Due esercizi due modi diversi di procedere?
Ciao a tutti.
Ho a che fare con due problemi di probabilità.
1 problema.
Due carte sono estratte a caso da 10 carte numerate da uno a dieci. Determinare la probabilità che la somma sia dispari se le due carte vengono estratte l'una dopo l'altra senza reinserimento nel mazzo.
Allora la cardinalità dello spazio dei campioni sarà:
$Omega=(10*9)=90$
Ora prendo in considerazione l'evento
$E_1$={la somma delle 2 carte estratte è dispari}
Ora la cardinalità di questo evento è |E_1|=5*5+5*5
perché l'evento in questione può essere visto come $E_1$={carta pari,carta dispari}$uu${carta dispari, carta pari}
e quindi da quì la $P(E_1)=|E_1|/|Omega|=5/9$
Ora stavo facendo un secondo esercizio:
Sei coppie sposate si trovano in una stanza, si prendano a caso due persone e si determini la probabilità che una sia maschio e una sia femmina.
Ora il mio ragionamento è analogo a quello precedente. Inoltre 6 coppie significa 12 persone di cui 6 uomini e 6 femmini. La cardinalità dello spazio dei campioni sarà $Omega=(12*11)/(1*2)$
Ora considero l'evento $G_1$={le 2 persone scelte sono un maschio e una femmina}
Ancora una volta questo evento lo posso vedere così {1° maschio, 2° femmina}$uu${2° femmina, 1°maschio}
e quindi dico che $|G_1|=6*6+6*6$
da qui ne calcolo la probabilità $P(G_1)=(6*6+6*6)/66$
ora il libro mi dice che non è così, o meglio che la cardinalità di $G_1=6*6$.
Dove sbaglio? Perché è sbagliato il mio ragionamento? Potete tentare di farmelo capire, di spiegarmelo semplicemente, vi prego sto impazzendo!
GRAZIE.
Ho a che fare con due problemi di probabilità.
1 problema.
Due carte sono estratte a caso da 10 carte numerate da uno a dieci. Determinare la probabilità che la somma sia dispari se le due carte vengono estratte l'una dopo l'altra senza reinserimento nel mazzo.
Allora la cardinalità dello spazio dei campioni sarà:
$Omega=(10*9)=90$
Ora prendo in considerazione l'evento
$E_1$={la somma delle 2 carte estratte è dispari}
Ora la cardinalità di questo evento è |E_1|=5*5+5*5
perché l'evento in questione può essere visto come $E_1$={carta pari,carta dispari}$uu${carta dispari, carta pari}
e quindi da quì la $P(E_1)=|E_1|/|Omega|=5/9$
Ora stavo facendo un secondo esercizio:
Sei coppie sposate si trovano in una stanza, si prendano a caso due persone e si determini la probabilità che una sia maschio e una sia femmina.
Ora il mio ragionamento è analogo a quello precedente. Inoltre 6 coppie significa 12 persone di cui 6 uomini e 6 femmini. La cardinalità dello spazio dei campioni sarà $Omega=(12*11)/(1*2)$
Ora considero l'evento $G_1$={le 2 persone scelte sono un maschio e una femmina}
Ancora una volta questo evento lo posso vedere così {1° maschio, 2° femmina}$uu${2° femmina, 1°maschio}
e quindi dico che $|G_1|=6*6+6*6$
da qui ne calcolo la probabilità $P(G_1)=(6*6+6*6)/66$
ora il libro mi dice che non è così, o meglio che la cardinalità di $G_1=6*6$.
Dove sbaglio? Perché è sbagliato il mio ragionamento? Potete tentare di farmelo capire, di spiegarmelo semplicemente, vi prego sto impazzendo!
GRAZIE.
Risposte
Il secondo si fa ricorrendo alle probabilità condizionali.
Calcoliamo la probabilità che il primo sia machio e la seconda sia femmina:
$P("primo_maschio" \cap "seconda_femmina")=P("seconda_femmina"|"primo_maschio")P("primo_maschio")=\frac{6}{11}\frac{1}{2}=\frac{3}{11}$
Ora la probabilità che il primo sia femmina e il secondo maschio è uguale, quindi la probabilità richiesta è $\frac{6}{11}$
Calcoliamo la probabilità che il primo sia machio e la seconda sia femmina:
$P("primo_maschio" \cap "seconda_femmina")=P("seconda_femmina"|"primo_maschio")P("primo_maschio")=\frac{6}{11}\frac{1}{2}=\frac{3}{11}$
Ora la probabilità che il primo sia femmina e il secondo maschio è uguale, quindi la probabilità richiesta è $\frac{6}{11}$
Perchè nel secondo esempio nel calcolare $|Omega|$ non hai tenuto conto dell'ordinamento nella scelta della coppia, stessa cosa dovresti fare nel calcolare $|G_1|$
Grazie. Solo che questi sono problemi che il libro vuole vengano risolti senza probabilità condizionata anche perché poi ne parla dopo...comunque si indubbiamente era meglio usarla.
Ma non devo distinguere il caso in cui ho la coppia ad esempio (lucia,andrea) da (andrea, lucia)?
Boh non lo so.
Potete farmelo capire attraverso degli esempi o dandomi degli esercizi da risolvere? Perfavore.
Grazie.
Ma non devo distinguere il caso in cui ho la coppia ad esempio (lucia,andrea) da (andrea, lucia)?
Boh non lo so.
Potete farmelo capire attraverso degli esempi o dandomi degli esercizi da risolvere? Perfavore.
Grazie.
"Ahi":
Ma non devo distinguere il caso in cui ho la coppia ad esempio (lucia,andrea) da (andrea, lucia)?
Se preferisci distinguerli allora $|Omega|=12*11$
Sto facendo un mare di confusione.
Se considero $|Omega|=12*11$ allora poi dovrò considerare $(6*6)/2$ giusto?
Però non capisco una cosa, ma allora anche nell'esercizio delle carte potevo fare $(5*5)/2$ ma in realtà non avviene così.
A me manca qualcosa per risolvere questi esercizi. Ma più studio e ristudio la teoria e più non capisco dove devo sbattere la testa.
Se considero $|Omega|=12*11$ allora poi dovrò considerare $(6*6)/2$ giusto?
Però non capisco una cosa, ma allora anche nell'esercizio delle carte potevo fare $(5*5)/2$ ma in realtà non avviene così.
A me manca qualcosa per risolvere questi esercizi. Ma più studio e ristudio la teoria e più non capisco dove devo sbattere la testa.
Allora, un po' di ordine:
per il 2° es. il libro dice di considerare coppie, e non coppie ordinate, allora il numero di coppie è $|Omega|=(12*11)/2$
il numero di coppie eterogenee è:
$|G_1|=(6*6)/2$
per il 2° es. il libro dice di considerare coppie, e non coppie ordinate, allora il numero di coppie è $|Omega|=(12*11)/2$
il numero di coppie eterogenee è:
$|G_1|=(6*6)/2$
Ma il libro dice che vi sono 6 modi di scegliere un maschio e 6 modi per scegliere una femmina dunque $p=(6*6)/66=6/11$ non considera $(6*6)/2$
io però non capisco perché non vale lo stesso procedimento per l'esercizio delle carte?
In quello delle carte considero 5*5+5*5 volendo non potrei vedere allo stesso modo questo esercizio? Quindi facendo 6*6+6*6? In fondo anche qui posso considerare l'evento $G_1$={1° è uomo, 2° è donna} $uu$ {1° è donna, 2° uomo} no?
io però non capisco perché non vale lo stesso procedimento per l'esercizio delle carte?
In quello delle carte considero 5*5+5*5 volendo non potrei vedere allo stesso modo questo esercizio? Quindi facendo 6*6+6*6? In fondo anche qui posso considerare l'evento $G_1$={1° è uomo, 2° è donna} $uu$ {1° è donna, 2° uomo} no?
forse dirò una cosa ovvia, nel qual caso fate finta che non abbia scritto niente
a me sembra che ci sia un punto importante da precisare:
quando si modella una situazione per applicare il calcolo delle probabilità attraverso uno spazio "dei campioni", ovvero lo spazio di probabililtà (in casi semplici, $(\Omega, p)$), la scelta dello spazio di probabilità non è minimamante determinata
molte scelte diverse possono andare bene, ed a volte di scelte ragionevoli ce ne possono essere più d'una
naturalmente poi la probabilità dell'evento che interessa sarà la stessa qualunque sia la strada seguita
mentre la cardinalità degli eventi elementari che costituiscono l'evento può variare, a seconda dello spazio dei campioni scelto
a me sembra che ci sia un punto importante da precisare:
quando si modella una situazione per applicare il calcolo delle probabilità attraverso uno spazio "dei campioni", ovvero lo spazio di probabililtà (in casi semplici, $(\Omega, p)$), la scelta dello spazio di probabilità non è minimamante determinata
molte scelte diverse possono andare bene, ed a volte di scelte ragionevoli ce ne possono essere più d'una
naturalmente poi la probabilità dell'evento che interessa sarà la stessa qualunque sia la strada seguita
mentre la cardinalità degli eventi elementari che costituiscono l'evento può variare, a seconda dello spazio dei campioni scelto
"luca.barletta":
il numero di coppie eterogenee è:
$|G_1|=(6*6)/2$
Pardon, con tutti questi 6 sono andato assieme,
$|G_1|=6*6$, come già intuibile dai miei post precedenti
Piano piano incomincio a riordinare le mie idee. Mi spiace se a volte sono ripetitivo e cocciuto nel capire le cose. Ma lo faccio solo perché non mi va di portarmi dei dubbi all'esame, per questo molto spesso le mie domande risultano davvero stupide e banali. Per questo chiedo scusa a tutti.
Ma non capisco perché in questo esercizio non posso procedere come in quello delle carte...in pratica nel primo esercizio che ho scritto dovevo prendere il caso in cui le 5 carte erano pari e le cinque carte erano dispari e viceversa, ma quì non devo prendere in considerazione il caso in cui il primo è uomo e il secondo è donna e viceversa? Quindi 6*6+6*6?
Sto prendendo in considerazione l'idea di fare un altro esame, ma alla fine questo lo dovrò fare per forza!!
Ma non capisco perché in questo esercizio non posso procedere come in quello delle carte...in pratica nel primo esercizio che ho scritto dovevo prendere il caso in cui le 5 carte erano pari e le cinque carte erano dispari e viceversa, ma quì non devo prendere in considerazione il caso in cui il primo è uomo e il secondo è donna e viceversa? Quindi 6*6+6*6?
Sto prendendo in considerazione l'idea di fare un altro esame, ma alla fine questo lo dovrò fare per forza!!
Quello che ti stavo dicendo sin dal primo post è che nel primo esercizio hai considerato coppie diverse quelle formate, ad esempio, da {1,2} e {2,1}, quindi hai affermato che $|Omega|=10*9$ e non $|Omega|=(10*9)/2$, e coerentemente ti sei comportato quando hai contato gli elementi di $E_1$.
Nel secondo esercizio non hai avuto la stessa coerenza nell'enumerare $Omega$ e $G_1$.
Nel secondo esercizio non hai avuto la stessa coerenza nell'enumerare $Omega$ e $G_1$.
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