Dubbio sulla varianza della somma di due variabili indipendenti
Buonasera a tutti.
Ho un dubbio che riguarda la varianza della somma di due variabili indipendenti.
Supponiamo di avere 2 variabili INDIPENDENTI (X ed Y).
Definisco Z = X+Y e W = X - Y
Io so che valgono le seguenti relazioni:
sigma²(Z) = sigma²(X) + sigma²(Y)
sigma²(W) = sigma²(X) + sigma²(Y)
Ora il mio problema è il seguente:
X è il peso di un polimero, Y è il peso di una cellulosa.
Io posso campionare in modo casuale la cellulosa (Y), pesarla e calcolare media e varianza di Y.
Posso anche campionare in modo casuale LA SOMMA di cellulosa e polimero (Z=X+Y), pesarla e calcolare media e varianza di Z.
A questo punto, è corretto affermare che la varianza di X è calcolabile come segue:
(1) sigma²(X) = sigma²(Z) - sigma²(Y)
Oppure, visto che X = Z - Y, dovrei calcolarla come segue:
(2) sigma²(X) = sigma²(Z) + sigma²(Y)
Io credo che l'approccio corretto sia (1), perchè la variabile derivata è Z, non X, ma non ne sono sicuro.
Grazie a chiunque vorrà aiutarmi.
Ho un dubbio che riguarda la varianza della somma di due variabili indipendenti.
Supponiamo di avere 2 variabili INDIPENDENTI (X ed Y).
Definisco Z = X+Y e W = X - Y
Io so che valgono le seguenti relazioni:
sigma²(Z) = sigma²(X) + sigma²(Y)
sigma²(W) = sigma²(X) + sigma²(Y)
Ora il mio problema è il seguente:
X è il peso di un polimero, Y è il peso di una cellulosa.
Io posso campionare in modo casuale la cellulosa (Y), pesarla e calcolare media e varianza di Y.
Posso anche campionare in modo casuale LA SOMMA di cellulosa e polimero (Z=X+Y), pesarla e calcolare media e varianza di Z.
A questo punto, è corretto affermare che la varianza di X è calcolabile come segue:
(1) sigma²(X) = sigma²(Z) - sigma²(Y)
Oppure, visto che X = Z - Y, dovrei calcolarla come segue:
(2) sigma²(X) = sigma²(Z) + sigma²(Y)
Io credo che l'approccio corretto sia (1), perchè la variabile derivata è Z, non X, ma non ne sono sicuro.
Grazie a chiunque vorrà aiutarmi.
Risposte
non mi è mai capitato un problema simile ma io direi che se le quantità rilevate sono $Z$ e $Y$ e quella da ricavare a posteriori è $X$ è corretto il secondo approcio
"walter89":
non mi è mai capitato un problema simile ma io direi che se le quantità rilevate sono $Z$ e $Y$ e quella da ricavare a posteriori è $X$ è corretto il secondo approcio
Innanzitutto grazie per la risposta.
Se seguissi l'approccio (2), però, starei implicitamente suggerendo che Z e Y siano indipendenti, giusto?
E sono sicuro che questo NON è vero perchè Z è funzione di Y.
Per seguire l'approccio 2, forse dovrei calcolare anche la COVARIANZA di Z e Y e usare la formula completa per variabili dipendenti:
(3) sigma²(X) = sigma²(Z) + sigma²(Y) - 2*COV(ZY)
Cosa ne pensi?
Hai ragione, siccome vale $Z=X+Y$ la dipendenza è piuttosto evidente
"walter89":
Hai ragione, siccome vale $Z=X+Y$ la dipendenza è piuttosto evidente
Ok, grazie!
A questo punto ho un'ultima domanda: se commetto un certo errore nello stimare la varianza di Z e un certo errore nello stimare la varianza di Y, come posso calcolare l'errore "derivato" che avrà la varianza di X?
Gil
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