Dubbio sulla funzione generatrice delle probabilità
Ciao a tutti, studiando per l'esame mi sono imbattuto nella seguente proposizione:
Siano $X,Y$ due variabili aleatorie discrete a valori interi positivi, allora queste sono equidistribuite se e solo se le loro funzioni generatrici coincidono, cioè se e solo se $\forall t>0 \ , G_X (t)=G_Y (t)$.
Dove $G_X(t)$ indica la funzione generatrice delle probabilità di una v.a. $X$ a valori interi positivi ed è definita per $t>0$ come la serie di potenze $G_X(t)=\sum_{n=0}^\infty t^np_X(n)$ con $p_X(n)=P{X=n}$ e che converge per $|t|<1$.
La freccia $\Rightarrow$ mi è chiara: se X e Y sono equidistribuite allora $P{X=n}=P{Y=n} \ \forall n$ quindi la tesi.
Ho invece dei problemi con la freccia $\Leftarrow$: dal fatto che $\sum_{n=0}^\infty t^np_X(n)=\sum_{n=0}^\infty t^np_Y(n)$ vorrei dedurre che necessariamente $p_X(n)=p_Y(n) \ \forall n$, tuttavia mi hanno detto che questa cosa è vera per una qualche proprietà delle serie di potenze che evidentemente non conosco.
Potreste darmi una mano? Grazie mille in anticipo
Siano $X,Y$ due variabili aleatorie discrete a valori interi positivi, allora queste sono equidistribuite se e solo se le loro funzioni generatrici coincidono, cioè se e solo se $\forall t>0 \ , G_X (t)=G_Y (t)$.
Dove $G_X(t)$ indica la funzione generatrice delle probabilità di una v.a. $X$ a valori interi positivi ed è definita per $t>0$ come la serie di potenze $G_X(t)=\sum_{n=0}^\infty t^np_X(n)$ con $p_X(n)=P{X=n}$ e che converge per $|t|<1$.
La freccia $\Rightarrow$ mi è chiara: se X e Y sono equidistribuite allora $P{X=n}=P{Y=n} \ \forall n$ quindi la tesi.
Ho invece dei problemi con la freccia $\Leftarrow$: dal fatto che $\sum_{n=0}^\infty t^np_X(n)=\sum_{n=0}^\infty t^np_Y(n)$ vorrei dedurre che necessariamente $p_X(n)=p_Y(n) \ \forall n$, tuttavia mi hanno detto che questa cosa è vera per una qualche proprietà delle serie di potenze che evidentemente non conosco.
Potreste darmi una mano? Grazie mille in anticipo
Risposte
Grazie mille!!
P.s. possiamo derivare perchè per ipotesi per |t|<1 la serie converge quindi possiamo applicare il teorema di derivazione per serie per cui $d/dx \sum x^k = \sum(d/dx x^k)$
P.s. possiamo derivare perchè per ipotesi per |t|<1 la serie converge quindi possiamo applicare il teorema di derivazione per serie per cui $d/dx \sum x^k = \sum(d/dx x^k)$
"arnett":
[Osservo tra l'altro che le funzioni generatrici di probabilità non vanno molto di moda, qualcuno sa se sono tabulate da qualche parte? Io non trovo nulla in questo senso]
Se vuoi posso linkarti le funzioni generatrici delle v.a. binomiale, geometrica e di poisson
Su Wikipedia in inglese nella scheda di ogni distribuzione[nota]qui, ad esempio, la distribuzione logaritmica[/nota] trovate anche la PGF
[url=https://www.google.it/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.cl.cam.ac.uk/teaching/0708/Probabilty/prob06.pdf&ved=2ahUKEwjJ4K2z4OXdAhXRC-wKHc9hCjEQFjAEegQIARAB&usg=AOvVaw3Sn_RbJhx-EXjiawxbMong]qui[/url] invece, se interessa, trovate una dettagliata dispensa
@arnett: sì, non è un argomento molto in voga, anche perché di scarsa utilità
[url=https://www.google.it/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.cl.cam.ac.uk/teaching/0708/Probabilty/prob06.pdf&ved=2ahUKEwjJ4K2z4OXdAhXRC-wKHc9hCjEQFjAEegQIARAB&usg=AOvVaw3Sn_RbJhx-EXjiawxbMong]qui[/url] invece, se interessa, trovate una dettagliata dispensa
@arnett: sì, non è un argomento molto in voga, anche perché di scarsa utilità
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