Dubbio su distribuzione binomiale e prob condizionata

[dave031]

se non si fosse capito con il calcolo delle probabilità sono veramente scarso...

ho un esercizio la cui soluzione mi ha lasciato veramente perplesso. il testo cita: si lanci una moneta 10 volte. La probabilità di ottenere testa è P(T)=p (quindi quella di ottenere croce è P(C)=1-p)
Dei 10 lanci effettuati esattamente 6 hanno come risultato TESTA. Calcolare dunque la probabilità condizionata di ottenere ai primi 3 lanci la sequenza: (Testa-Croce-Croce)

Soluzione (mia...SBAGLIATA...):

pongo i due eventi:

B : otteniamo 6 teste su 10 lanci
A: otteniamo la sequenza Testa-Croce-Croce ai primi 3 lanci.

Sapendo che la probabilità condizionata
$P(A|B) = (P(AnnB))/(P(B))$

quindi calcolo $P(B)$ e poi $P(AnnB)$
la probabilità che si verifichi l'evento B è data dalla seguente distribuzione binomiale

$P(B) = ((10!)/(6!4!)) p^6 (1-p)^6 $

ora calcolo $P(AnnB)$ (e qui viene il problema che non capisco...)
il fatto che si verifichi o meno l'evento A (testa-croce-croce) non influenza il verificarsi dell'evento B, pertanto i due eventi risultano indipendenti...quindi

$P(AnnB) = P(A)*P(B)$

inoltre, siccome la probabilità di ottenere rispettivamente una testa è $p$ e quella di ottenere una croce è $(1-p)$ allora la probabilità di ottenere la sequenza Testa-Croce-Croce è

$P(A) = p (1-p) (1-p) $

pertanto $P(AnnB) = P(A)*P(B) = [p (1-p) (1-p)] * [ ((10!)/(6!4!)) p^6 (1-p)^6] $

e qui è il problema...perchè quest'ultimo passaggio è sbagliato e non capisco il perchè...

la soluzione corretta sarebbe dire che l'evento $P(AnnB)$ corrisponde al fatto di ottenere nei primi 3 lanci Testa-Croce-Croce e nei successivi 7 un totale di 5 teste e 2 croci (che indico con (5T 2C))...

quindi la probabilità di ottenere questi valori è data ancora una volta dalla distribuzione binomiale:

$P(5T 2C) = ((7!)/(5!2!)) p^5 (1-p)^2$

dunque avendo già calcolato P(A) sopra otteniamo che

$P(AnnB) = P(A) * P(B) = [p (1-p) (1-p)]*[ ((7!)/(5!2!)) p^5 (1-p)^2]$

proseguendo coi calcoli finali (che ometto...) si ritrova che $P(B|A)=1/10$

quello che non riesco a capire però è perchè il passaggio:

$P(AnnB) = P(A) * P(B) = [p (1-p) (1-p)]*[ ((7!)/(5!2!)) p^5 (1-p)^2]$

è sbagliato...

non capisco...pensavo fosse abbastanza scontato che fosse così...

[Cheguevilla]

Intanto:

"dave03":la probabilità che si verifichi l'evento B è data dalla seguente distribuzione binomiale

$P(B) = ((10!)/(6!4!)) p^6 (1-p)^6 $

...

pertanto $P(AnnB) = P(A)*P(B) = [p (1-p) (1-p)] * [ ((10!)/(6!4!)) p^6 (1-p)^6]$

è sbagliato.
Poichè dovrebbe essere:
$P(B) = ((10!)/(6!4!)) p^6 (1-p)^4 $

Inoltre, si badi bene che gli eventi A e B non sono indipendenti.

Sappiamo che è uscita sei volte la faccia "testa", quindi se $P(A)=p(1-p)^2$, $P(AnnB)$ corrisponde all'uscita delle facce TESTA, CROCE, CROCE ai primi tre lanci, e l'uscita di 5 facce TESTA nei sette lanci successivi.
Pertanto, $P(AnnB)=p(1-p)^2((7),(5))p^5(1-p)^2$

Quindi:
$(P(AnnB))/(P(B)) =(p(1-p)^2((7),(5))p^5(1-p)^2)/(((10),(6)) p^6 (1-p)^4)=(((7),(5)))/(((10),(6)))$

Svolgendo i calcoli:
$(7!)/(2!*5!)(6!*4!)/(10!)=

$=(7!)/2(6*4!)/(10!)=

$=(7!)(3*4!)/(10!)=

$=(3*4!)/(10*9*8)=

$=72/720=

$=1/10$