Errore quadratico medio

[bartofra]

Ciao, ho il seguente esercizio.

Si consideri un campione$ X1, . . . ,Xn$ di v.a. discrete con densità $ p(−1) =θ/2 $ $ p(0)=1 − θ $ $ p(1) =θ/2 $

(b) Calcolare media e varianza di $X1$.
Risposta: $ E(X) = 0; V (X) =θ $

(c) Si considerino ora gli stimatori di $θ$ definiti da
[size=150]Ө[/size]n= $ (1/n) * \sum_{1=1}^\n\|X i| $ e [size=150]T[/size]n =$|X n|$
si stabilisca se [size=150]Ө[/size]n e [size=150]T[/size]n sono distorti.

Risposta: i valori attesi degli stimatori sono entrambi pari a $0$. Quindi qli stimatori non sono distorti.

(d) Si calcoli l’errore quadratico medio degli stimatori [size=150]Ө[/size]n e [size=150]T[/size]n e se ne studino i
comportamenti per $ n → ∞ $.

Risposta: Dalla formula ho $ MSE = Var (T n) + [E(T n) - θ]^2 $ ma $ [E(T n) - θ] = 0 $

quindi $ MSE = Var (T n) $ Stessa caosa per il secondo stimatore $ MSE = Var (Өn) $

D' altronde, l' errore quadratico medio è pari alla varianza per stimatori non distorti.

Ma qui " casca l'asino" Come calcolo la varianza degli stimatori?
$ Var (Ө n) = E(Өn ^2) - E(Ө n)^2$ = $ E(Ө n ^2) $ = $ Var [((1/n) * \sum_{1=1}^\n\|X i|)^2] $
perchè $ E(Ө n)^2 = 0 $

$ Var (T n) = E(T n ^2) - E(T n)^2$ = $ E(T n ^2) $ = $ Var[(|X n|)^2] $ perchè $ E(T n)^2 = 0 $

Ma non so andare avanti.
Il testo riporta i seguenti risultati:

$ MSE = θ* (1-θ) / n $ per $ Ө n $

$ MSE = θ* (1-θ) $ per $ T n $

Ma come ci si arriva? QUalcuno puo aiutarmi ?


Grazie

[bartofra]

Effettivamente
il valore atteso degli stimatori era facile da calcolare ma avevo confuso il fatto che si parla di stimatori del parametro $ θ $ e non di $ X $.

Ho capito poi anche come calcolare l'MSE.

Scusa ma non frequento.

Grazie per l'aiuto