Dubbio vettore aleatorio

[jarrod]

Un vettore aleatorio (X, Y) ha la densità congiunta: $f(x, y) = c · e^(−(x+y)) * I_(0,+∞)(x)I_(x,+∞)(y)$
dove c è la solita costante opportuna. a) Trova c; b) trova le densità marginali di X, Y . Sono v.a. indipendenti? c) trova
$P(X > Y− 1)$

Risolvendolo $c = 2$..
So risolvere questo problema, però ho un dubbio sul punto c..
$P(X > Y− 1)$ $= P(Y < X+1)$
Ora dovrei integrare da $0$ a $+oo$ e da $x$ a $x + 1$?
infatti: $2\int_0^(+oo)dx \int_x^(x+1) e^(-x) * e^(-y)dy$
cioè io non capisco per quale motivo abbiamo scelto quei estremi di integrazione..
Perchè da $0$ a $+oo$ e da $x$ a $x + 1$?

[Lo_zio_Tom]

È tutto giusto! Se fai un grafico del dominio vedi che $Y>X $ e quindi $P (Y In pratica stai integrando sul primo quadrante fra la bisettrice e la retta $Y=X+1$

Ovviamente senza fare alcun conto ma unicamente osservando il dominio si deduce che le variabili non sono indipendenti

[jarrod]

Non ho tanto capito il ragionamento, ora cerco di fare più esercizi, forse magari lo capisco.
Grazie mille lo stesso!

[Lo_zio_Tom]

Che ragionamento non ti è chiaro?

Per calcolare la costante hai dovuto fare

$int_(0)^(+oo)dx int_(x)^(+oo) f (x,y)dy $

Per rispondere al quesito devi semplicemente integrare la y solo fino a $(x+1 ) $ invece che su tutto il dominio....

[jarrod]

ahh ora mi è chiaro. Mi sono perso in un bicchier d'acqua, grazie mille!!