Enormi Dubbi sulle Funzioni di Distribuzione

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7 giu 2010, 17:07

Salve a tutti,
sto disperatamente cercando di studiare la funzione di probabilità ma, non avendo esercizi svolti (e non riuscendo a trovarne online), mi stò un po disperando.
Vorrei capire i concetti e l'applicazione quindi vi invito a parlare in modo meno tecnico possibile cercando di essere più esplicativi possibili.

Se ho capito bene la funzione di distribuzione può essere rappresentata su un piano cartesiano in cui gli assi rappresentano le variabili aleatorie.
Se disegnassi una funzione con 2 variabili aleatorie X e Y potrei dedurre se queste sono dipendenti o indipendenti. Nel caso di un triangolo mi è sembrato di capire che una variabile aleatoria può assumere determinati valori in relazione ai valori che l'altra assume. Nel caso di un semplice quadrato le variabili si possono definire indipendenti in quanto il valore assunto da una di esse non influenza l'altro.
Presupponendo questa base corretta vorrei capire intanto 2 concetti essenziali: l'area della funzione rappresentata sul piano cosa rappresenta? E' un valore utile?

Passando alla parte pratica. Ho visto degli esercizi in cui le vengono fornite 2 variabili aleatorie sotto forma di funzione o sotto forma: unif(0,a). Viene chiesto qual'è la probabilità che ad esempio X sia maggiore di Y ecc.
Dovrei considerare l'intersezione delle 2 funzioni come possibili risultati ed eventualmente fare cosa?
Ad esempio se invento banalmente:
X= unif(0,1)
Y=unif(0,2)
ottengo un quadrato con spigoli (0,0) (1,2) e quindi indipendenti? In tal caso X

Risposte

dissonance

15 giu 2010, 10:17

Ma no Fab, la teoria a cui ti stai riferendo (Trasformata di Fourier) non c'entra nulla. Arado vuole dire un'altra cosa, che ri-cito evitando accuratamente l'uso del termine "trasformata"

Proposizione Sia $X$ una v.a. AC (=Assolutamente Continua) con la pdf (=Funzione di Densità di Probabilità) $f_X$, e sia $T: RR\toRR$ una funzione strettamente monotona (*). Allora anche $Y=T(X)$ è una v.a. AC con la pdf $f_Y=f_X*|\frac{dT^{-1}}{dx}|$.

Questo si può dimostrare facilmente ed è secondo me un utile esercizio.

Il vero problema è che questa proposizione NON E' ADATTA alla situazione. Infatti qui abbiamo una v.a. $X$ e una funzione $T: RR\toRR,\ T(x)=x^2$, ed è chiaro che $T$ NON è strettamente monotona. Quindi non è possibile applicare questa proposizione, bisogna per forza ragionare direttamente. Ora purtroppo devo andare, se più tardi trovo il tempo vedo di scendere un po' di più nel dettaglio.

_____________________
(*) Nota per Arado: in linea strettamente teorica, è sufficiente richiedere questa ipotesi su $T$. Esistono poi dei teoremi di teoria della misura che garantiscono $T$ derivabile q.o. e $\frac{dT^{-1}}{dx}$ q.o. finito.

Fab10Messi

15 giu 2010, 11:10

sono nelle vostre mani.. attendo con ansia :'(

Arado90

15 giu 2010, 18:54

Cavolo, è vero! $X^2$ non è strettamente monotona =(

dissonance

15 giu 2010, 22:56

Allora, vediamo di dimostrare questa proposizione:

Proposizione Sia [tex]X[/tex] una v.a. AC con la pdf [tex]f[/tex] (questo significa che per ogni [tex]x\in\mathbb{R}[/tex], [tex]P(X\le x)=\int_{-\infty}^xf(y)\, dy[/tex]). Allora anche [tex]X^2[/tex] è AC.

Dimostrazione La cosa più importante è osservare che, per ogni [tex]a\in\mathbb{R}[/tex], [tex]P(X=a)=\int_{a}^af(y)\,dy=0[/tex]. Questo è tipico delle v.a. assolutamente continue, ed è falso in generale: per esempio è falso con una qualsiasi v.a. discreta. Conseguenza di questo è che per ogni [tex]a < b\in\mathbb{R}[/tex],
[tex]$P(a\le X \le b)=P(a < X \le b)\left(= P(X\le b) - P(X \le a) = \int_{-\infty}^b f(y)\, dy - \int_{-\infty}^a f(y)\, dy= \int_{a}^b f(y)\, dy \right)[/tex] (i membri in parentesi non ci serviranno nel seguito, ma sono cose buone a sapersi).

Queste scritte finora sono proprietà fondamentali delle v.a. assolutamente continue.
Usiamole per calcolare la funzione di distribuzione di [tex]X^2[/tex]:

[tex]$F_{X^2}(x)=P(X^2\le x)=\begin{cases} P(-\sqrt{x}\le X \le \sqrt{x}) & x \ge 0 \\ 0 & x <0 \end{cases} = \begin{cases} F_X(\sqrt{x})-F_X(-\sqrt{x}) & x \ge 0 \\ 0 & x < 0\end{cases}[/tex]

Usiamo adesso questo criterio: una v.a. [tex]Y[/tex] è AC se la propria funzione di distribuzione è derivabile tranne al più in un numero finito di punti (*) e [tex]$F_Y(x)=\int_{-\infty}^x \frac{dF_Y}{dy}(y)\, dy[/tex] per ogni [tex]x\in\mathbb{R}[/tex]. In questo caso, inoltre, la pdf di [tex]Y[/tex] è la derivata di [tex]F_Y[/tex].

Calcoliamo quindi la derivata di [tex]F_{X^2}[/tex]:

Fab10Messi

16 giu 2010, 09:11

Bè, che dire

diciamo che avendo esame domani non mi soffermo a chiederti ulteriori spiegazioni sulla tua dimostrazione.

All'atto pratico vediamo se ho capito:
Sia X v.a e $f_X(x)=$unif$(0,2)$ ddp, calcolare $f_Y(y)$ sapendo che $Y=X^2$

$f_Y(y)=f_(X^2)(x)=d/(dx)F_(X^2)(x)$

Quello che mi interessa adesso è dunque trovare $F_(X^2)(x)$ e poi derivarlo in x

$F_(X^2)(x)=P{X^2 < x}=P{X $0 if x<0$
$int_-sqrt(x)^sqrt(x)f_X(x)=int_-sqrt(x)^sqrt(x) 1/2 rect (x-1)/2 if x>0$

Ottengo una funzione che gode di tutte le caratteristiche

Fin qui è corretto?
A questo punto mi trovo un po in difficoltà nel determinare gli estremi di integrazione. Il minimo dovrebbe essere 0 visto che è più restrittivo rispetto a $-sqrt(x)$. Il massimo invece dovrebbe distinguersi in 2 casi a seconda del valore x. Se il mio ragionamento è corretto dovrei ottenere:

$int_0^2 1/2 dx$ se x>4
$int_0^sqrt(x) 1/2 dx$ se 0
Analizzando il risultato fin'ora ottenuto dovrebbe essere corretto in quanto se x>4 l'integrale viene 1, se x<0 viene 0 ovvero gode delle caratteristiche di una funzione di distribuzione.
Derivando ottengo:
$f_Y(y)=$
0 se x<0, x>4
1/2 sqrt(x) se 0 che gode anch'essa delle caratteristiche di una funzione di distribuzione (area totale uguale ad 1, ecc)

Spero sia corretto. Attendo conferma

dissonance

16 giu 2010, 09:58

Ad una lettura rapida mi pare giusto.

saimond87

18 giu 2010, 14:27

se avessi Z=|X-5|

con X è una variable aleatoria uniforme tra[-20,20].

devo trovare la densità di probabilità???

ho seguito i vostri passaggi ma nn riesco ad applicarli qualcuno sarebbe così gentile da svolgerlo per capire meglio!!!GRAZIE IN ANTICIPO

Fab10Messi

19 giu 2010, 13:11

saimond87:
se avessi Z=|X-5|

con X è una variable aleatoria uniforme tra[-20,20].

devo trovare la densità di probabilità???

ho seguito i vostri passaggi ma nn riesco ad applicarli qualcuno sarebbe così gentile da svolgerlo per capire meglio!!!GRAZIE IN ANTICIPO

E' probabile che in questi casi il testo ti chieda di trovare la densità di probabilità di Z.
La funzione di densità di probabilità di X già ce l'hai ed è unif[-20,20]. In pratica corrisponde a 1/40 RECT(x/40) ovvero un rettangolo di altezza 1/40, centrato in 0 e di larghezza 40.
L'altezza 1/40 è dettata dal fatto che l'area del triangolo deve corrispondere ad 1.

Quello che chiedi tu è lo stesso esercizio che ho fatto io nel mio ultimo post. Segui quello.. non dovresti avere grosse difficoltà. Se hai problemi posta il procedimento fin dove riesci a svolgerlo.

saimond87

19 giu 2010, 13:41

facendo il grafico mi trovo che per
Z<0 non ho soluzioni

Z>0 ho due soluzioni: x1=z+5 e x2=5-z.

a questo punto la |g'(x)|=1

la f(z)=[fx(x1)+fx(x2)]u(z)

dato che X_U(-20,20)

x1=z+5-->-25 x2=5-z-->-15
quindi la la $f(z)=1/40(rect(z+5)/40)+1/40(rect(z-5)/40)$

ok???????nn ne sono molto sicuro

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