Econometria Finanziaria

[squalllionheart]

Salve ho un po' di esercizi di econometria finanziaria da svolgere. Autatemi vi prego!

(a). Considerare il seguente modello di regressione non lineare:

$y_i=\alpha+\beta x_i +\epsilon_i$

Derivate lo stimatore OLS di $\beta$.

(b) Considerate il modello di regressione non linere

$y_t=\delta +\gamma y_i +\eta_i$

(c) Confrontando i due modelli verificate se:

$\gamma=1/beta $

(d) Diimostrare la condizione per cui la stessa relazione valga anche per le stime OLS beta e gamma

[markowitz]

"squalllionheart":
Salve ho un po' di esercizi di econometria finanziaria da svolgere. Autatemi vi prego!

(a). Considerare il seguente modello di regressione non lineare:

$ y_i=\alpha+\beta x_i +\epsilon_i $

Derivate lo stimatore OLS di $ \beta $.

Non lineare? Non mi sembra
derivare lo stimatore OLS di $ \beta $ è praticamente la base di tutto ... non puoi esimerti dal provare a farlo

"squalllionheart":

(b) Considerate il modello di regressione non linere

$ y_t=\delta +\gamma y_i +\eta_i $

Non lineare? Non mi sembra, inoltre forse come dipendente volevi scrivere $x_i$

"squalllionheart":

(d) Diimostrare la condizione per cui la stessa relazione valga anche per le stime OLS beta e gamma

... perché al punto c cosa avresti chiesto ? Forse volevi dire $alpha$ e $delta$

forse interpreto male, ma se non fosse così ... occhio, se vuoi aumentare la prob che qualcuno risponda alle domande rileggile con più attenzione prima di inviarle se poi hai solo copiato pari pari un testo ... buttalo

[squalllionheart]

Scusate ragazzi ho dimenticato le buone maniere, ero presa dall'euforia.
Allora io ho proceduto nella stessa maniera in cui si procede nella definizione di OLS.
Correggetemi se sbaglio. Se la relazione è:

$y_i=\alpha+\beta x_i+\epsilon$

Allora si pone:

$\epsilon= y_i-\alpha-\beta x_i$

Dopodichè si pone:

$u(b)=y_i-\alpha-\beta x_i$

$G(b_0,b_1)=\sum [y_i-(\beta_0+\beta_1 x_i)]^2 $

Ho posto $\alpha=b_0$ tanto non cambia nulla. Dopo di che derivo rispetto a $b_0$ e $b _1$

$\frac{\partial G(b_0,b_1)}{\partial b_0}=0$

$\frac{\partial G(b_0,b_1)}{\partial b_1}=0$

Svolgendo un lenzuolo di calcoli e usando essenzialmente due risultati ovvero che la derivata della sommatoria è pari alla sommatoria delle derivate e il fatto che la derivata di $f(x)^n$ è pari a $n f(x)^(n-1)f'(x)$ ottengo:

$b_0=\bar y-b_1\bar x$

$b_1=\frac{S_{xy}}{S_x^2}$

La mia domanda è esiste una rappresentazione in forma matriciale che mi evita tutto quel lenzuolo di calcoli?

Grazie anticipatamente

[markowitz]

Eccomi

mi sembri brava i passaggi che hai svolto sono corretti. Solo risparmiati quello che chiami $u(b)$ che è solo una replica del residuo ... ed inoltre occhio alla differenza tra $b$ e $beta$

Comunque le puntualizzazioni che ho fatto sopra (linearità, e $x_i$ al posto di $y_t$) non erano stucchevoli ed è importante che tu le abbia capite.

per il resto a questo punto puoi anche verificare che la "c" è falsa ... per la "d" facciamo prima chiarezza su cosa intendevi

inoltre se vuoi una rappresentazione matriciale c'è, e generalizza i risultati ottenuti oltre che facilitare (a patto di saper usare le matrici) i conti, guarda qui:

https://it.wikipedia.org/wiki/Regressione_lineare

[squalllionheart]

Infatti ho fatto tutti i sacri calcoli, allora per il punto c e d, in generale è no, perché accade che:

$\beta=\frac{Cov(X,Y)}{Var(X)}$

$\gamma=\frac{Cov(X,Y)}{Var(Y)}$

Dunque affinché valga la condizione deve accadere che:

$\gamma=\frac{1}{\beta}$

Nel nostro caso:

$\frac{Cov(X,Y)}{Var(Y)}=\frac{Var(X)}{Cov(X,Y)}$

Ma questo solo se $X=Y$ perché in quel caso $Cov(X,X)=Var(X)$

Che dite funge?

[markowitz]

Si è proprio così.

Solo che più che un caso particolare direi si tratta di un caso particolarissimo e ... senza senso ... di quelli che interessano solo ai matematici che amano le stucchevolezze

Infatti se ci pensi nel caso in cui $X=Y$ la regressione collassa in un'identità

ed inoltre anche così la "verità del reciproco" è anch'essa particolarissima infatti varrebbe $beta=1/gamma=gamma =1$

[squalllionheart]

Menomale, grazie Markowitz
Rimani sincronizzato che ho altri esercizi:D