Dubbio su (semplice) esercizio

[dave031]

ciao a tutti...ho un dubbio su di un esercizio la cui soluzione mi sembra sbagliata.

L'esercizio cita: ho due urne A, B che contengono rispettivamente:
A: n palline bianche
B: r palline bianche, e n-r rosse

Supponiamo di scegliere a caso una delle due urne e di effettuare una serie di estrazioni:
qual è la probabilità di ottenere due palline di colore diverso in 2 estrazioni con reinserimento?

Soluzione:
considero la variabile aleatoria
X = n° di palline bianche estratte all'i-esima estrazione. Dunque calcolare $P(X_2=1)$ (prob di aver estratto una sola bianca in 2 estrazioni con reinserimento) equivale a calcolare:
$P(X_2=1) = P(A)P(X_2=1|A)+P(B)P(X_2=1|B)$
dato che sicuramente: $P(A)P(X_2=1|A) = 0$ in quanto non ci sono palline rosse nell'urna A, quindi non ne posso estrarre 2 di colore diverso, allora il tutto si riduce a calcolare:
$P(B)P(X_2=1|B)$
ora qui mi sorge un dubbio...gli eventi B e ${X_2=1}$ sono indipendenti??

non riesco a capirlo...<.<

grazie a tutti per eventuali aiuti

[olaxgabry]

Per me gli eventi non sono indipendenti. Vediamo se riesco a scrivertela in modo formale. Sai che la probabilità di scegliere una delle due urne è $1/2$, ovvero

$P(A)=P(B)=1/2$.

Prendendo $r>0$, hai che l'evento $P(X_2=1)$ non ha probabilità nulla.

$P(X_2=1)=P(B)P(X_2=1|B)$

Lavoriamo su $P(X_2=1|B)$: sai che

$P(X_2=1|B)=[P(X_2=1,B)]/[P(B)]$

Se gli eventi $X_2=1$ e $B$ fossero indipendenti, allora

$P(X_2=1,B)=P(X_2=1)P(B)$

Quindi

$P(X_2=1|B)=[P(X_2=1,B)]/[P(B)]=P(X_2=1)$

Di conseguenza

$P(X_2=1)=P(B)P(X_2=1|B)=P(B)P(X_2=1)$

Ovvero

$P(X_2=1)(1-P(B))=0$

Questo è vero se:
1. $P(X_2=1)=0$ assurdo (perché ho preso $r>0$).
2. $P(B)=1$ assurdo.

Per cui i due eventi non sono indipendenti. Cmq aspetterei la risposta di qualche persona più auterovole del sottoscritto in quanto la probabilità la "mastico" raramente.
Ciao