Dubbio sulla risoluzione di un problema di calcolo della probabilità
Buonasera a tutti.
Sto preparando un esame nel quale vi è una parte dedicata al calcolo della probabilità, ho quindi iniziato a svolgere una serie di esercizi. In uno di questi, per il quale non ho soluzioni, ma credo (e spero) di aver compreso abbastanza bene, mi è sorto un dubbio:
Testo:
Un'urna contiene 3 palline rosse, 4 bianche e 5 nere.
Calcolare la probabilità di ottenere 2 palline bianche e 3 nere con 5 estrazioni casuali con e senza reinserimento.
Il mio svolgimento:
Senza reinserimento nell'urna:
I casi possibili sono dati da tutti i modi con cui possono essere estratte 5 delle 12 palline, considerando che ognuna di queste può essere estratta al massimo una sola volta, quindi si ha:
Casi possibili = $12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 95040$
I casi favorevoli, invece, sono dati da tutti i gruppi formati da 2 palline bianche e 3 palline nere, tenendo conto di tutti i possibili modi con cui si possono rappresentare. Si ha quindi:
Casi favorevoli = $(4 · 3) · (5 · 4 · 3) · (5!)/(2! · 3!) = 7200$
La probabilità risulta quindi essere: $7200/95040 = 5/66$.
Con reinserimento nell'urna:
I casi possibili sono dati da tutti i modi con cui si possono presentare 5 delle 12 palline, anche ripetute, quindi:
Casi possibili = $12 · 12 · 12 · 12 · 12 = 248832$
I casi favorevoli, invece, sono dati da tutti i modi con cui si possono rappresentare, anche con ripetizione, 2 palline
bianche e 3 palline nere, moltiplicando il tutto per il prodotto del numero di palline da estrarre dal primo e dal secondo gruppo, quindi:
Casi favorevoli = $(4 · 4) · (5 · 5 · 5) · (2 · 3)$
La probabilità è quindi: $12000/248832 = 125/2592$.
Credo che la parte dell'esercizio senza reinserimento nell'urna sia corretta, per quella con reinserimento, invece,
non son sicuro di aver svolto correttamente il tutto. Ho evidenziato in colore verde la parte per la quale sono dubbioso (una volta calcolati tutti i modi con cui poter rappresentare le 2 palline bianche e le 3 nere, anche con ripetizione, per cosa dovrei moltiplicare?).
Potreste gentilmente venirmi incontro?
Vi ringrazio anticipatamente.
Sto preparando un esame nel quale vi è una parte dedicata al calcolo della probabilità, ho quindi iniziato a svolgere una serie di esercizi. In uno di questi, per il quale non ho soluzioni, ma credo (e spero) di aver compreso abbastanza bene, mi è sorto un dubbio:
Testo:
Un'urna contiene 3 palline rosse, 4 bianche e 5 nere.
Calcolare la probabilità di ottenere 2 palline bianche e 3 nere con 5 estrazioni casuali con e senza reinserimento.
Il mio svolgimento:
Senza reinserimento nell'urna:
I casi possibili sono dati da tutti i modi con cui possono essere estratte 5 delle 12 palline, considerando che ognuna di queste può essere estratta al massimo una sola volta, quindi si ha:
Casi possibili = $12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 95040$
I casi favorevoli, invece, sono dati da tutti i gruppi formati da 2 palline bianche e 3 palline nere, tenendo conto di tutti i possibili modi con cui si possono rappresentare. Si ha quindi:
Casi favorevoli = $(4 · 3) · (5 · 4 · 3) · (5!)/(2! · 3!) = 7200$
La probabilità risulta quindi essere: $7200/95040 = 5/66$.
Con reinserimento nell'urna:
I casi possibili sono dati da tutti i modi con cui si possono presentare 5 delle 12 palline, anche ripetute, quindi:
Casi possibili = $12 · 12 · 12 · 12 · 12 = 248832$
I casi favorevoli, invece, sono dati da tutti i modi con cui si possono rappresentare, anche con ripetizione, 2 palline
bianche e 3 palline nere, moltiplicando il tutto per il prodotto del numero di palline da estrarre dal primo e dal secondo gruppo, quindi:
Casi favorevoli = $(4 · 4) · (5 · 5 · 5) · (2 · 3)$
La probabilità è quindi: $12000/248832 = 125/2592$.
Credo che la parte dell'esercizio senza reinserimento nell'urna sia corretta, per quella con reinserimento, invece,
non son sicuro di aver svolto correttamente il tutto. Ho evidenziato in colore verde la parte per la quale sono dubbioso (una volta calcolati tutti i modi con cui poter rappresentare le 2 palline bianche e le 3 nere, anche con ripetizione, per cosa dovrei moltiplicare?).
Potreste gentilmente venirmi incontro?
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
sì, hai perfettamente ragione. La parte di estrazione senza reimmissione è corretta.
Per quanto riguarda i casi favorevoli dell'estrazione con reimmissione sono i seguenti:
$4^2\cdot5^3\cdot(5!)/(3!2!)$
....c'era solo un piccolissimo errore
Consiglio: non so che studi tu faccia, ma se hai la possibilità di studiare le distribuzioni di probabilità notevoli risolvi il problema senza stare tanto a pensarci su: nel primo caso si usa una ipergeometrica mentre nel secondo una multinomiale
ciao
Per quanto riguarda i casi favorevoli dell'estrazione con reimmissione sono i seguenti:
$4^2\cdot5^3\cdot(5!)/(3!2!)$
....c'era solo un piccolissimo errore
Consiglio: non so che studi tu faccia, ma se hai la possibilità di studiare le distribuzioni di probabilità notevoli risolvi il problema senza stare tanto a pensarci su: nel primo caso si usa una ipergeometrica mentre nel secondo una multinomiale
ciao
Pur procedendo in altra maniera, il mio risultato del primo esercizio coincide col tuo.
Per quanto riguarda il secondo, invece non ci siamo.
Secondo me è così:
$(4^2*5^3)/12^5*(5!)/(3!*2!)$
Per quanto riguarda il secondo, invece non ci siamo.
Secondo me è così:
$(4^2*5^3)/12^5*(5!)/(3!*2!)$
"superpippone":
Pur procedendo in altra maniera, il mio risultato del primo esercizio coincide col tuo.
Per quanto riguarda il secondo, invece non ci siamo.
Secondo me è così:
$(4^2*5^3)/12^5*(5!)/(3!*2!)$
è uguale al mio (forse mi sono espresso male)....ho messo solo i casi favorevoli....
Tommik: non mi riferivo a te.....
Lo so che quel che hai scritto è corretto.
Mentre stavo scrivendo la mia risposta, tu pubblicavi la tua. Per cui non l'ho vista.
Saluti.
Luciano
Lo so che quel che hai scritto è corretto.
Mentre stavo scrivendo la mia risposta, tu pubblicavi la tua. Per cui non l'ho vista.
Saluti.
Luciano
Ciao!
Vi ringrazio molto per le risposte. Alla luce di quel che mi avete risposto mi par di aver capito che, in entrambi i casi, per quanto riguarda i casi favorevoli, sia necessario moltiplicare per una permutazione con ripetizione.
Sì, comunque sono studente del corso di laurea triennale di Informatica dell'università di Genova, indirizzo metodologico. L'esame in questione é Teoria dell'Informazione e dell'Inferenza.
Continuerò a far pratica, vi ringrazio ancora per il tempo che mi avete dedicato!
Vi ringrazio molto per le risposte. Alla luce di quel che mi avete risposto mi par di aver capito che, in entrambi i casi, per quanto riguarda i casi favorevoli, sia necessario moltiplicare per una permutazione con ripetizione.
Sì, comunque sono studente del corso di laurea triennale di Informatica dell'università di Genova, indirizzo metodologico. L'esame in questione é Teoria dell'Informazione e dell'Inferenza.
Continuerò a far pratica, vi ringrazio ancora per il tempo che mi avete dedicato!
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