Errore sulla varianza

[marcoderamo93]

Buonpomeriggio

stavo affrontando questo esercizio abbastanza semplice ma ho trovato subito un anomalia

Siano $X~exp(2)$ e $Y~N(4,4)$ due v.a indipendenti e sia $Z=XY$

a) Calcolare $E(Z)$,$VAR(Z)$
b)siano $Z_1..Z_49$ v.a indipendenti con la stessa densità della v.a $Z$ definita prima.Calcolare approssimativamente la probabilità che la media empirica $bar\Z_49 $ superi 3

a) Come dal titolo il problema lo pesco subito

$E(Z)=E(XY)=E(X)E(Y)=1/2*4=2$

ora $VAR(Z)=E(Z^2)-E^2(Z)$ ora $E(Z^2)=E(X^2Y^2)=E(X^2)E(Y^2)=2/4*4=2$
quindi $V(Z)=2-2^2=-2$ cosa assolutamente impossibile.

Ma come è possibile? Sono tutte distribuzioni note con momenti secondi noti

Mi sto chiudendo Grazie

[Quinzio]

$E(Y) = 4$
$E(Y^2) = 4$ ?

[marcoderamo93]

Ho fatto confusione con una $N(0,1)$ dove $var(X)=E(X^2)$

Quindi le cose cambiano

$E(Y^2)=VAR(Y)+E^2(Y)=20$ seguirà $E(X^2)E(Y^2)=1/2*20=10$

Concludo anche con il punto b)

$bar\Z=(Z_1...Z_49)/49$ avrà rispettivamente $E(bar\Z)=2$ e $VAR(bar\Z)=10/49=0,20$


Dal TLC

$P(bar\Z>3)=P(N(0,1)>(3-2)/sqrt(0,20))=1-Phi(2,27)=1-0,98=0,02$