Dubbio su calcolo probabilità

[Gandalf73]

Ho un esercizio la cui soluzione secondo me può essere data in due modi.
Eccone il testo:
la probabilità che un led funzioni x ore senza guastarsi è $ P(OK) = 0.3 $.
Quanti led del medesimo tipo funzionanti in parallelo sono necessari affinchè la probabilità di avere comunque "luminosità" (portata dal singolo led) per x ore sia maggiore di 0.6?
Potrei vedere il calcolo come $ [P(OK)] ^n >= 0.6 $ (l'intersezione di tutti gli eventi con probabilità $ P_i $ considerando il fatto che siano collegati in parallelo quindi indipendenti) oppure $ P (1-0.3) ^n <= 0.4 $ ( l'intersezione di tutti gli eventi con probabilità $ (1- P_i) $ dei NON funzionanti).
Ho errato qualcosa nel ragionamento?
Un grazie anticipato
A.

[Lo_zio_Tom]

"Gandalf73":
la probabilità che un led funzioni (almeno) k ore senza guastarsi è $ P(OK) = 0.3 $.

ho dovuto correggere il testo, perché altrimenti la probabilità sarebbe zero (ed ho sostituito x con k per non far confusione.
Occorre anche supporre l'indipendenza dei singoli led, altrimenti non si può risolvere (a meno di non avere informazioni sulla dipendenza)

Ciò premesso, si può fare agevolmente così:

Se i led sono collegati in parallelo, per avere almeno la portata del singolo led per almeno k ore, occorre che la probabilità della durata massima dei led sia $>= k $

Quindi, riassumendo, i dati del problema sono questi:

$P(X_(1)>=k)=0.3$

$P(X_(1)

$P{max(x)>=k}=1-P{max(x)
$=1-[P(X_(1)=0.6$

$n>=(log0.4)/(log0.7)=2.57$

$n>=3$

onestamente non vedo altri modi per risolverlo....

[Gandalf73]

Ciao e grazie ancora per il mostruoso aiuto che mi stai fornendo.
Il punto che mi è ostica è l'interpretazione di quel $ P^n $. E' come se avessi $ P(K)_1*P(K)_2....*P(K)_n $,quindi un prodotto di probabilità riferite ad eventi indipendenti e mi appaiono come se parlassimo di una "intersezione" tra essi (non indipendenti appunto).O mi sbaglio?da lì ovviamente l'elevamento a potenza.Ho detto una sciocchezza?
Un saluto
A.

[Lo_zio_Tom]

"Gandalf73":Il punto che mi è ostica è l'interpretazione di quel $ P^n $.

Per essere precisi io ho fatto $[1-P]^n$ ....è la probabilità che nessuno degli n componenti duri per almeno k ore....e si eleva a potenza per l'ipotesi che le varaibili siano iid, quindi non solo indipendenti ma anche identicamente distribuite. E' anche la probabiltà dell'intersezione ma solo per eventi indipendenti. In generale, la probabilità dell'intersezione di due eventi è questa:

$P(A nn B)=P(A)P(B|A)$


A questo punto la probabilità complementare di $[1-P]^n$ è quello che è richiesto dall'esercizio. Ciò basterebbe a risolvere ma ho voluto volutamente (anche la cacofonìa è voluta ) tirare in ballo la probabilità del max perché ti sarà sicuramente utile in futuro ed anche perché è il modus operandi più corretto dal punto di vista statistico


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Ora cerco di mettere in "prosa" i concetti precedenti ( mi ci vorrà un po' per terminare ed anche parecchie correzioni, dato che sto anche lavorando nel frattempo.....stay tuned


lasciamo un attimo perdere l'esercizio

Consideriamo invece la probabilità di un guasto del seguente circuito:

1) due componenti collegati in serie

2) due componenti collegati in parallelo

3) due componenti collegati in ausiliario

Supponiamo che il funzionamento dei componenti sia indipendente uno dall'altro e che abbiano la stessa distribuzione; a questo punto notiamo che:

nel caso 1) il sistema si guasta quando si guasta il primo dei due componenti -> siamo interessati alla distribuzione del minimo

$Z=min(X,Y)$

come di consueto, con la definizione di CDF procediamo così:

$F_(Z)(z)=P(minz)$

ora, se il minimo fra i due è maggiore di z significa che entrambi sono maggiori di z, quindi posso scrivere

$1-P(min>z)=1-P(X>z;Y>z)$ ora sì che per l'indipendenza posso fare così:

$1-P(X>z;Y>z)=1-[1-P(X
prova ora a ripercorrere lo stesso ragionamento nel caso 2), collegamento in parallelo...e dovresti capire come ho risolto il tuo problema....

il caso 3 è una trasformazione di variabile, dato che la durata dell'apparecchiatura è uguale alla somma delle durate

spero di essere stato chiaro

[Gandalf73]

Grazie carissimo!
Sommando le chicche non vorrei mi maledicessi
Un salutone.
A.
ps adesso sto impazzendo su un altro esercizio...c'è mischiato il "complementare" del verificarsi dell'evento.