Durata media gioco
Un giocatore gioca fino a vincere 4 scommesse, vincendo, in maniera indipendente, ogni scommessa con probabilità $9/19$. Qual è la durata media del gioco?
E' chiaro che l'ultima scommessa sarà vincente. Se $n$ è il numero di giocate dovrebbe essere
$E[X]=sum_(n=4)^(+infty)n((n-1), (3))(9/19)^4*(10/19)^(n-4)$
Secondo il testo la soluzione è $4/(9/19)$. Mi sa che sono fuori strada. Dove sbaglio?
E' chiaro che l'ultima scommessa sarà vincente. Se $n$ è il numero di giocate dovrebbe essere
$E[X]=sum_(n=4)^(+infty)n((n-1), (3))(9/19)^4*(10/19)^(n-4)$
Secondo il testo la soluzione è $4/(9/19)$. Mi sa che sono fuori strada. Dove sbaglio?
Risposte
Quindi tu hai una va. X "durata del gioco"; dati $p=9/19$ e $q=10/19$ vale
$P[X=4]=((4),(4))p^4$
$P[X=5]=((5),(4))p^4*q$
$P[X=6]=((6),(4))p^4*q^2$
e via cantando. La media mi torna differente (e non ho capito il tuo ragionamento):
$E(X)=4*P[X=4]+5*P[X=5]..=sum_(n=4)^(+infty)n*((n),(4))p^4*q^(n-4)$
[Considerazione a latere: magari c'è un sistema più semplice...]
$P[X=4]=((4),(4))p^4$
$P[X=5]=((5),(4))p^4*q$
$P[X=6]=((6),(4))p^4*q^2$
e via cantando. La media mi torna differente (e non ho capito il tuo ragionamento):
$E(X)=4*P[X=4]+5*P[X=5]..=sum_(n=4)^(+infty)n*((n),(4))p^4*q^(n-4)$
[Considerazione a latere: magari c'è un sistema più semplice...]
Potresti rappresentare il gioco con una catena di Markov, dovei gli stati rappresentano le vittorie.
Ci saranno quindi 5 stati ${0,1,2,3,4}$ dove lo stato 4 è uno stato assorbente. Inoltre, la probabilità di transizione da uno stato a quello successivo sarà pari alla probabilità di vittoria, mentre la probabilità di permanenza sarà pari alla prob. di perdita.
Per trovare la soluzione, puoi procedere risolvendo il sistema per il calcolo del tempo medio di assorbimento, oppure ragionare nel seguente modo.
Il tempo di permenenza in ogni stato può essere modellato come una variabile Geometrica di parametro $p=9/19$, cioè la probabilità che si rimanga in uno stato per un tempopari a "n" sarà $(1-p)^n*p$. Da questo si può calcolare il relativo tempo medio di permanenza $E[\text{tempo medio di permanenza}]=1/p=19/9$. Essendoci 4 stati prima dell'assorbimento il tempo totale sarà $4*19/9$ come da risultato.
Ci saranno quindi 5 stati ${0,1,2,3,4}$ dove lo stato 4 è uno stato assorbente. Inoltre, la probabilità di transizione da uno stato a quello successivo sarà pari alla probabilità di vittoria, mentre la probabilità di permanenza sarà pari alla prob. di perdita.
Per trovare la soluzione, puoi procedere risolvendo il sistema per il calcolo del tempo medio di assorbimento, oppure ragionare nel seguente modo.
Il tempo di permenenza in ogni stato può essere modellato come una variabile Geometrica di parametro $p=9/19$, cioè la probabilità che si rimanga in uno stato per un tempopari a "n" sarà $(1-p)^n*p$. Da questo si può calcolare il relativo tempo medio di permanenza $E[\text{tempo medio di permanenza}]=1/p=19/9$. Essendoci 4 stati prima dell'assorbimento il tempo totale sarà $4*19/9$ come da risultato.
Nice. Anche se per questo tipi di esercizi preferirei un risultato intero, l'applicazione da te data m'è piaciuta 
Non mi intendo di catene di Markov purtroppo. Ma ci darò un'occhaiata.
@Rggb
Scusami, ma con quella sommatoria, se non ho preso un abbaglio, consideri tutte le disposizioni delle 4 vittorie nelle $n$ giocate. Invece poichè il gioco si conclude con la quarta vittoria, ci basta calcolare la durata del gioco considerando 3 vittorie e $n-4$ insuccessi e moltiplicare il tutto per $p$. Ora correggo la formula da me inserita. In ogni caso, come potrei ricondurre in maniera efficiente ad un valore numerico quella sommatoria?
@Rggb
Scusami, ma con quella sommatoria, se non ho preso un abbaglio, consideri tutte le disposizioni delle 4 vittorie nelle $n$ giocate. Invece poichè il gioco si conclude con la quarta vittoria, ci basta calcolare la durata del gioco considerando 3 vittorie e $n-4$ insuccessi e moltiplicare il tutto per $p$. Ora correggo la formula da me inserita. In ogni caso, come potrei ricondurre in maniera efficiente ad un valore numerico quella sommatoria?
"Benny":
Non mi intendo di catene di Markov purtroppo. Ma ci darò un'occhaiata.
Ma come diceva clrscr, puoi arrivarci usando la distribuzione geometrica
"Benny":
Ora correggo la formula da me inserita. In ogni caso, come potrei ricondurre in maniera efficiente ad un valore numerico quella sommatoria?
Sto uscendo, dopo torno e provo a sviluppare.
PS. C'è qualcosa nel tuo ragionamento che mi convince, anche se c'è altro che mi convince meno
Probabilmente è l'approccio che ho utilizzato, che non modella il problema.
Numericamente la formula che ho scritto dà il risultato giusto, ho provato con Excel.
Probabilmente la mia spiegazione non è stata chiarissima, magari ne riparliamo.
Intanto vi ringrazio per avermi risposto e indicato un metodo che non conoscevo.
Probabilmente la mia spiegazione non è stata chiarissima, magari ne riparliamo.
Intanto vi ringrazio per avermi risposto e indicato un metodo che non conoscevo.
Ora che la vedo corretta ho capito il tuo ragionamento, e mi sembra filare. Provando a sviluppare, dopo aver tirato fuori dalla sommatoria il possibile, mi sono incartato nel cercare di portarla con l'indice da zero... 
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