Dubbio su calcolo congiunta

[MrMojoRisin891]

Ciao, ecco il dubbio di oggi:

"Siano $X$, $Y$ distribuzioni normali indipendenti di media zero e varianza 1. Calcolare la probabilità che $X$ sia minore o uguale a $Y$ . Dipende il risultato dal fatto che la distribuzione sia gaussiana?"

Si risolve facilmente con un approccio grafico, basta guardare l'area che sta sotto la retta $y=x$, quindi la probabilità cercata è $1/2$;

Ma la soluzione riporta il calcolo esplicito:
"Supponiamo che $X$, $Y$ abbiano densità $f$. Il vettore $(X, Y)$ ha densità $f(x)f(y)$ e la probabilità richiesta è allora
$int_-oo^(+oo) f(y)dy int_-oo^y f(x)dx$.
Posto $g(y)=int_-oo^y f(x)dx$ l'integrale di sopra diventa
$int_-oo^(+oo) g'(y)g(y)dy =1/2int_-oo^(+oo) d/dy g(y)^2=1/2$"

Non ho capito l'ultima uguaglianza: perchè quell'integrale viene considerato uguale a 1?
Grazie

[Lo_zio_Tom]

"MrMojoRisin89":
$int_-oo^(+oo) g'(y)g(y)dy =1/2int_-oo^(+oo) d/dy g(y)^2=1/2$"

Non ho capito l'ultima uguaglianza:

beh...non hai capito l'uguaglianza perché è sbagliata!

l'uguaglianza corretta è questa (basta svolgere i calcoli per accorgersi dell'errore):

$int_-oo^(+oo) g'(y)g(y)dy =1/2int_-oo^(+oo) dg(y)^2=1/2$

e l''integrale in questione vale uno per le proprietà della Funzione di Ripartizione[nota]la dimostrazione non me la ricordo....ma provo a buttare lì una spiegazione veloce $intdF^2=2intF(x)f(x)dx=2E(F)=2\cdot1/2=1$[/nota] (nota che $g$ è proprio la CDF di una normale standard)

Ciò premesso, io risolverei l'esercizio, sempre in modo analitico, ma così:

$P(X
dato che $W=X-Y$ è ancora una normale di media zero e varianza 2.

Con questo metodo puoi risolvere agevolmente anche altri esercizi simili, dove media e varianza sono diversi da zero e uno...mentre con l'integrale proposto o, ancor peggio, col metodo grafico, sorgerebbero difficoltà.

[MrMojoRisin891]

grazie, chiaro come sempre; utilissimo il tuo metodo!