Dubbi su Probabilità Condizionata
Ciao a tutti, stavo per risolvere questo esercizio quando mi sono accorto di avere dei grossi dubbi insiemistici:
Si considerino due urne U1 e U2, dai seguenti contenuti:
U1: 8 palline bianche 4 palline nere 6 palline blu
U2: 3 palline bianche 3 palline gialle 1 pallina blu
L’urna U1 viene scelta con probabilità pari a 0.75 come urna dalla quale effettuare l’estrazione.
L’estrazione consiste nel selezionare un’urna, in base alla probabilità specificata in precedenza, ed estrarre due palline, in essa contenute, in sequenza e senza reimmissione.
a) Quale è la probabilità che i due oggetti selezionati non siano 1 pallina nera ed 1 pallina blu?
Ecco i dati che deduco dal testo:
$P(U1)=0.75$
$P(U2)=0.25$
$P(N|U1)=4/18=0.222$
$P(N|U2)=0$
$P(B|U1)=6/18=0.333$
$P(B|U2)=1/7=0.1429$
Dove N sta per l'evento "scelta pallina Nera" e B ="scelta pallina blu"
Devo trovare innanzitutto:
$P(N)=P(N|U1)*P(U1) + P(N|U2) *P(U2)=0.1667$
$P(B)=P(B|U1)*P(U1) + P(B|U2)*P(U2)=0.4762$
il quesito richiede la probabilità senza remmissione di avere estratto 1 pallina non nera e una pallina non blu
Insiemisticamente questo vale a dire:
$P(\overline{N} \cap \overline{B}) = P(\overline{N})+P(\overline{B}) - P(\overline{N}\cup\overline{B})$
Allorchè devo ricavare
$P(\overline{N})=1- P(N)=0.833$
$P(\overline{B})=1- P(B)=0.524$
Mentre ho difficoltà a capire come ricavare $P(\overline{N}\cup\overline{B})$
Applicando DeMorgan : $P(\overline{N}\cup\overline{B})= P(\overline{N\capB})$
Ma come calcolo $N\capB$? Da quello che deduco, i due eventi non sono indipendenti o mi sbaglio?
Help
Si considerino due urne U1 e U2, dai seguenti contenuti:
U1: 8 palline bianche 4 palline nere 6 palline blu
U2: 3 palline bianche 3 palline gialle 1 pallina blu
L’urna U1 viene scelta con probabilità pari a 0.75 come urna dalla quale effettuare l’estrazione.
L’estrazione consiste nel selezionare un’urna, in base alla probabilità specificata in precedenza, ed estrarre due palline, in essa contenute, in sequenza e senza reimmissione.
a) Quale è la probabilità che i due oggetti selezionati non siano 1 pallina nera ed 1 pallina blu?
Ecco i dati che deduco dal testo:
$P(U1)=0.75$
$P(U2)=0.25$
$P(N|U1)=4/18=0.222$
$P(N|U2)=0$
$P(B|U1)=6/18=0.333$
$P(B|U2)=1/7=0.1429$
Dove N sta per l'evento "scelta pallina Nera" e B ="scelta pallina blu"
Devo trovare innanzitutto:
$P(N)=P(N|U1)*P(U1) + P(N|U2) *P(U2)=0.1667$
$P(B)=P(B|U1)*P(U1) + P(B|U2)*P(U2)=0.4762$
il quesito richiede la probabilità senza remmissione di avere estratto 1 pallina non nera e una pallina non blu
Insiemisticamente questo vale a dire:
$P(\overline{N} \cap \overline{B}) = P(\overline{N})+P(\overline{B}) - P(\overline{N}\cup\overline{B})$
Allorchè devo ricavare
$P(\overline{N})=1- P(N)=0.833$
$P(\overline{B})=1- P(B)=0.524$
Mentre ho difficoltà a capire come ricavare $P(\overline{N}\cup\overline{B})$
Applicando DeMorgan : $P(\overline{N}\cup\overline{B})= P(\overline{N\capB})$
Ma come calcolo $N\capB$? Da quello che deduco, i due eventi non sono indipendenti o mi sbaglio?
Help
Risposte
"davymartu":
$P(B)=P(B|U1)*P(U1) + P(B|U2)*P(U2)=0.4762$
il quesito richiede la probabilità senza remmissione di avere estratto 1 pallina non nera e una pallina non blu
Non era meglio usare la formula suddetta direttamente sull'evento $A$ "esce una pallina nera e una pallina blu", invece di farlo sui due eventi $N$ e $B$?
Se N e B fossero nella stessa urna avrei potuto fare così...Quello che forse non comprendo è se N e B siano indipendenti...Mi spieghi meglio come avresti fatto l'esercizio sull'evento $A$ "esce una nera e una blu"?
Non devi calcolare la probabilità della pallina blu sull'urna U2: questa è già una probabilità che fa parte dei casi dove " non esce una pallina blu ed una nera".
Quindi devi trovare i casi dove non esistono entrambi le palline, blu e nera, nell'urna U1, a questa sommi la probabilità dell' urna U2
Quindi devi trovare i casi dove non esistono entrambi le palline, blu e nera, nell'urna U1, a questa sommi la probabilità dell' urna U2
"davymartu":
Se N e B fossero nella stessa urna avrei potuto fare così...
Perché, non lo sono? A me pareva di avere capito dal testo che le due palline vengano estratte dalla stessa urna, scelta in precedenza. Cioè, una volta scelta $U_i$, vengono estratte entrambe le palline da $U_i$, no?
Ciao Tony, che pazienza che hai con me.... 
Allora
$P(\overline{N} | U_1)= 14/18= 0.77$
$P(\overline{B} | U_1)= 12/18= 0.66$
$P(\overline{N} | U_2)= 1$
$P(\overline{B} | U_2)= 6/7= 0.857$
$P( \overline{N} \cap \overline{B}|U_1)=8/18=0.444$
$P( \overline{N} \cap \overline{B}|U_2)=6/7=0.857$
$P( \overline{N} \cap \overline{B})=P( \overline{N} \cap \overline{B}|U_1)*P(U_1) + P( \overline{N} \cap \overline{B}|U_2)*P(U_2)=0.55$
quindi ho il 55% di non pescare 2 palline nè nere e nè blu...
Ho scritto una cazzata?
Perché, non lo sono? A me pareva di avere capito dal testo che le due palline vengano estratte dalla stessa urna, scelta in precedenza. Cioè, una volta scelta $U_i$, vengono estratte entrambe le palline da $U_i$, no?[/quote]
Si retro hai pienamente ragione, ci sto ragionando...
Allora
"tony630":
Quindi devi trovare i casi dove non esistono entrambi le palline, blu e nera, nell'urna U1, a questa sommi la probabilità dell' urna U2
$P(\overline{N} | U_1)= 14/18= 0.77$
$P(\overline{B} | U_1)= 12/18= 0.66$
$P(\overline{N} | U_2)= 1$
$P(\overline{B} | U_2)= 6/7= 0.857$
$P( \overline{N} \cap \overline{B}|U_1)=8/18=0.444$
$P( \overline{N} \cap \overline{B}|U_2)=6/7=0.857$
$P( \overline{N} \cap \overline{B})=P( \overline{N} \cap \overline{B}|U_1)*P(U_1) + P( \overline{N} \cap \overline{B}|U_2)*P(U_2)=0.55$
quindi ho il 55% di non pescare 2 palline nè nere e nè blu...
Ho scritto una cazzata?
"retrocomputer":
[quote="davymartu"]Se N e B fossero nella stessa urna avrei potuto fare così...
Perché, non lo sono? A me pareva di avere capito dal testo che le due palline vengano estratte dalla stessa urna, scelta in precedenza. Cioè, una volta scelta $U_i$, vengono estratte entrambe le palline da $U_i$, no?[/quote]
Si retro hai pienamente ragione, ci sto ragionando...
Mi sono accorto che questa che ho calcolato è la probabilità di estrarre una pallina non nera e non blu...
Mi manca un passo (se approvate quello fatto fino ad ora)
Mi manca un passo (se approvate quello fatto fino ad ora)
Io cercherei le conbinazioni che hanno 1 nera ed una blu ( a me viene 24/153), poi se sommi il suo complementare (moltiplicato per la prob di U1) alla probabilità della U2.. hai quanto richiesto
Io ho fatto così: chiamo $A$ l'evento "vengono estratti una pallina nera e una blu" e $U_i$ l'evento "estraggo due palline dalla $i$-esima urna" e procedo con la nota formula
$P(A)=P(A|U_1)P(U_1)+P(A|U_2)P(U_2)=24/153\times 0.75+0\times 0.25=...$
$P(A)=P(A|U_1)P(U_1)+P(A|U_2)P(U_2)=24/153\times 0.75+0\times 0.25=...$
se consideriamo $B$ l'evento " che non siano 1 blu ed una nera"
$P(B)=(1-P(A))+ 0.25=...$
$P(B)=(1-P(A))+ 0.25=...$
Mi spiegate gentilmente come arrivate a $P(A|U_1)=24/153$?
"tony630":
se consideriamo $B$ l'evento " che non siano 1 blu ed una nera"
$P(B)=(1-P(A))+ 0.25=...$
Forse volevi scrivere
$P(B)=(1-P(A|U_1))P(U_1)+ 0.25=...$
Oppure non ho capito il tuo ragionamento
153 sono i casi possibili, quindi binomiale : $C_(n,k)=((18),(2))$
OkOk, mi sono perso con i binomiali...quindi $P(A|U_1)={((4),(1))*((6),(1))}/(((18),(2)))$
Io ci arrivo così
La probabilità di avere una pallina nera al primo colpo moltiplicato(4/18) per la probabilità di avere una blu al secondo colpo -se la prima non era blu- (6/17) più la probabilità di avere una blu al primo colpo (6/18) moltiplicato la probabilità di avere la nera al secondo (supposto che non sia uscita alla prima)- (4/17).
Tale somma da 48/306.
Lo so che dovrei scrivere in formule, ma non sono pratico e mi ci vuole un sacco di tempo... dopo lo faccio se non è chiaro
Retro il mio ragionamento è questo:
si calcola la probabilità di avere una blu ed una nera sulla urna U1 e di conseguenza il suo complementare: questo si moltiplica per la probabilità dell'urna U1.
sommo questo valore, che è la probabilità di "non avere una blu ed una nera nella urna U1" , alla probabilità della urna U2, la quale "non ha possibilità di avere una blu ed una nera"
La tua P(A) esprime quindi la probabilità che esca "una blu ed una nera", ma di fatto coincide per il caso della sola urna U1
La probabilità di avere una pallina nera al primo colpo moltiplicato(4/18) per la probabilità di avere una blu al secondo colpo -se la prima non era blu- (6/17) più la probabilità di avere una blu al primo colpo (6/18) moltiplicato la probabilità di avere la nera al secondo (supposto che non sia uscita alla prima)- (4/17).
Tale somma da 48/306.
Lo so che dovrei scrivere in formule, ma non sono pratico e mi ci vuole un sacco di tempo... dopo lo faccio se non è chiaro
Retro il mio ragionamento è questo:
si calcola la probabilità di avere una blu ed una nera sulla urna U1 e di conseguenza il suo complementare: questo si moltiplica per la probabilità dell'urna U1.
sommo questo valore, che è la probabilità di "non avere una blu ed una nera nella urna U1" , alla probabilità della urna U2, la quale "non ha possibilità di avere una blu ed una nera"
La tua P(A) esprime quindi la probabilità che esca "una blu ed una nera", ma di fatto coincide per il caso della sola urna U1
"retrocomputer":
Io ho fatto così: chiamo $A$ l'evento "vengono estratti una pallina nera e una blu" e $U_i$ l'evento "estraggo due palline dalla $i$-esima urna" e procedo con la nota formula
$P(A)=P(A|U_1)P(U_1)+P(A|U_2)P(U_2)=24/153\times 0.75+0\times 0.25=...$
con questa formula quindi calcoliamo la p di "vengono estratti una pallina nera e una blu", quindi per sapere la probabilità di "NON vengono estratti una pallina nera e una blu" devo fare solo:
$P(\overline{A})=1-P(A)=1-0.118=0.882$
e quindi ho l'88% di probabilità di non estrarre 1 nera e una blu....
Non capisco Tony perchè aggiungi uno 0.25 della prob di scegliere l'urna 2, sapendo che se scegli l'urna 2 $P(A|U_2)=0$
Penso che questi conti si possano fare in diversi modi. A me vengono in mente
$2\times 4/18\times 6/17$
e il decisamente cervellotico
${((10),(2))-((4),(2))-((6),(2))}/{((18),(2))}$
Altri modi?
$2\times 4/18\times 6/17$
e il decisamente cervellotico
${((10),(2))-((4),(2))-((6),(2))}/{((18),(2))}$
Altri modi?
"davymartu":
Non capisco Tony perchè aggiungi uno 0.25 della prob di scegliere l'urna 2, sapendo che se scegli l'urna 2 $P(A|U_2)=0$
Lui calcola direttamente $P(B)$ e quindi lo $0.25$ deve essere moltiplicato per $1-P(A|U_2)=1$
"davymartu":
[quote="retrocomputer"]Io ho fatto così: chiamo $A$ l'evento "vengono estratti una pallina nera e una blu" e $U_i$ l'evento "estraggo due palline dalla $i$-esima urna" e procedo con la nota formula
$P(A)=P(A|U_1)P(U_1)+P(A|U_2)P(U_2)=24/153\times 0.75+0\times 0.25=...$
con questa formula quindi calcoliamo la p di "vengono estratti una pallina nera e una blu", quindi per sapere la probabilità di "NON vengono estratti una pallina nera e una blu" devo fare solo:
$P(\overline{A})=1-P(A)=1-0.118=0.882$
e quindi ho l'88% di probabilità di non estrarre 1 nera e una blu....
Non capisco Tony perchè aggiungi uno 0.25 della prob di scegliere l'urna 2, sapendo che se scegli l'urna 2 $P(A|U_2)=0$[/quote]
Perchè tu sei partito dal complementare della reale domanda, quindi hai calcolato la probabilità di una sola urna.
L'errore è nel secondo termine di P(A), che è "0*.25", ma non deve essere calcolato, ovvero non escude il valore opposto e quindi va calcolato
no lo 0.25 è una parte del valore di P(B)
P(B)=0.75*(129/153)+0.25*1= 0.88 se non ho sbagliato
P(B)=0.75*(129/153)+0.25*1= 0.88 se non ho sbagliato
Si partivo dal complementare perchè seguivo il ragionamento di retrocomputer...
Cmq stiamo dicendo la stessa cosa:
$P(\overline{A})=P(\overline{A}|U_1)*P(U_1)+ P(\overline{A}|U_2)*P(U_2)=(1-P(A|U_1))*P(U_1)+(1-P(A|U_2))*P(U_2)= 0.8823$
dove $(1-P(A|U_2))=1$
Volevo ringraziarvi per la pazienza e la tempestività con cui mi avete fornito le risposte ai miei dubbi!
A buon rendere retrocomputer e tony!
Cmq stiamo dicendo la stessa cosa:
$P(\overline{A})=P(\overline{A}|U_1)*P(U_1)+ P(\overline{A}|U_2)*P(U_2)=(1-P(A|U_1))*P(U_1)+(1-P(A|U_2))*P(U_2)= 0.8823$
dove $(1-P(A|U_2))=1$
Volevo ringraziarvi per la pazienza e la tempestività con cui mi avete fornito le risposte ai miei dubbi!
A buon rendere retrocomputer e tony!
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