Dubbio su esercizio facile facile di probabilità
Salve a tutti, nell'iniziare con alcuni semplici esercizi sulle prime nozioni di probabilità (che trovo molto interessante) stavo svolgendo il punto a) di un esercizio: Cinque urne contengono palline bianche e rosse, le urne 1 e 2 ne contengono ciascuna 2 bianche e 1 rossa, le urne 3 e 4 ciascuna 3 bianche e una rossa, mentre l'urna 5 contiene solo 5 palline rosse. Qual è la probabilità che, scegliendo a caso un'urna, si peschi una pallina bianca?
Allora, chiamando $B$ l'evento "pesco pallina bianca" e $U_i$ "ho scelto l'urna i-esima", prendendo anche spunto da un altro esercizio svolto che ho visto sul mio libro, a questa domanda si dovrebbe rispondere correttamente utilizzando il teorema della probabilità totale $P(B) = \sum_{i=1}^n P(U_i) P(B | U_i)$, che farebbe $(2/3+2/3+3/4+3/4+0)*(1/5)=17/30$. Ora il mio dubbio è questo: come mai non pervengo allo stesso risultato se considero un'unica grande urna con 19 palline di cui 10 bianche, facendo casi favorevoli su casi possibili? mi sono un po' confuso...come c'entra qualcosa il fatto che scelgo un'urna? essendo tutte equiprobabili con probabilità 1/5 la loro unione dovrebbe dare un'unica urna...
Allora, chiamando $B$ l'evento "pesco pallina bianca" e $U_i$ "ho scelto l'urna i-esima", prendendo anche spunto da un altro esercizio svolto che ho visto sul mio libro, a questa domanda si dovrebbe rispondere correttamente utilizzando il teorema della probabilità totale $P(B) = \sum_{i=1}^n P(U_i) P(B | U_i)$, che farebbe $(2/3+2/3+3/4+3/4+0)*(1/5)=17/30$. Ora il mio dubbio è questo: come mai non pervengo allo stesso risultato se considero un'unica grande urna con 19 palline di cui 10 bianche, facendo casi favorevoli su casi possibili? mi sono un po' confuso...come c'entra qualcosa il fatto che scelgo un'urna? essendo tutte equiprobabili con probabilità 1/5 la loro unione dovrebbe dare un'unica urna...
Risposte
Immagina di avere 100 palline e 2 urne. 99 rosse ed una bianca. Metti in un urna le 99 rosse e nell'altra la pallina bianca. Ti costringo a scegliere una delle due urne, per poi prendere una delle palline. Avrai il 50% di B, ed il 50% R.
Come vedi la distribuzione delle palline all'interno delle urne, modifica notevolmente la probabilità di considerare le stesse nello stesso calderone.
Come vedi la distribuzione delle palline all'interno delle urne, modifica notevolmente la probabilità di considerare le stesse nello stesso calderone.
ah, grazie Umby, mi hai messo davanti un esempio molto chiaro, quindi la costrizione (probabilità condizionata) di scegliere prima un'urna mi cambia notevolmente la probabilità...e per la domanda b) dello stesso esercizio a questo punto non saprei se sto facendo lo stesso errore. Mi chiede: "Sapendo che è stata estratta una pallina bianca, calcolare la probabilità che sia stata estratta dalla urna 3 o dalla 4"
Io ho interpretato così: vuole sapere la $P(U_3 uu U_4|B) = (P(U_3 uu U_4)P(B|U_3 uu U_4))/(P(B))$ per il teorema di Bayes. Adesso al denominatore abbiamo $P(B)$, la probabilità calcolata prima, e $P(U_3 uu U_4)$ è 2/5. Per $P(B|U_3 uu U_4)$ posso unire le urne 3 e 4 che hanno la stessa configurazione di 3 palline bianche e 1 rossa e calcolare la probabilità di estrarne una bianca (6 su 8)?
Io ho interpretato così: vuole sapere la $P(U_3 uu U_4|B) = (P(U_3 uu U_4)P(B|U_3 uu U_4))/(P(B))$ per il teorema di Bayes. Adesso al denominatore abbiamo $P(B)$, la probabilità calcolata prima, e $P(U_3 uu U_4)$ è 2/5. Per $P(B|U_3 uu U_4)$ posso unire le urne 3 e 4 che hanno la stessa configurazione di 3 palline bianche e 1 rossa e calcolare la probabilità di estrarne una bianca (6 su 8)?
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