Dubbio PDF congiunta e check richieste svolte esercizio
Buon pomeriggio a tutti, sto risolvendo un esercizio e mi è sorto un dubbio e visto che sono vari punti, vi chiedo gentilmente di dare un'occhiata anche al precedente, di seguito troverete tutto 
Data la v.a. $Z=X-1/2 Y$ dove $X$ ed $Y$ sono v.a. congiuntamente gaussiane tali che $X ~ N(0, 2)$ e $Y ~ N(0, 1)$ e $rho_(XY)=0.4$ si calcoli la matrice di covarianza $C_(XY)$, la PDF della v.a. Z e $P(Z>0)$
$1) $Matrice di covarianza
Per quanto riguarda la matrice di covarianza, sapendo che: $| ( sigma_X ^2 , rho sigma_X sigma_Y ),( rho sigma_X sigma_Y , sigma_Y ^2 ) | $
e sapendo che $rho = (Cov(X,Y))/(sigma_X sigma_Y)$ mi ricavo la covarianza e la matrice avrà i seguenti valori: $| (2 , 0.565),( 0.565 , 1) | $
$2)$ PDF della v.a. Z
Passiamo al punto "dolente"... Sapendo che la PDF di due v.a. congiuntamente gaussiane è data da:
$f_(XY)(x,y) = 1/(2pi sigma_X sigma_Y sqrt(1-rho^2)) EXP {- 1/(2(1-rho^2)) *[(x- mu_X)^2 /sigma_X ^2 -2rho ((x- mu_X)(y- mu_Y)) / (sigma_X sigma_Y) + (y- mu_Y)^2 /sigma_Y ^2]}$
sostituisco i valori che ho a disposizione ed ottengo:
$f_(XY)(x,y) = 1/(2pi sqrt(2(1-0.16))) EXP {- 1/(2(1-0.16)) *[(x- 0)^2 /2 -2*0.4 ((x- 0)(y-0)) / (1*sqrt(2)) + (y- 0)^2 /1]}$
E qui mi sono bloccato... come si procede? Ho svolto un altro passaggio sul quaderno nel quale svolgo i quadrati e qualche moltiplicazione ma non so se sia la strada giusta... Cosa mi consigliate di fare? E' possibile che lo svolgimento possa ritenersi concluso qui?
Grazie come sempre
Data la v.a. $Z=X-1/2 Y$ dove $X$ ed $Y$ sono v.a. congiuntamente gaussiane tali che $X ~ N(0, 2)$ e $Y ~ N(0, 1)$ e $rho_(XY)=0.4$ si calcoli la matrice di covarianza $C_(XY)$, la PDF della v.a. Z e $P(Z>0)$
$1) $Matrice di covarianza
Per quanto riguarda la matrice di covarianza, sapendo che: $| ( sigma_X ^2 , rho sigma_X sigma_Y ),( rho sigma_X sigma_Y , sigma_Y ^2 ) | $
e sapendo che $rho = (Cov(X,Y))/(sigma_X sigma_Y)$ mi ricavo la covarianza e la matrice avrà i seguenti valori: $| (2 , 0.565),( 0.565 , 1) | $
$2)$ PDF della v.a. Z
Passiamo al punto "dolente"... Sapendo che la PDF di due v.a. congiuntamente gaussiane è data da:
$f_(XY)(x,y) = 1/(2pi sigma_X sigma_Y sqrt(1-rho^2)) EXP {- 1/(2(1-rho^2)) *[(x- mu_X)^2 /sigma_X ^2 -2rho ((x- mu_X)(y- mu_Y)) / (sigma_X sigma_Y) + (y- mu_Y)^2 /sigma_Y ^2]}$
sostituisco i valori che ho a disposizione ed ottengo:
$f_(XY)(x,y) = 1/(2pi sqrt(2(1-0.16))) EXP {- 1/(2(1-0.16)) *[(x- 0)^2 /2 -2*0.4 ((x- 0)(y-0)) / (1*sqrt(2)) + (y- 0)^2 /1]}$
E qui mi sono bloccato... come si procede? Ho svolto un altro passaggio sul quaderno nel quale svolgo i quadrati e qualche moltiplicazione ma non so se sia la strada giusta... Cosa mi consigliate di fare? E' possibile che lo svolgimento possa ritenersi concluso qui?
Grazie come sempre
Risposte
innanzitutto attento agli arrotondamenti. $Cov(X,Y)=0.566$
Per il resto non serve usare la distribuzione congiunta di $(X,Y)$
sai bene che $Z=X-1/2Y$ è ancora gaussiana, essendo combinazione di gaussiane.....ti basta calcolare media e varianza di Z, e scrivere la gaussiana in oggetto.
E' una fotocopia dell'esericizo che hai risolto ieri.
Inoltre $P(Z>0)=0$ senza alcun conto....entrambe $X,Y$ hanno media zero...
Per il resto non serve usare la distribuzione congiunta di $(X,Y)$
sai bene che $Z=X-1/2Y$ è ancora gaussiana, essendo combinazione di gaussiane.....ti basta calcolare media e varianza di Z, e scrivere la gaussiana in oggetto.
E' una fotocopia dell'esericizo che hai risolto ieri.
Inoltre $P(Z>0)=0$ senza alcun conto....entrambe $X,Y$ hanno media zero...
"tommik":
...
Grazie tommik... mi son venute due domande... la prima...
la PDF che ho scritto la uso solo quando esplicitamente richiesta dall'esercizio? Perchè in un vecchio esercizio, che postai mesi fa qui sul forum, mi veniva esplicitamente richiesta e ricordo che tu mi desti un sacco di dritte sulla risoluzione, io qui leggendo nella traccia "congiuntamente gaussiane" sono andato senza alcun dubbio su questa scelta... Probabilmente mi ha tratto in inganno ma era solo un piu della traccia
la seconda domanda è, mettiamo caso che la PDF era quella di due variabili congiuntamente gaussiane, al punto al quale sono arrivato come si continua? Risolvendo algebricamente ciò che rimane? O si lascia così?
Grazie ancora
Ogni esercizio è a sé, non si può generalizzare.
Teoricamente (ma anche praticamente) si potrebbe prendere la PDF congiuta $f(x,y)$ e calcolare la distribuzione della variabile trasformata $Z=X-1/2Y$ con le usuali tecniche di trasformazione di variabile...ho paura a pensare alla mole di conti necessari.
Dato che le variabili sono gaussiane utilizziamo le proprietà di tale modello con il seguente teorema
Quindi $Z=X-1/2Y$ è ancora gaussiana......di media [strike]somma delle medie[/strike] $E(Z)=0-1/2*0=0$ e varianza come sai fare....$V(Z)=1.684$
fine del problema
Teoricamente (ma anche praticamente) si potrebbe prendere la PDF congiuta $f(x,y)$ e calcolare la distribuzione della variabile trasformata $Z=X-1/2Y$ con le usuali tecniche di trasformazione di variabile...ho paura a pensare alla mole di conti necessari.
Dato che le variabili sono gaussiane utilizziamo le proprietà di tale modello con il seguente teorema
combinazioni lineari di gaussiane sono ancora gaussiane
Quindi $Z=X-1/2Y$ è ancora gaussiana......di media [strike]somma delle medie[/strike] $E(Z)=0-1/2*0=0$ e varianza come sai fare....$V(Z)=1.684$
fine del problema
Tutto chiaro tommik
Grazie mille
Grazie mille
"tommik":
...
tommik scusami, giusto per chiudere il discorso... la PDF di $Z$ ti risulta essere: $f_Z (z) =1/(sigma_Z*sqrt(2pi) )* e^(-1/2 ((z-mu_Z)/(sigma_Z))^2) = 1/(1,298*sqrt(2pi) )* e^(-1/2 (z/(1,298))^2)$
Ovviamente
Ultimissima domanda... nel caso che ho scritto prima, PDF congiuntamente gaussiane e in modo simile anche qui anche se in maniera ridotta, mi rimanevano $x$ ed $y$ all'interno della formula e potevo solo risolvere qualche prodotto o qualche potenza (tipo i quadrati), a quel punto non bisogna fare altro? Cioè sostituito quello che c'è da sostituire posso andare oltre senza stare li a risolvere calcoli tutto sommato evitabili? non vorrei che l'esercizio venga valutato errato perche non ho ridotto "all'osso" i calcoli... Cioè per me, come in questo caso, può anche ritenersi finito il problema, senza risolvere per esempio $1,298*sqrt(2pi)$... Scusami se la domanda può sembrare stupida ma vorrei fare quanti meno errori possibili
Come sempre ti ringrazio per la chairezza e per la disponibilità
Come sempre ti ringrazio per la chairezza e per la disponibilità
Puoi fare come meglio credi
"tommik":
...
Perfetto
grazie e al prossimo dubbio
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