Dubbio sulla massima verosimiglianza

[absinth]

Ciao a tutti! Vi chiedo per favore di aiutarmi nel mio dubbio.
Facendo degli esercizi di modelli ho trovato un caso in cui la likelihood viene massimizzata a un valore maggiore di uno.
Ma non dovrebbe essere una distribuzione di probabilità? come fa ad avere valore maggiore di uno?

L'esempio:
Si considerino n variabili aleatorie $y_i$ indipendenti ed equidistribuite, ciascuna avente densità:
$p(y_i)=1-\theta+2\theta y_i$ se $0\leq y_i \leq 1$ e nulla altrove

Si ricavi la stima di $\theta$ ottenuta massimizzando la verosimiglianza su $\Theta=[0,1]$ assumendo di aver osservato le misure $y_1=1$ e $y_2=0.25$

Sol:
$L_\theta = (1-\theta+2\theta y_1)(1-\theta+2\theta y_2)=-\theta^2/2+1+\theta/2$
la cui derivata prima ci dà il massimo : $\theta=1/2$

Ora non capisco perché possiamo accettare questo stimatore?
Provando a sostituire per $\theta=1/2$ la funzione likelihood viene $9/8$ (densità>1).
O ancor più scandalizzante: $p(y_1)=3/2$ per $\theta=\hat{\theta}^{ML}=1/2$ che è maggiore di uno. (non è densità di probabilità)

[Lo_zio_Tom]

"absinth":Ciao a tutti! Vi chiedo per favore di aiutarmi

mi indicheresti cortesemente dove hai letto che la densità debba essere necessariamente minore di uno?

[absinth]

forse mi confondo con il caso discreto... qua a quanto pare è continua in un intervallo, qui è l'integrale