Due semplici esercizi

[grande_mur87]

Primo esercizio:

Se P(A) = 1/2 e P(B) = 1/3, con A e B indipendenti, la probabilità che si verifichi uno solo dei due eventi è?

Secondo esercizio:

Una candela funziona al 90%; l'auto deve avere almeno due candele funzionanti. Quante candele bisogna montare per essere sicuri al 99,9% che l'auto non si fermi?


Potreste aiutarmi a svolgerli?

[walter891]

per il secondo la variabile è distribuita in questo modo : $XsimBIN(n,0.9)$, da questa legge devi ricavare $n$ calcolando $P(X>=2)=0.999$

[markowitz]

Nel primo esercizio la soluzione è questa:
prob. che si verifichi uno solo dei 2 eventi è $P(A uu B)-P(A nn B)$
dove $P(A uu B)=P(A)+P(B)-P(A nn B)$
mentre, per l'indipendenza, $P(A nn B)=P(A)*P(B)$
quindi puoi dire che il valore che cerchi vale:
$P(A)+P(B)-2*P(A)*P (B)=1/2+1/3-1/3=1/2$

Nel secondo esercizio la soluzione è $5$.

[grande_mur87]

Ok, grazie per le risposte.
Nel secondo esercizio, posso usare la formula per l'affidabilità dei sistemi, ossia $1-(1-p)^(n-2) >= 0.999$ ?
I problemi sull'affidabilità li risolvo sempre con questa formula.
E' corretto usarla?

[markowitz]

No, in questo caso, la formula non è adeguata. Se ti bastasse una sola candela funzionante allora scrivendo
$1-(1-p)^n$ (dove $p$ èla prob. che la candela funzioni, ed $n$ il numero di candele) troveresti la prob. che almeno una funzioni, in altre parole $(1-p)^n$ rappresenetebbe la prob. che non né funzioni nessuna. (il -2 che hai messo ad esponente, suppongo di sapere perchè lo hai messo ma non penso che abbia molto significato).
Pultroppo nel tuo caso servono non una ma due candele funzionanti ed allora diventa più laborioso considerare tutte le combinazioni possibili (serve un po di analisi combinatoria). Lo strumento che ti serve è la distribuzione binomiale dove i conti. se non hai un programma sotto mano, non sono banali.

N.B: per essere pignoli non si dovrebbe dimenticare di dire che in tutto questo discorso non solo la prob. che le candele non funzionino è paria sempre a $p$ per ogni candela ma si dovrebbe anche dire che gli eventi sono indipendenti (ipotesi standard in questi casi).

[grande_mur87]

Ok, quindi nel caso non sia specificata la necessità di avere tot candele funzionanti, posso usare la formula dell'affidabilità e spiegare il suo utilizzo dicendo che $(1-p)^n$ è la probabilità che le n candele non funzionino, mentre $1-(1-p)^n > P$ è la probabilità che le n candele funzionino con probabilità P. Giusto?

[markowitz]

"Posso usare la formula dell'affidabilità e spiegare il suo utilizzo dicendo che $(1-p)^n$ è la probabilità che le n candele non funzionino?"
Giusto.

"mentre $1-(1-p)^n No. Non capisco bene cosa intendi con il segno di minore ma devi dire che $1-(1-p)^n$ è il complementare della probabilità precedente quindi è la prob. che un numero qualsiasi $k$ di candele con $k Se te basta una funzionante tale valore rappresenta la prob. che la macchina funzioni