Dubbio sui processi ARMA

[djyoyo]

Salve! Ho un piccolo dubbio di natura "pratica" riguardo ai processi ARMA.
L'esercizio dice:
si consideri il seguente processo:
$y(t) = ay(t-1)+e(t-2)+e(t-3)$ con $e~~WN(0,1)$ e $a$ parametro reale.
calcolare:
1. i valori di a per i quali il processo è stazionario
2. la varianza $\gamma_y(0)$ e lo spettro del processo nell'ipotesi di stazionarietà.
Allora, premesso che il procedimento per risolvere gli esercizi, mi è chiaro; mi sfugge il perché il di una cosa che fa il professore e che io non trovo molto naturale.
Poiché il sistema è a media nulla, non devo depolarizzarlo. Però prima di fare i conti, il prof fa questa sostituzione:
$\eta(t) = e(t-2)=WN(0,1)$
e quindi poi lavora su:
$y(t) = ay(t-1)+\eta(t)+\eta(t-1)$
che di fatto rappresenta la forma canonica di un processo arma.
Io pensavo che lavorare sulla prima versione del processo, o sulla seconda, fosse lo stesso; invece no, perché nel calcolo della varianza, i risultati mi vengono diversi. La mia domanda è perché fa questa sostituzione? E nell'ipotesi in cui faccia così per ricondursi alla forma canonica di un processo arma, questo passo lo devo fare sempre? (nel senso che ad esempio se avessi avuto: $y(t) = ay(t-1)+e(t-1)+e(t-2)$ l'avrei dovuto far diventare $y(t) = ay(t-1)+\eta(t)+\eta(t-1)$?
Grazie in anticipo!

[djyoyo]

Rifacendo i conti, moooooooolto più accuratamente, il risultato mi torna. Quindi la varianza esce uguale considerando i due modelli (e mi sembrava una cosa ovvia). A questo punto, però, mi resta il dubbio: perché quel cambio di variabile?