Dubbio su funzione di densità in una variabile continua
Salve!
Ho un dubbio che ne cercando sul web, ne consultando gli appunti ne il libro sono riuscito a sciogliere.
Ho una variabile aleatoria bivariata continua, di cui mi viene fornita la densità che è definita solo per i valori di $X$ e $Y$ positivi, altrimenti vale 0. Calcolo il suo integrale da $0$ a $\infty$ in $dy$ e in $dx$ per ottenere rispettivamente la funzione di densità della variabile $X$ e della variabile $Y$. Facendo il prodotto posso verificare che sono stocasticamente indipendenti in quanto il prodotto è uguale alla densità congiunta e posso "studiare" anche altri indici della distribuzione. Il mio dubbio però (che è solo parziale) è che quando inserisco un valore datomi dal testo nella densità della Y che ho ottenuto, ottengo un valore molto maggiore di $1$, cioè più di $6$. Mi viene richiesto il valore della densità marginale di $Y$ in un certo punto reale datomi. Ora, so che la funzione di densità può anche essere maggiore di 1, l'importante è che l'area sottesa al dominio sia complessivamente 1. Il mio dubbio però è che essa non valga 0, come per la probabilità di un singoletto reale in una variabile continua. Però mi sa che sto confondendo la densità con la probabilità.
Qualcuno mi potrebbe chiarire le idee e confermarmi se è normale avere un valore come $6$ inserendo un certo valore $(X=x)$ ad esempio nella densità della variabile $X$? Ovviamente il valore appartiene all'intervallo in cui la densità è definita, ovvero nel mio caso $(0,+\infty)$.
Grazie mille per i chiarimenti!
Ho un dubbio che ne cercando sul web, ne consultando gli appunti ne il libro sono riuscito a sciogliere.
Ho una variabile aleatoria bivariata continua, di cui mi viene fornita la densità che è definita solo per i valori di $X$ e $Y$ positivi, altrimenti vale 0. Calcolo il suo integrale da $0$ a $\infty$ in $dy$ e in $dx$ per ottenere rispettivamente la funzione di densità della variabile $X$ e della variabile $Y$. Facendo il prodotto posso verificare che sono stocasticamente indipendenti in quanto il prodotto è uguale alla densità congiunta e posso "studiare" anche altri indici della distribuzione. Il mio dubbio però (che è solo parziale) è che quando inserisco un valore datomi dal testo nella densità della Y che ho ottenuto, ottengo un valore molto maggiore di $1$, cioè più di $6$. Mi viene richiesto il valore della densità marginale di $Y$ in un certo punto reale datomi. Ora, so che la funzione di densità può anche essere maggiore di 1, l'importante è che l'area sottesa al dominio sia complessivamente 1. Il mio dubbio però è che essa non valga 0, come per la probabilità di un singoletto reale in una variabile continua. Però mi sa che sto confondendo la densità con la probabilità.
Qualcuno mi potrebbe chiarire le idee e confermarmi se è normale avere un valore come $6$ inserendo un certo valore $(X=x)$ ad esempio nella densità della variabile $X$? Ovviamente il valore appartiene all'intervallo in cui la densità è definita, ovvero nel mio caso $(0,+\infty)$.
Grazie mille per i chiarimenti!
Risposte
"fbafkis":
Però mi sa che sto confondendo la densità con la probabilità.
anche secondo me.
Nelle distribuzioni continue la probabilità è definita da un'area:
$"probabilità"= "densità" xx "larghezza intervallo"$
meglio: $"probabilità"= int_D "densità"$
Se la densità di un singoletto è 6 la sua probabilità è comunque zero essendo zero l'ampiezza dell'intervallo di cui vuoi calcolare la probabilità.
Esistono anche casi di distribuzioni miste, continue ma con uno o più punti con probabilità $>0$
Questa è la densità (continua) di una variabile X definita nel modo seguente $f_X(x)={{: ( 2 , ; 0
Come vedi la densità in ogni singoletto vale 2. La probabilità di ogni singoletto è invece zero....
$P(a
$P(X=x_0)=2(x_0-x_0)=0$
che si può interpretare come $"probabilità"= "densità" xx "larghezza intervallo"$
Grazie mille! Allora, ecco un esempio visto a lezione, che è molto semplice. L'altro esercizio verrà valutato, quindi cercherò di cavarmela da solo una volta risolto il dubbio. Anche questo comunque presenta lo stesso problema (per me ovviamente 
). Non mi sono accorto subito del dubbio perché poi l'esercizio si concentrava sul calcolo di covarianza, indice di correlazione, etc.
$f_(X,Y)={ x+y \rightarrow "se" 0
In questo caso le due variabili che compongono la bivariata sono simmetriche e quindi facendo i due integrali entrambe le due densità marginali sono $x+1/2$.
Quindi la densità di X sarà:
${x+1/2$ se $0
Ora, se prendo ad esempio $0.8$, che rientra nell'intervallo in cui la densità è definita, la funziona di densità di X varrà $1.3$. Questo valore è accettabile, in quanto so che la densità può essere maggiore di $1$, vero? La sua probabilità è invece $0$, in quanto la probabilità di un singoletto, come ormai ben so, in una funzione continua è appunto $0$. Ma quindi, esattamente cosa descrive la densità? Perchè mi rendo conto che avevo le idee confuse.
Grazie mille per il supporto!
). Non mi sono accorto subito del dubbio perché poi l'esercizio si concentrava sul calcolo di covarianza, indice di correlazione, etc. $f_(X,Y)={ x+y \rightarrow "se" 0
In questo caso le due variabili che compongono la bivariata sono simmetriche e quindi facendo i due integrali entrambe le due densità marginali sono $x+1/2$.
Quindi la densità di X sarà:
${x+1/2$ se $0
Ora, se prendo ad esempio $0.8$, che rientra nell'intervallo in cui la densità è definita, la funziona di densità di X varrà $1.3$. Questo valore è accettabile, in quanto so che la densità può essere maggiore di $1$, vero? La sua probabilità è invece $0$, in quanto la probabilità di un singoletto, come ormai ben so, in una funzione continua è appunto $0$. Ma quindi, esattamente cosa descrive la densità? Perchè mi rendo conto che avevo le idee confuse.
Grazie mille per il supporto!
"tommik":
[quote="fbafkis"] Però mi sa che sto confondendo la densità con la probabilità.
anche secondo me.
Nelle distribuzioni continue la probabilità è definita da un'area:
$"probabilità"= "densità" xx "larghezza intervallo"$
meglio: $"probabilità"= int_D "densità"$
Se la densità di un singoletto è 6 la sua probabilità è comunque zero essendo zero l'ampiezza dell'intervallo di cui vuoi calcolare la probabilità.
Esistono anche casi di distribuzioni miste, continue ma con uno o più punti con probabilità $>0$
Questa è la densità (continua) di una variabile X definita nel modo seguente $f_X(x)={{: ( 2 , ; 0
Come vedi la densità in ogni singoletto vale 2. La probabilità di ogni singoletto è invece zero....
$P(a
$P(X=x_0)=2(x_0-x_0)=0$
che si può interpretare come $"probabilità"= "densità" xx "larghezza intervallo"$
[/quote]Okokokok, quindi è giusto dire che la densità mi dice quanta probabilità sta in un certo punto o in un certo intervallo? Ma non ovviamente quanto vale la probabilità.
Se parti dal presupposto che la probabilità è definita da un'area, nella fattispecie continua dalla funzione di distribuzione
$F_X(x)=int_(-oo)^(x)f(t)dt$
ed hai delle minime conoscenze di calcolo integrale dovresti anche avere chiaro che cosa si intenda per "densità di probabilità": si intende la derivata della FdR, ovvero la funzione integranda valutata in $X=x$
Se invece vuoi una spiegazione ancora più terra-terra diciamo che la probabilità è un'area e la densità ha il medesimo concetto relativo che puoi trovare in fisica (densità di un fluido) o in demografia (densità della popolazione): probabilità diviso l'ampiezza dell'intervallo.
$F_X(x)=int_(-oo)^(x)f(t)dt$
ed hai delle minime conoscenze di calcolo integrale dovresti anche avere chiaro che cosa si intenda per "densità di probabilità": si intende la derivata della FdR, ovvero la funzione integranda valutata in $X=x$
Se invece vuoi una spiegazione ancora più terra-terra diciamo che la probabilità è un'area e la densità ha il medesimo concetto relativo che puoi trovare in fisica (densità di un fluido) o in demografia (densità della popolazione): probabilità diviso l'ampiezza dell'intervallo.
ok grazie mille! Ora ho decisamente le idee più chiare!
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