Dubbi su Probabilità Condizionata

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21 nov 2011, 16:30

Ciao a tutti, stavo per risolvere questo esercizio quando mi sono accorto di avere dei grossi dubbi insiemistici:

Si considerino due urne U1 e U2, dai seguenti contenuti:
U1: 8 palline bianche 4 palline nere 6 palline blu
U2: 3 palline bianche 3 palline gialle 1 pallina blu
L’urna U1 viene scelta con probabilità pari a 0.75 come urna dalla quale effettuare l’estrazione.
L’estrazione consiste nel selezionare un’urna, in base alla probabilità specificata in precedenza, ed estrarre due palline, in essa contenute, in sequenza e senza reimmissione.

a) Quale è la probabilità che i due oggetti selezionati non siano 1 pallina nera ed 1 pallina blu?

Ecco i dati che deduco dal testo:
$P(U1)=0.75$
$P(U2)=0.25$

$P(N|U1)=4/18=0.222$
$P(N|U2)=0$

$P(B|U1)=6/18=0.333$
$P(B|U2)=1/7=0.1429$

Dove N sta per l'evento "scelta pallina Nera" e B ="scelta pallina blu"
Devo trovare innanzitutto:
$P(N)=P(N|U1)*P(U1) + P(N|U2) *P(U2)=0.1667$
$P(B)=P(B|U1)*P(U1) + P(B|U2)*P(U2)=0.4762$
il quesito richiede la probabilità senza remmissione di avere estratto 1 pallina non nera e una pallina non blu
Insiemisticamente questo vale a dire:
$P(\overline{N} \cap \overline{B}) = P(\overline{N})+P(\overline{B}) - P(\overline{N}\cup\overline{B})$
Allorchè devo ricavare
$P(\overline{N})=1- P(N)=0.833$
$P(\overline{B})=1- P(B)=0.524$
Mentre ho difficoltà a capire come ricavare $P(\overline{N}\cup\overline{B})$
Applicando DeMorgan : $P(\overline{N}\cup\overline{B})= P(\overline{N\capB})$
Ma come calcolo $N\capB$? Da quello che deduco, i due eventi non sono indipendenti o mi sbaglio?
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