Enormi Dubbi sulle Funzioni di Distribuzione

[Fab10Messi]

Salve a tutti,
sto disperatamente cercando di studiare la funzione di probabilità ma, non avendo esercizi svolti (e non riuscendo a trovarne online), mi stò un po disperando.
Vorrei capire i concetti e l'applicazione quindi vi invito a parlare in modo meno tecnico possibile cercando di essere più esplicativi possibili.

Se ho capito bene la funzione di distribuzione può essere rappresentata su un piano cartesiano in cui gli assi rappresentano le variabili aleatorie.
Se disegnassi una funzione con 2 variabili aleatorie X e Y potrei dedurre se queste sono dipendenti o indipendenti. Nel caso di un triangolo mi è sembrato di capire che una variabile aleatoria può assumere determinati valori in relazione ai valori che l'altra assume. Nel caso di un semplice quadrato le variabili si possono definire indipendenti in quanto il valore assunto da una di esse non influenza l'altro.
Presupponendo questa base corretta vorrei capire intanto 2 concetti essenziali: l'area della funzione rappresentata sul piano cosa rappresenta? E' un valore utile?

Passando alla parte pratica. Ho visto degli esercizi in cui le vengono fornite 2 variabili aleatorie sotto forma di funzione o sotto forma: unif(0,a). Viene chiesto qual'è la probabilità che ad esempio X sia maggiore di Y ecc.
Dovrei considerare l'intersezione delle 2 funzioni come possibili risultati ed eventualmente fare cosa?
Ad esempio se invento banalmente:
X= unif(0,1)
Y=unif(0,2)
ottengo un quadrato con spigoli (0,0) (1,2) e quindi indipendenti? In tal caso X

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Risposte

Arado90

7 giu 2010, 19:36

l'area della funzione rappresentata sul piano cosa rappresenta? E' un valore utile?

Se integri la funzione di densità in un intervallo $[a,b]$ che ricade dentro una di quelle aree, ottieni la probabilità che la variabile assuma valori compresi in quell'intervallo. Direi che è una valore abbastanza utile
Ovviamente se integri su tutta l'area devi ottenere 1.

Nel caso di un triangolo mi è sembrato di capire che una variabile aleatoria può assumere determinati valori in relazione ai valori che l'altra assume.

Anche trapezi, rettangoli ed altre "forme strane" implicano variabili dipendenti.

qual'è

Senza apostrofo xD

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Fab10Messi

7 giu 2010, 20:03

I rettangoli sono dipendenti?

La funzione di densità di probabilità dunque integrata da -inf a +inf fà 1 e se seleziono intervalli interni ottengo le probabilità che quegli intervalli di eventi si verifichino.
A questo punto cosa me ne faccio della funzione di distribuzione? perchè si integra da -inf a una variabile x? pur cercando su internet non ho ancora capito la pratica utilità di questa funzione :)

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Piccolo Fermat

9 giu 2010, 13:40

"Fab10Messi":

Passando alla parte pratica. Ho visto degli esercizi in cui le vengono fornite 2 variabili aleatorie sotto forma di funzione o sotto forma: unif(0,a). Viene chiesto qual'è la probabilità che ad esempio X sia maggiore di Y ecc.
Dovrei considerare l'intersezione delle 2 funzioni come possibili risultati ed eventualmente fare cosa?
Ad esempio se invento banalmente:
X= unif(0,1)
Y=unif(0,2)
ottengo un quadrato con spigoli (0,0) (1,2) e quindi indipendenti? In tal caso X

Allora ti posso aiutare per il fatto pratico. Avendo $X->U(0,1)$ e $Y->U(0,2)$ e sicuramente $f(x)=1$ e $f(y)=1/2$ quindi avrai che $\int_0^1f(x)dx*\int_0^2f(y)dy = 1 $.

Allora per calcolare &P(X
P(X

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Fab10Messi

10 giu 2010, 14:16

non capisco l'ultimo passaggio. Dove applichi (e come) la condizione X In questo caso a cosa c'entra qualcosa la funzione di distribuzione di probabilità? è per caso la f(x)=1(o 1/2) che ti sei ricavato?

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Arado90

10 giu 2010, 17:18

La $f(x)$ o la $f(y)$ sono le funzioni di probabilità (o densità, a seconda dei casi)

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Piccolo Fermat

10 giu 2010, 18:45

"Fab10Messi":non capisco l'ultimo passaggio. Dove applichi (e come) la condizione X In questo caso a cosa c'entra qualcosa la funzione di distribuzione di probabilità? è per caso la f(x)=1(o 1/2) che ti sei ricavato?

La funzione Densità di una variabile aletoria non è altro che la derivata della sua funzione di distribuzione e per risolvere questo tipo di esercizio devi fare affidamento molto alla funzione Densità.

Allora per quanto riguarda la $P(XX)$ dove la $X$ varia in tutto il suo intervallo (in questo caso tra $[0,1]$) mentre la $Y$ varia tra $(x,2)$ perchè la $Y$ deve essere maggiore della $X$ in questo tipo di ricerca di probabilità.

Mentre la funzione di probabilita di una variabile aleatoria Uniforme è del tipo :

$f(x)=1/(b-a)$ per $a(0,1)$ si avrà $f(x)=1$ e per una $Y->(0,2)$ si avrà $f(y)=1/(2-0)=1/2$

se fosse stato $P(XX)=P(Y>X^2)=\int_{0}^{1} f(x) dx*\int_{x^2}^{2} f(y) dy$

se c'è altro chiedi pure.

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Fab10Messi

11 giu 2010, 14:24

Perfetto. Fin'ora è abbastanza chiaro grazie alla tua illustrazione.

E se le variabili non fossero uniformi ma seguisserò andamenti di una funzione? Es: $X= 5x+2$ $Y= 6y^2$

Tento una soluzione:
Impongo che le funzioni siano sempre maggiori di zero (la probabilità negativa non esiste) quindi intanto ricavo i minimi, ovvero rispettivamente -2/5 (per X) e 0 (per Y).
I massimi dovrebbero essere i valori che rendono l'integrale uguale ad 1 quindi potrei ricavarli così:

$X: int_(-2/5)^a 5x+2 dx=1$
$Y: int_0^b 6y^2 dy=1$

dove a e b sono i massimi che troverò dalle equazioni.
Fin qui è corretto? Adesso devo integrare le funzioni trovate come nel caso illustrato da te?

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dissonance

11 giu 2010, 16:05

"Fab10Messi":Perfetto. Fin'ora è abbastanza chiaro grazie alla tua illustrazione.

E se le variabili non fossero uniformi ma seguisserò andamenti di una funzione? Es: $X= 5x+2$ $Y= 6y^2$

Ma queste mica sono variabili aleatorie. Sei sicuro di avere capito bene le definizioni? Io andrei a rivedere bene la teoria.

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Fab10Messi

11 giu 2010, 16:15

dissonance:[quote=Fab10Messi]Perfetto. Fin'ora è abbastanza chiaro grazie alla tua illustrazione.

E se le variabili non fossero uniformi ma seguisserò andamenti di una funzione? Es: $X= 5x+2$ $Y= 6y^2$

Ma queste mica sono variabili aleatorie. Sei sicuro di avere capito bene le definizioni? Io andrei a rivedere bene la teoria.[/quote]

E in che forma possono essere date le variabili aleatorie se non come unif(a,b)?
Purtroppo il mio libro fa pena e il prof ha saltato qualche spiegazione quindi posso rivolgermi solo a voi. Spero mi aiutiate. Grazie

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DajeForte

11 giu 2010, 16:41

E in che forma possono essere date le variabili aleatorie se non come unif(a,b)?

Vorrei meglio capire il senso di questa domanda: se tu pensi che la variabili aleatorie siano tutte uniformi la risposta è assolutamente no.

Cerco di darti due spiegazioni veloci:

se $X sim Unif(0,1)$ vuol dire che la v.a. scarica la sua probabilità sul segmento $(0,1)$ in maniera uniforme cioè con densità costante e la sua funzione di densità è $f(x)=1$ per $x in (0,1)$.

Se $Y sim Unif(a,b)$ ($a
Data una v.a. come la $X$ tu puoi ottenere una uniforme in $(a,b)$ con questa relazione $a+(b-a)X sim Unif(a,b)$

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Arado90

11 giu 2010, 17:52

Le variabili si possono distribuire in molte forme. Non avete fatto Binomiali, Poisson, Normali ecc?

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Piccolo Fermat

12 giu 2010, 08:00

"Fab10Messi":Perfetto. Fin'ora è abbastanza chiaro grazie alla tua illustrazione.

E se le variabili non fossero uniformi ma seguisserò andamenti di una funzione? Es: $X= 5x+2$ $Y= 6y^2$

Tento una soluzione:
Impongo che le funzioni siano sempre maggiori di zero (la probabilità negativa non esiste) quindi intanto ricavo i minimi, ovvero rispettivamente -2/5 (per X) e 0 (per Y).
I massimi dovrebbero essere i valori che rendono l'integrale uguale ad 1 quindi potrei ricavarli così:

$X: int_(-2/5)^a 5x+2 dx=1$
$Y: int_0^b 6y^2 dy=1$

dove a e b sono i massimi che troverò dalle equazioni.
Fin qui è corretto? Adesso devo integrare le funzioni trovate come nel caso illustrato da te?

Ma sai che rileggendo il tutto mi stai convincendo di questo procendimento?! E' chiaro che negli esercizi il professore ti metterà un qualcosa di farà capire la Distribuzione data, se no il calcolo della soluzone viene un pò lungo. Occhio con le distribuzioni però. Nel continuo avremo Uniforme,Esponenziale, Gamma, Normale...

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dissonance

12 giu 2010, 08:46

"Piccolo Fermat":[quote="Fab10Messi"]Perfetto. Fin'ora è abbastanza chiaro grazie alla tua illustrazione.

E se le variabili non fossero uniformi ma seguisserò andamenti di una funzione? Es: $X= 5x+2$ $Y= 6y^2$

Ma sai che rileggendo il tutto mi stai convincendo di questo procendimento?![/quote]Io invece ribadisco che lo trovo un unico errore. Quelle definite da Fab non sono variabili aleatorie, che sono funzioni della casualità, ma funzioni completamente determinate dai valori assunti da $x$. Consiglio di scartabellare un po' questo forum, praticamente in ogni topic ci sono esempi di variabili aleatorie.

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Fab10Messi

13 giu 2010, 01:00

non ho ancora capito perchè la variabili che ho inventato non vanno bene. Stabiliti i massimi e minimi, la sua area risulta 1 e la funzione non è decrescente. Mi spiegate perchè non può essere una VA?

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dissonance

13 giu 2010, 01:25

Stai facendo un minestrone tra variabili aleatorie, funzioni di distribuzione (o di ripartizione), funzioni di densità di probabilità. Si vede che non hai chiare queste tre definizioni: valle a rivedere bene.

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Fab10Messi

14 giu 2010, 11:24

Per quello che ho potuto capire, una v.a. è il risultato casuale che può venire fuori da un'esperimento. Essa dovrebbe poter assumere tutti i valori possibili. Se estraiamo un dado la variabile aleatoria indica il risultato di un'estrazione sperimentale e quindi può corrispondere ad un valore casuale tra 1 e 6 (che sono appunto i valori possibili).

La funzione di densità di probabilità serve per determinare la probabilità che un valore venga estratto. Nel caso in cui tutti i valori hanno una uguale probabilità di essere estratti ci troviamo in un caso di funzione uniforme, altrimenti è possibile che la funzione di densità assuma qualunque andamento purchè sia sempre maggiore di zero (non esiste la probabilità negativa di un evento) e purchè l'area totale della funzione corrisponda ad 1, in quanto l'area rappresenta la probabilità di un evento e l'area totale dunque deve assumere l'evento certo.

Sulla funzione di distribuzione non mi sono ancora pronunciato perchè devo cercare ancora di capire di cosa si tratta e a cosa serve. Nel pomeriggio farò ricerche.

Il motivo per cui la funzione che avevo dato io prima non è considerata una funzione di densità dovrebbe essere dovuto al fatto che così com'era non soddisfava nè la positività nè la dimensione unitaria dell'aria. I calcoli che vi ho fatto io sopra l'hanno fatta diventare di fatto una funzione di densità di probabilità ma comunque il testo di partenza non andava bene.

Detto questo, data una funzione di densità di probabilità è possibile determinare quale sia la probabilità che la variabile aleatoria assuma un sottoinsieme di eventi integrandola nei margini di tale sottoevento. Se ho invece più variabili aleatorie indipendenti posso determinare la probabilità moltiplicando le due aree e nel caso in cui la probabilità è ad esempio X>Y devo tener conto degli estremi di integrazione come mi è stato illustrato qualche post fa. In pratica è la stessa cosa che si faceva nel continuo quando si calcolava la probabilità che 2 lanci di dadi indipendenti portassero 2 volte il 6. Si moltiplicava la probabilità 1/6 del primo lancio desiderato per 1/6 del secondo lancio. Questa volta le probabilità però escono fuori dalle aree e per lo stesso identico principio vanno moltiplicate.

Fin qui dovrebbe essere tutto chiaro. Magari non mi sono espresso con i termini corretti ecc, ma credo che tutto abbia un senso e che nella mia testa il concetto sia chiaro. Pomeriggio cercherò di proseguire con la funzione di distribuzione e sicuramente vi ridisturberò. A presto

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Fab10Messi

14 giu 2010, 14:45

Avrei un piccolo dubbio su un testo di esercizio.

Data una funzione di densità di probabilità $f_X(x)$, determinare $f_Y(y)$ sapendo che $Y=X^2$

E' possibile? Non riesco a capire come poter procedere. Come sfrutto la relazione tra le variabili aleatorie? L'unica cosa che mi viene in mente è quella di ricorrere alla funzione di distribuzione.

EDIT:
Provando a svolgerlo:

$f_Y(y)=d/(dy)F_Y(y)=d/(dy) Pr(Y<=y)$ ovvero la funzione di distribuzione in y corrisponde all'insieme delle probabilità degli eventi da -inf a y stesso.
Sapendo che Y=X^2, provo a fare un cambio di variabile:
...$=d/(dy)Pr(X^2<=y)$

A questo punto dovrei sfruttare la densità di probabilità di X sviluppando $Pr(X^2<=y)$. Ma sono bloccato qui. :(

Spero mi aiutiate, ce la sto mettendo tutta grazie

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Arado90

14 giu 2010, 17:44

Se conosci la densità di $X$ e ti si chiede di trovare quella di $Y$, sapendo che la $Y$ è definita come una trasformata della $X$, esiste un apposito teorema con tanto di formula.
L'importante è che la trasformata sia monotona in senso stretto, continua, derivabile in tutto il suo intervallo e con derivata "quasi mai nulla".
$Y=X^2$ soddisfa tali requisiti e quindi puoi applicare la formula.

$f_y(y)=f_x(T^(-1)(y))*|(dT^(-1)(y))/(dy)|


Cioè trovi $T^(-1)$ che è la trasformata inversa. Ne fai la derivata.
Dopodichè sostituisci alla $x$ della $f_x$ la trasformata inversa e moltiplichi per il valore assoluto della derivata della trasformata inversa.

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Fab10Messi

15 giu 2010, 08:34

Sto cercando di approfondire il teorema che mi hai citato. Probabilmente il metodo illustrato dal prof và svolto nel caso cui non è soddisfatta almeno una condizione per l'applicazione del th.

Per capirci meglio, il mio prof a fine corso ci ha dato delle tipologie di esercizi e degli pseudo-svolgimenti. Il procedimento che ha scritto è quello che ho postato io nell'ultimo post e suggerisce di procedere così:

Data una funzione di densità di probabilità $f_X(x)$, determinare $f_Y(y)$ sapendo che $Y=X^2$

PASSO 1:
$f_Y(y)=d/(dy)F_Y(y)=d/(dy) Pr(Y<=y)$

PASSO 2:
$Pr(Y<=y)=Pr(X^2<=y)$

PASSO 3:
Continuare sviluppando il primo tipo di esercizio (che è quello che mi avete spiegato fin'ora, ovvero dell'integrale doppio.

A questo punto vorrei capire questo metodo ma non riesco a trovare niente su internet. Ve ne sarei grato. Nel frattempo approfondisco il th.

Ne approfitto per postare anche il terzo e ultimo tupo di esercizio che non ho ancora capito. Purtroppo il tempo stringe, ho solo 2 giorni e questi ultimi argomenti sto cercando di recuperarli in fretta. Confido in voi :)
PROCESSO ALEATORIO
Dato $X(t,w_i)$, ad esempio uguale a $rect(t-tau(w_i))$, tau, t Variabili aleatoriecon densit di probabilità assegnata.
Calcolare:
a) E{X(t,w_i)
...

Io mi sto dannando a fare ricerche su internet e lettura di testi, spero possiate continuare a supportarmi con le vostre info pratiche, grazie

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Fab10Messi

15 giu 2010, 09:33

Arado90:Cioè trovi $T^(-1)$ che è la trasformata inversa.

Scusa la domanda un po noob ma l'antitrasformata và fatta di $X^2$? Noi durante la prima parte del corso abbiamo fatto solo trasformate e non antitrasformate, di cui conosciamo appena la definizione.
Tutte le formule note come F[rect(t)]=sinc(t), ecc... valgono ancora? Eventualmente saresti così cortese da anti-trasformarmi questa trasformata per permettermi di capire? grazie

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[Arado90]

l'area della funzione rappresentata sul piano cosa rappresenta? E' un valore utile?

Se integri la funzione di densità in un intervallo $[a,b]$ che ricade dentro una di quelle aree, ottieni la probabilità che la variabile assuma valori compresi in quell'intervallo. Direi che è una valore abbastanza utile
Ovviamente se integri su tutta l'area devi ottenere 1.

Nel caso di un triangolo mi è sembrato di capire che una variabile aleatoria può assumere determinati valori in relazione ai valori che l'altra assume.

Anche trapezi, rettangoli ed altre "forme strane" implicano variabili dipendenti.

qual'è

Senza apostrofo xD

[Fab10Messi]

I rettangoli sono dipendenti?

La funzione di densità di probabilità dunque integrata da -inf a +inf fà 1 e se seleziono intervalli interni ottengo le probabilità che quegli intervalli di eventi si verifichino.
A questo punto cosa me ne faccio della funzione di distribuzione? perchè si integra da -inf a una variabile x? pur cercando su internet non ho ancora capito la pratica utilità di questa funzione :)

[Piccolo Fermat]

"Fab10Messi":

Passando alla parte pratica. Ho visto degli esercizi in cui le vengono fornite 2 variabili aleatorie sotto forma di funzione o sotto forma: unif(0,a). Viene chiesto qual'è la probabilità che ad esempio X sia maggiore di Y ecc.
Dovrei considerare l'intersezione delle 2 funzioni come possibili risultati ed eventualmente fare cosa?
Ad esempio se invento banalmente:
X= unif(0,1)
Y=unif(0,2)
ottengo un quadrato con spigoli (0,0) (1,2) e quindi indipendenti? In tal caso X

Allora ti posso aiutare per il fatto pratico. Avendo $X->U(0,1)$ e $Y->U(0,2)$ e sicuramente $f(x)=1$ e $f(y)=1/2$ quindi avrai che $\int_0^1f(x)dx*\int_0^2f(y)dy = 1 $.

Allora per calcolare &P(X
P(X

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[Fab10Messi]

non capisco l'ultimo passaggio. Dove applichi (e come) la condizione X In questo caso a cosa c'entra qualcosa la funzione di distribuzione di probabilità? è per caso la f(x)=1(o 1/2) che ti sei ricavato?

[Arado90]

La $f(x)$ o la $f(y)$ sono le funzioni di probabilità (o densità, a seconda dei casi)

[Piccolo Fermat]

"Fab10Messi":non capisco l'ultimo passaggio. Dove applichi (e come) la condizione X In questo caso a cosa c'entra qualcosa la funzione di distribuzione di probabilità? è per caso la f(x)=1(o 1/2) che ti sei ricavato?

La funzione Densità di una variabile aletoria non è altro che la derivata della sua funzione di distribuzione e per risolvere questo tipo di esercizio devi fare affidamento molto alla funzione Densità.

Allora per quanto riguarda la $P(XX)$ dove la $X$ varia in tutto il suo intervallo (in questo caso tra $[0,1]$) mentre la $Y$ varia tra $(x,2)$ perchè la $Y$ deve essere maggiore della $X$ in questo tipo di ricerca di probabilità.

Mentre la funzione di probabilita di una variabile aleatoria Uniforme è del tipo :

$f(x)=1/(b-a)$ per $a(0,1)$ si avrà $f(x)=1$ e per una $Y->(0,2)$ si avrà $f(y)=1/(2-0)=1/2$

se fosse stato $P(XX)=P(Y>X^2)=\int_{0}^{1} f(x) dx*\int_{x^2}^{2} f(y) dy$

se c'è altro chiedi pure.

[Fab10Messi]

Perfetto. Fin'ora è abbastanza chiaro grazie alla tua illustrazione.

E se le variabili non fossero uniformi ma seguisserò andamenti di una funzione? Es: $X= 5x+2$ $Y= 6y^2$

Tento una soluzione:
Impongo che le funzioni siano sempre maggiori di zero (la probabilità negativa non esiste) quindi intanto ricavo i minimi, ovvero rispettivamente -2/5 (per X) e 0 (per Y).
I massimi dovrebbero essere i valori che rendono l'integrale uguale ad 1 quindi potrei ricavarli così:

$X: int_(-2/5)^a 5x+2 dx=1$
$Y: int_0^b 6y^2 dy=1$

dove a e b sono i massimi che troverò dalle equazioni.
Fin qui è corretto? Adesso devo integrare le funzioni trovate come nel caso illustrato da te?

[dissonance]

"Fab10Messi":Perfetto. Fin'ora è abbastanza chiaro grazie alla tua illustrazione.

E se le variabili non fossero uniformi ma seguisserò andamenti di una funzione? Es: $X= 5x+2$ $Y= 6y^2$

Ma queste mica sono variabili aleatorie. Sei sicuro di avere capito bene le definizioni? Io andrei a rivedere bene la teoria.

[Fab10Messi]

dissonance:[quote=Fab10Messi]Perfetto. Fin'ora è abbastanza chiaro grazie alla tua illustrazione.

E se le variabili non fossero uniformi ma seguisserò andamenti di una funzione? Es: $X= 5x+2$ $Y= 6y^2$

Ma queste mica sono variabili aleatorie. Sei sicuro di avere capito bene le definizioni? Io andrei a rivedere bene la teoria.[/quote]

E in che forma possono essere date le variabili aleatorie se non come unif(a,b)?
Purtroppo il mio libro fa pena e il prof ha saltato qualche spiegazione quindi posso rivolgermi solo a voi. Spero mi aiutiate. Grazie

[DajeForte]

E in che forma possono essere date le variabili aleatorie se non come unif(a,b)?

Vorrei meglio capire il senso di questa domanda: se tu pensi che la variabili aleatorie siano tutte uniformi la risposta è assolutamente no.

Cerco di darti due spiegazioni veloci:

se $X sim Unif(0,1)$ vuol dire che la v.a. scarica la sua probabilità sul segmento $(0,1)$ in maniera uniforme cioè con densità costante e la sua funzione di densità è $f(x)=1$ per $x in (0,1)$.

Se $Y sim Unif(a,b)$ ($a
Data una v.a. come la $X$ tu puoi ottenere una uniforme in $(a,b)$ con questa relazione $a+(b-a)X sim Unif(a,b)$

[Arado90]

Le variabili si possono distribuire in molte forme. Non avete fatto Binomiali, Poisson, Normali ecc?

[Piccolo Fermat]

"Fab10Messi":Perfetto. Fin'ora è abbastanza chiaro grazie alla tua illustrazione.

E se le variabili non fossero uniformi ma seguisserò andamenti di una funzione? Es: $X= 5x+2$ $Y= 6y^2$

Tento una soluzione:
Impongo che le funzioni siano sempre maggiori di zero (la probabilità negativa non esiste) quindi intanto ricavo i minimi, ovvero rispettivamente -2/5 (per X) e 0 (per Y).
I massimi dovrebbero essere i valori che rendono l'integrale uguale ad 1 quindi potrei ricavarli così:

$X: int_(-2/5)^a 5x+2 dx=1$
$Y: int_0^b 6y^2 dy=1$

dove a e b sono i massimi che troverò dalle equazioni.
Fin qui è corretto? Adesso devo integrare le funzioni trovate come nel caso illustrato da te?

Ma sai che rileggendo il tutto mi stai convincendo di questo procendimento?! E' chiaro che negli esercizi il professore ti metterà un qualcosa di farà capire la Distribuzione data, se no il calcolo della soluzone viene un pò lungo. Occhio con le distribuzioni però. Nel continuo avremo Uniforme,Esponenziale, Gamma, Normale...

[dissonance]

"Piccolo Fermat":[quote="Fab10Messi"]Perfetto. Fin'ora è abbastanza chiaro grazie alla tua illustrazione.

E se le variabili non fossero uniformi ma seguisserò andamenti di una funzione? Es: $X= 5x+2$ $Y= 6y^2$

Ma sai che rileggendo il tutto mi stai convincendo di questo procendimento?![/quote]Io invece ribadisco che lo trovo un unico errore. Quelle definite da Fab non sono variabili aleatorie, che sono funzioni della casualità, ma funzioni completamente determinate dai valori assunti da $x$. Consiglio di scartabellare un po' questo forum, praticamente in ogni topic ci sono esempi di variabili aleatorie.

[Fab10Messi]

non ho ancora capito perchè la variabili che ho inventato non vanno bene. Stabiliti i massimi e minimi, la sua area risulta 1 e la funzione non è decrescente. Mi spiegate perchè non può essere una VA?

[dissonance]

Stai facendo un minestrone tra variabili aleatorie, funzioni di distribuzione (o di ripartizione), funzioni di densità di probabilità. Si vede che non hai chiare queste tre definizioni: valle a rivedere bene.

[Fab10Messi]

Per quello che ho potuto capire, una v.a. è il risultato casuale che può venire fuori da un'esperimento. Essa dovrebbe poter assumere tutti i valori possibili. Se estraiamo un dado la variabile aleatoria indica il risultato di un'estrazione sperimentale e quindi può corrispondere ad un valore casuale tra 1 e 6 (che sono appunto i valori possibili).

La funzione di densità di probabilità serve per determinare la probabilità che un valore venga estratto. Nel caso in cui tutti i valori hanno una uguale probabilità di essere estratti ci troviamo in un caso di funzione uniforme, altrimenti è possibile che la funzione di densità assuma qualunque andamento purchè sia sempre maggiore di zero (non esiste la probabilità negativa di un evento) e purchè l'area totale della funzione corrisponda ad 1, in quanto l'area rappresenta la probabilità di un evento e l'area totale dunque deve assumere l'evento certo.

Sulla funzione di distribuzione non mi sono ancora pronunciato perchè devo cercare ancora di capire di cosa si tratta e a cosa serve. Nel pomeriggio farò ricerche.

Il motivo per cui la funzione che avevo dato io prima non è considerata una funzione di densità dovrebbe essere dovuto al fatto che così com'era non soddisfava nè la positività nè la dimensione unitaria dell'aria. I calcoli che vi ho fatto io sopra l'hanno fatta diventare di fatto una funzione di densità di probabilità ma comunque il testo di partenza non andava bene.

Detto questo, data una funzione di densità di probabilità è possibile determinare quale sia la probabilità che la variabile aleatoria assuma un sottoinsieme di eventi integrandola nei margini di tale sottoevento. Se ho invece più variabili aleatorie indipendenti posso determinare la probabilità moltiplicando le due aree e nel caso in cui la probabilità è ad esempio X>Y devo tener conto degli estremi di integrazione come mi è stato illustrato qualche post fa. In pratica è la stessa cosa che si faceva nel continuo quando si calcolava la probabilità che 2 lanci di dadi indipendenti portassero 2 volte il 6. Si moltiplicava la probabilità 1/6 del primo lancio desiderato per 1/6 del secondo lancio. Questa volta le probabilità però escono fuori dalle aree e per lo stesso identico principio vanno moltiplicate.

Fin qui dovrebbe essere tutto chiaro. Magari non mi sono espresso con i termini corretti ecc, ma credo che tutto abbia un senso e che nella mia testa il concetto sia chiaro. Pomeriggio cercherò di proseguire con la funzione di distribuzione e sicuramente vi ridisturberò. A presto

[Fab10Messi]

Avrei un piccolo dubbio su un testo di esercizio.

Data una funzione di densità di probabilità $f_X(x)$, determinare $f_Y(y)$ sapendo che $Y=X^2$

E' possibile? Non riesco a capire come poter procedere. Come sfrutto la relazione tra le variabili aleatorie? L'unica cosa che mi viene in mente è quella di ricorrere alla funzione di distribuzione.

EDIT:
Provando a svolgerlo:

$f_Y(y)=d/(dy)F_Y(y)=d/(dy) Pr(Y<=y)$ ovvero la funzione di distribuzione in y corrisponde all'insieme delle probabilità degli eventi da -inf a y stesso.
Sapendo che Y=X^2, provo a fare un cambio di variabile:
...$=d/(dy)Pr(X^2<=y)$

A questo punto dovrei sfruttare la densità di probabilità di X sviluppando $Pr(X^2<=y)$. Ma sono bloccato qui. :(

Spero mi aiutiate, ce la sto mettendo tutta grazie

[Arado90]

Se conosci la densità di $X$ e ti si chiede di trovare quella di $Y$, sapendo che la $Y$ è definita come una trasformata della $X$, esiste un apposito teorema con tanto di formula.
L'importante è che la trasformata sia monotona in senso stretto, continua, derivabile in tutto il suo intervallo e con derivata "quasi mai nulla".
$Y=X^2$ soddisfa tali requisiti e quindi puoi applicare la formula.

$f_y(y)=f_x(T^(-1)(y))*|(dT^(-1)(y))/(dy)|


Cioè trovi $T^(-1)$ che è la trasformata inversa. Ne fai la derivata.
Dopodichè sostituisci alla $x$ della $f_x$ la trasformata inversa e moltiplichi per il valore assoluto della derivata della trasformata inversa.

[Fab10Messi]

Sto cercando di approfondire il teorema che mi hai citato. Probabilmente il metodo illustrato dal prof và svolto nel caso cui non è soddisfatta almeno una condizione per l'applicazione del th.

Per capirci meglio, il mio prof a fine corso ci ha dato delle tipologie di esercizi e degli pseudo-svolgimenti. Il procedimento che ha scritto è quello che ho postato io nell'ultimo post e suggerisce di procedere così:

Data una funzione di densità di probabilità $f_X(x)$, determinare $f_Y(y)$ sapendo che $Y=X^2$

PASSO 1:
$f_Y(y)=d/(dy)F_Y(y)=d/(dy) Pr(Y<=y)$

PASSO 2:
$Pr(Y<=y)=Pr(X^2<=y)$

PASSO 3:
Continuare sviluppando il primo tipo di esercizio (che è quello che mi avete spiegato fin'ora, ovvero dell'integrale doppio.

A questo punto vorrei capire questo metodo ma non riesco a trovare niente su internet. Ve ne sarei grato. Nel frattempo approfondisco il th.

Ne approfitto per postare anche il terzo e ultimo tupo di esercizio che non ho ancora capito. Purtroppo il tempo stringe, ho solo 2 giorni e questi ultimi argomenti sto cercando di recuperarli in fretta. Confido in voi :)
PROCESSO ALEATORIO
Dato $X(t,w_i)$, ad esempio uguale a $rect(t-tau(w_i))$, tau, t Variabili aleatoriecon densit di probabilità assegnata.
Calcolare:
a) E{X(t,w_i)
...

Io mi sto dannando a fare ricerche su internet e lettura di testi, spero possiate continuare a supportarmi con le vostre info pratiche, grazie

[Fab10Messi]

Arado90:Cioè trovi $T^(-1)$ che è la trasformata inversa.

Scusa la domanda un po noob ma l'antitrasformata và fatta di $X^2$? Noi durante la prima parte del corso abbiamo fatto solo trasformate e non antitrasformate, di cui conosciamo appena la definizione.
Tutte le formule note come F[rect(t)]=sinc(t), ecc... valgono ancora? Eventualmente saresti così cortese da anti-trasformarmi questa trasformata per permettermi di capire? grazie