrare che era la funzione di distribuzione di una variabile continua (che ritengo vada inteso per assolutamente continua)

Ok e grazie dell'integrazione.

[DajeForte]

"speculor":Ok e grazie dell'integrazione.

Figurati è un piacere.
Comunque ogni funzione di ripartizione di una variabile reale deve rispettare le condizioni che hai scritto te, dove nella condizione 1 viene richieste la continuità solo da destra.

Sulla questione della continuità (versus assoluta continuità) se vuoi approfondire considera che:

ogni funzione di ripartizione di una v.a. reale può essere scritta come la conbinazione lineare di 3 funzioni di ripartizione dove una è assolutamente continua; una singolare continua (tipo la distribuzione di Cantor); ed una singolare(discreta per intenderci).

Questo è praticamente il teorema di decomposizione della misura di Lebesgue.

[retrocomputer]

Allora, provo a risolvere l'esercizio... Ma si tratta solo di un tentativo di risoluzione, come se fossi io a proporre l'esercizio

La prima parte dell'esercizio è una applicazione del teorema che fornisce delle condizioni sufficienti perché una funzione sia di ripartizione per una variabile aleatoria con legge definita da una densità. Si verificano le condizioni 1,2,3,4 di cui sopra per garantire l'esistenza di una (e unica) misura di probabilità avente $F$ come funzione di ripartizione e si verifica che $F$ è $C^1$ a tratti per garantirsi che la suddetta misura di probabilità è definita da una densità (che sarà la derivata della $F$ nei punti in cui $F$ è $C^1$ e sarà definita a piacimento nei punti non $C^1$, intanto sono un numero finito, quindi un insieme trascurabile).

Condizione 1: $F$ è continua (a destra)

Si vede che è proprio continua e per farlo direi che basta fare la verifica nei punti $0$ e $1$, visto che altrove la $F$ è o costante o un polinomio. Risparmio tempo e spazio evitando il calcolo dei limiti destri e sinistri che risultano essere uguali...

Condizione 2: $F$ è monotona non decrescente

Anche qui si può restringere il campo all'intervallo $(0,1)$, visto che al di fuori la $F$ è costante... Al limite ci si potrebbe assicurare che la $F$ sia sempre compresa tra $0$ e $1$ nell'intervallo $(0,1)$, ma questo si vede mentre si studia la monotonia in questo intervallo:
$F(0)=0$
$F(1)=1$
e si vede che la $F$ è crescente in $(0,1)$ osservando che la sua derivata è sempre positiva.

Condizione 3 e 4: i limiti

Credo che si provino facilmente, dal momento che, per costruzione, $F$ è definitivamente $1$ per $x->oo$ e definitivamente $0$ per $x->-oo$.

Condizione di $C^1$ a tratti:

$F$ è ovviamente $C^1$ ovunque tranne nei punti $0$ e $1$, nei quali bisogna forse qualche limite di rapporti incrementali per vedere se la $F$ è $C^1$ anche lì. A me risulterebbe $C^1$ in $1$ ma non in $0$... Ma forse non è importante: basta che gli eventuali punti non $C^1$ siano un numero finito...

Dunque la nostra densità è

$f(x)=\{(0,\ se\ x\leq 0),(-3x^2+2x+1,\ se\ 01):}$

La seconda parte dell'esercizio chiede di calcolare $\mathbb{P}\{-1 $\mathbb{P}\{-1 Va bene?

Infine si calcola la speranza:

$\mathbb{E}[X]=\int_{RR}xf(x)dx=\int_0^1x(-3x^2+2x+1)dx=...=5/{12}$
Torna?

[Sk_Anonymous]

@retrocomputer
Non ho svolto gli ultimi calcoli, in ogni modo il procedimento è corretto.

@DajeForte
Grazie dell'ulteriore integrazione.