Dubbio su calcolo combinatorio

[Francesca420]

1)In quanti modi diversi si possono distribuire 8 libri diversi a due ragazzi, se ognuno deve ricevere
almeno 2 libri?
2)Dieci studenti partecipano ad una competizione ed i primi 6 vengono premiati con
6 premi diversi: in quanti modi diversi possono essere distribuiti i premi? Se invece i premi sono tutti
uguali, in quanti modi possono essere distribuiti?
In quest’ultimo caso, con che probabilitá si vince un premio?

Vorrei sapere in modo semplice e pratico(per questo ho postato degli esercizi per capire meglio con l'esempio)come svolgere esercizi di questa tipologia ,quindi distribuzione di oggetti diversi a soggetti diversi detta in modo un pò rozzo,che è differente dal distribuire oggetti uguali..nel secondo caso sono combinazioni con ripetizione da quello che ho capito(es:in quanti modi si possono distribuire 20 palline uguali in 5 scatole diverse)nel primo disposizioni giusto?
Grazie!Domani ho l'esame e mi sono resa conto di questa orribile lacuna!

[superpippone]

1) $238$ ma non trovo un metodo rapido per fare il calcolo...
2) a) $D_(10,6)$
b) $C_(10,6)$
La probabilità di prendere un premio è $6/10$
3) Visto che non hai specificato, deduco che ci potrebbero anche essere scatole vuote $5^20$

[superpippone]

Per il 1 quesito ho fatto il seguente conteggio:
Il primo ragazzo può ricevere:
-2 libri $28$ modi
-3 libri $56$ modi
-4 libri $70$ modi
-5 libri $56$ modi
-6 libri $28$ modi
Totale $28+56+70+56+28=238$
Si potrebbe anche fare il calcolo inverso, ma ti complicherei la vita.....

[JackMek]

Per il primo quesito io lo risolverei così:

Scelte totali $ 2^8 = 256 $

a cui tolgo i 2 casi sfavorevoli:

1) Ad un ragazzo non viene dato nessun libro
Ci sono $2$ modi
Ragazzo A ha tutti gli 8 libri e il ragazzo B non ne ha nessuno e viceversa.

2)Ad un ragazzo viene dato un solo libro
Ci sono $16$ modi
Ragazzo A ha 7 libri e il ragazzo B ne ha uno solo(Ci sono 8 modi) e viceversa.

Quindi $ 2^8 -2 -16 = 238$

[momo16]

"JackMek":Per il primo quesito io lo risolverei così:

Scelte totali $ 2^8 = 256 $

Specificherei solo che quel $2^8$ è dato dalla somma di tutte le possibili combinazioni di $n$ elementi da un insieme di $8$. Cioè $( (8), (1) ) + ( (8), (2) )+.......+( (8), (8) )$. ( modi in cui posso dare 1 libro al primo e 7 al secondo, 2 al primo e 8 al secondo ecc...).
E non dalle cosidette disposizioni con ripetizione

[JackMek]

Naturalmente si può vedere come somma dell'ottava riga del triangolo di tartaglia(e avendo in mente il grafico risulta ancora più veloce fare i successivi calcoli).

Ma si può pensare anche con le disposizioni con ripetizioni,non vedo il problema:

Sia dato un insieme di $n$ elementi(A e B) e k(numero libri)
Si definisce disposizioni con ripetizione tutti i possibili raggruppamenti di $k$ elementi che si possono formare con gli elementi dati in modo che:
-Ogni raggruppamento ne contenga $k$
-Uno stesso elemento può comparire fino a $k$ volte nello stesso gruppo
-Due raggruppamenti differiscano tra loro per almeno un elemento o per l'ordine

Scrivo un caso con $k=3$ libri per semplicità
Nelle soluzioni la posizione indica il libro(es. ABA primo libro dato ad A,secondo libro dato a B,terzo libro dato ad A)
(AAA,AAB,ABA,ABB,BAA,BAB,BBA,BBB)