Dubbio su teorema di Bernoulli e definizione di probabilità (frequentista)
Ciao, ho un dubbio di interpretazione.
Leggo su un libro:
e poi leggo sul teorema di Bernoulli
Il fatto che il teorema di Bernoulli "non dica" che la frequenza ha come limite la probabilità, non implica che questo non sia vero. Anche perché lo è (come da definizione frequentista). Ho interpretato bene?
Leggo su un libro:
La definizione frequentista di Probabilità è quella che assume come valore della probabilità di un evento $E$ il valore limite a cui tende la frequenza relativa di quell'evento al tendere dell numero delle prove all'infinito
e poi leggo sul teorema di Bernoulli
Il teorema di Bernoulli non dice che la frequenza ha come limite la probabilità, dice invece che al crescere del numero delle prove la probabilità che lo scarto tra frequenza e la probabilità sia contenuto entro limiti assegnati. e comunque scelti, tende all'unità.
Il fatto che il teorema di Bernoulli "non dica" che la frequenza ha come limite la probabilità, non implica che questo non sia vero. Anche perché lo è (come da definizione frequentista). Ho interpretato bene?
Risposte
Ciao Sergio e grazie per la risposta. Quindi, se ho capito bene, la prima definizione non è chiara in quanto si applica il concetto di limite ad una variabile aleatoria. Quindi di fatto il limite:
\(\displaystyle P(A)=\lim_{N\to\infty}\frac{N_A}{N} \)
non ha senso.
Ma il Teorema di Bernoulli definendo il concetto di convergenza il probabilità:
\(\displaystyle\lim_{N\to\infty}P\left(\left\lvert\frac{N_A}{N}-P(A)\right\rvert<\varepsilon\right)=1 \)
non cade nello stesso intoppo?
\(\displaystyle P(A)=\lim_{N\to\infty}\frac{N_A}{N} \)
non ha senso.
Ma il Teorema di Bernoulli definendo il concetto di convergenza il probabilità:
\(\displaystyle\lim_{N\to\infty}P\left(\left\lvert\frac{N_A}{N}-P(A)\right\rvert<\varepsilon\right)=1 \)
non cade nello stesso intoppo?
Ok Sergio. Allora, non posso dire che:
\(\displaystyle P(A)=\lim_{N\to\infty}\frac{N_A}{N} \)
in quanto non conosciamo nulla circa la tendenza al limite di una variabile aleatoria che comunque è legata ad $N$.
Quello che non capisco è che comunque anche nel limite che definisce la convergenza in probabilità appare lo stesso il rapporto: $\frac{N_A}{N}$ che viene valutato in relazione alla $P(A)$...ma credo di essermi perso qualche cosa per strada
\(\displaystyle P(A)=\lim_{N\to\infty}\frac{N_A}{N} \)
in quanto non conosciamo nulla circa la tendenza al limite di una variabile aleatoria che comunque è legata ad $N$.
Quello che non capisco è che comunque anche nel limite che definisce la convergenza in probabilità appare lo stesso il rapporto: $\frac{N_A}{N}$ che viene valutato in relazione alla $P(A)$...ma credo di essermi perso qualche cosa per strada
Grazie 
con "legge matematica" intendi dire che non possiamo conoscere con certezza qual è il comportamento certo di $N_a/N$ al tendere ad infinito?
Ok, se è così, su questo punto ci sono. Quello che non capisco è:
O perlomeno. ho capito così: Il problema che abbiamo sopra si risolve quindi applicando il concetto di limite ad una variabile aleatoria (che è di fatto una funzione chiara e definita), invece che ad una frequenza di cui non conosciamo il reale andamento.
Rifacendomi al caso della moneta sbilanciata, non possiamo dire che:
\(\displaystyle \lim_{N\to\infty}\frac{N_A}{N} = 0,7 \)
ma possiamo dire che:
\( \lim_{N\to\infty}P\left(\left\lvert\frac{N_A}{N}-P(A)\right\rvert<\varepsilon\right)= P(\lim_{n\to\infty}|\bar{X}_n-0.7|<\varepsilon)=1 \).
Questo è possibile considerando il rapporto $\frac{N_A}{N}$ come una v.c. bernoulliana...
"Sergio":
Nella definizione frequentista si definisce la probabilità come limite di una frequenza, limite in senso matematico altrimenti la definizione sarebbe circolare, ma quella frequenza non segue una legge matematica.
con "legge matematica" intendi dire che non possiamo conoscere con certezza qual è il comportamento certo di $N_a/N$ al tendere ad infinito?
Ok, se è così, su questo punto ci sono. Quello che non capisco è:
"Sergio":
Il problema rimane comunque, ma la legge dei grandi numeri dà un senso a quel limite facendolo diventare limite di una variabile aleatoria, la media campionaria.
O perlomeno. ho capito così: Il problema che abbiamo sopra si risolve quindi applicando il concetto di limite ad una variabile aleatoria (che è di fatto una funzione chiara e definita), invece che ad una frequenza di cui non conosciamo il reale andamento.
Rifacendomi al caso della moneta sbilanciata, non possiamo dire che:
\(\displaystyle \lim_{N\to\infty}\frac{N_A}{N} = 0,7 \)
ma possiamo dire che:
\( \lim_{N\to\infty}P\left(\left\lvert\frac{N_A}{N}-P(A)\right\rvert<\varepsilon\right)= P(\lim_{n\to\infty}|\bar{X}_n-0.7|<\varepsilon)=1 \).
Questo è possibile considerando il rapporto $\frac{N_A}{N}$ come una v.c. bernoulliana...
mi sono perso
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