Dubbi su probabilità
Ho dubbi sui seguenti esercizi:
1) Si consideri un'urna con 40 palline bianche e 60 palline rosse. Si estraggono due palline senza reimmissione. Determinare la probabilità che la seconda pallina sia rossa.
Io ho ragionato nel seguente modo: se la prima pallina estratta è rossa, la probabilità della seconda pallina di essere estratta ed essere rossa è 59/99
Se la prima pallina ad essere estratta è bianca la probabilità della seconda di essere rossa è 60/99
Non capisco perchè il libro fa:
$ 60/100 \cdot 59/99 + 40/100 \cdot 60/99 $
Mi manca il procedimento logico. Scusate ma non bastava quello che ho scritto io? Da cosa viene fuori questo calcolo?
2) Un'urna contiene 1.000 biglietti, di cui 5 sono vincenti. Calcolare la probabilità che estraendo 2 biglietti se ne ottenga almeno uno vincente.
Ho applicato la formula della probabilità complementare per cui:
1 - 995/1000
Anche qui non va bene ma il libro fornisce come soluzione:
$ 1 - 995/1000\cdot 994/999 $
Anche qua non riesco a capire il perchè. Facendo 1 - la probabilità che non escano biglietti vincenti non ho già ottenuto la probabilità di ottenerne almeno uno vincente?
Ed infine:
3) Paradosso delle tre porte. Si hanno tre porte chiuse e dietro una di esse si trova un tesoro. Il primo giocatore indica una delle tre porte. Supponiamo, per esempio, indichi la prima. Tenendo chiusa questa porta, un secondo giocatore, che sa dove si trova il tesoro, apre la seconda porta nella quale non è nascosto il tesoro. A questo punto il primo giocatore dovrà decidere se rimanere sulla prima porta oppure spostarsi sulla terza. Una volta fatta la scelta la porta si aprirà e il giocatore potrà vedere se ha vinto o meno il tesoro. Valutare la probabilità di vincere se il giocatore rimane fermo sulla prima porta e quella di vincere se si sposta sulla terza.
Diciamo che qui sono andata in TILT
Ho ragionato sul fatto che inizialmente i tre eventi sono equiprobabili, quindi il primo giocatore ha opportunità di vincere 1/3 per ogni porta. Con l'intervento del secondo giocatore che apre la seconda porta, l'evento APRO PORTA 2 / TROVO IL TESORO è diventato impossibile, quindi rimango con due eventi. Le probabilità non dovrebbero essere le stesse? Cioè ora il giocatore 1, non dovrebbe avere il 50% di vincita, sia che scelga la porta 1 sia che scelga la porta 2? Perchè no? Ho il vago presentimento che tocchi usare il buon vecchio Bayes
1) Si consideri un'urna con 40 palline bianche e 60 palline rosse. Si estraggono due palline senza reimmissione. Determinare la probabilità che la seconda pallina sia rossa.
Io ho ragionato nel seguente modo: se la prima pallina estratta è rossa, la probabilità della seconda pallina di essere estratta ed essere rossa è 59/99
Se la prima pallina ad essere estratta è bianca la probabilità della seconda di essere rossa è 60/99
Non capisco perchè il libro fa:
$ 60/100 \cdot 59/99 + 40/100 \cdot 60/99 $
Mi manca il procedimento logico. Scusate ma non bastava quello che ho scritto io? Da cosa viene fuori questo calcolo?
2) Un'urna contiene 1.000 biglietti, di cui 5 sono vincenti. Calcolare la probabilità che estraendo 2 biglietti se ne ottenga almeno uno vincente.
Ho applicato la formula della probabilità complementare per cui:
1 - 995/1000
Anche qui non va bene ma il libro fornisce come soluzione:
$ 1 - 995/1000\cdot 994/999 $
Anche qua non riesco a capire il perchè. Facendo 1 - la probabilità che non escano biglietti vincenti non ho già ottenuto la probabilità di ottenerne almeno uno vincente?
Ed infine:
3) Paradosso delle tre porte. Si hanno tre porte chiuse e dietro una di esse si trova un tesoro. Il primo giocatore indica una delle tre porte. Supponiamo, per esempio, indichi la prima. Tenendo chiusa questa porta, un secondo giocatore, che sa dove si trova il tesoro, apre la seconda porta nella quale non è nascosto il tesoro. A questo punto il primo giocatore dovrà decidere se rimanere sulla prima porta oppure spostarsi sulla terza. Una volta fatta la scelta la porta si aprirà e il giocatore potrà vedere se ha vinto o meno il tesoro. Valutare la probabilità di vincere se il giocatore rimane fermo sulla prima porta e quella di vincere se si sposta sulla terza.
Diciamo che qui sono andata in TILT
Ho ragionato sul fatto che inizialmente i tre eventi sono equiprobabili, quindi il primo giocatore ha opportunità di vincere 1/3 per ogni porta. Con l'intervento del secondo giocatore che apre la seconda porta, l'evento APRO PORTA 2 / TROVO IL TESORO è diventato impossibile, quindi rimango con due eventi. Le probabilità non dovrebbero essere le stesse? Cioè ora il giocatore 1, non dovrebbe avere il 50% di vincita, sia che scelga la porta 1 sia che scelga la porta 2? Perchè no? Ho il vago presentimento che tocchi usare il buon vecchio Bayes
Risposte
Per il punto 1) devi usare la formula delle probabilitá totali di Bayes. La probabilitá che la seconda pallina estratta sia rossa é
$$
P(R_2) = P(R_2 | B_1)P(B_1) + P(R_2 | R_1)P(R_1)
$$
ovvero, a parole, le due probabilitá che hai calcolato tu vanno "pesate" per le probabilitá del rispettivo evento con cui condizioni (l'esito della prima estrazione, che assumi per noto in entrambi i casi)
$$
P(R_2) = P(R_2 | B_1)P(B_1) + P(R_2 | R_1)P(R_1)
$$
ovvero, a parole, le due probabilitá che hai calcolato tu vanno "pesate" per le probabilitá del rispettivo evento con cui condizioni (l'esito della prima estrazione, che assumi per noto in entrambi i casi)
Per il punto 2) bisogna prima calcolare la probabilitá dell'evento complementare, ovvero
$$
P(\mbox{non vincere in 2 estrazioni}) = P(\mbox{non vincere nella 1a}) P(\mbox{non vincere nella 2a} | \mbox{non ho vinto alla 1a}) = \frac{995}{1000} \frac{994}{999}
$$
Bisogna ricorrere alla probabilitá condizionata perché i due eventi NON sono indipendenti (l'esito della prima pescata mi influenza la probabilitá alla seconda estrazione), quindi non vale la regola che la probabilitá dell'intersezione di due eventi é il prodotto delle probabilitá (cosa che invece accade nel caso di estrazioni CON reimmissione).
$$
P(\mbox{non vincere in 2 estrazioni}) = P(\mbox{non vincere nella 1a}) P(\mbox{non vincere nella 2a} | \mbox{non ho vinto alla 1a}) = \frac{995}{1000} \frac{994}{999}
$$
Bisogna ricorrere alla probabilitá condizionata perché i due eventi NON sono indipendenti (l'esito della prima pescata mi influenza la probabilitá alla seconda estrazione), quindi non vale la regola che la probabilitá dell'intersezione di due eventi é il prodotto delle probabilitá (cosa che invece accade nel caso di estrazioni CON reimmissione).
Per il punto 3) ti rimando qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall
in particolare al punto 2.2 c'é la spiegazione probabilistica
https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall
in particolare al punto 2.2 c'é la spiegazione probabilistica
Per il primo punto, non ho capito perchè ci si continua a complicare la vita.
La probabilità che la 2° pallina sia rossa è semplicemente $60/100$. E non c'è assolutamente bisogno di scrivere altro.
Se vi avessero chiesto: "qual è la probabilità che l'ottantunesima pallina estratta sia rossa?", cosa facevate?
Una formula lunga svariate pagine?
Credo vi rendiate conto che non ha senso fare così.......
La probabilità che la prima, seconda,...., quinta,...., ventesima,.....,ottantunesima,...,centesima pallina estratta sia rossa, è sempre $60/100$. E mi pare anche ovvio.....
La probabilità che la 2° pallina sia rossa è semplicemente $60/100$. E non c'è assolutamente bisogno di scrivere altro.
Se vi avessero chiesto: "qual è la probabilità che l'ottantunesima pallina estratta sia rossa?", cosa facevate?
Una formula lunga svariate pagine?
Credo vi rendiate conto che non ha senso fare così.......
La probabilità che la prima, seconda,...., quinta,...., ventesima,.....,ottantunesima,...,centesima pallina estratta sia rossa, è sempre $60/100$. E mi pare anche ovvio.....
Eh no, quello vale solo per estrazioni con reimmissione. In questo caso la probabilitá cambia a ogni estrazione!
É vero, scusatemi tanto ero accecato dalla formula di Bayes, che uso come soluzione a ogni problema
La probabilitá cambia sí a ogni estrazione, ma la probabilitá a priori (se vogliamo ragionare in termini bayesiani) é sempre la stessa!
La probabilitá cambia sí a ogni estrazione, ma la probabilitá a priori (se vogliamo ragionare in termini bayesiani) é sempre la stessa!
Scusate ma mi avete un po' confusa. Non potete dire a priori che la probabilità che la seconda pallina sia rossa è 60/100, se non sapete l'estrazione della prima...
Terzo punto.
Prova a pensare che subito dopo che tu hai scelto una porta, ti venga offerta la possibilità di fare cambio.
Ovvero: o tieni la tua, o ti prendi le altre due.
E' lapalissiano che "two is meglio che one"......
Facendo i gioco secondo le regole normali, la probabilità non cambia.
Perchè loro sanno dov'è il premio, e ti apriranno sempre una porta vuota....
Prova a pensare che subito dopo che tu hai scelto una porta, ti venga offerta la possibilità di fare cambio.
Ovvero: o tieni la tua, o ti prendi le altre due.
E' lapalissiano che "two is meglio che one"......
Facendo i gioco secondo le regole normali, la probabilità non cambia.
Perchè loro sanno dov'è il premio, e ti apriranno sempre una porta vuota....
Proprio perchè non so qual era la prima pallina estratta, posso dire che la seconda al 60% sarà rossa.
Se avessi saputo com'era la prima, il risultato sarebbe stato $60/99$ oppure $59/99$.
Se avessi saputo com'era la prima, il risultato sarebbe stato $60/99$ oppure $59/99$.
"superpippone":
Terzo punto.
Prova a pensare che subito dopo che tu hai scelto una porta, ti venga offerta la possibilità di fare cambio.
Ovvero: o tieni la tua, o ti prendi le altre due.
E' lapalissiano che "two is meglio che one"......
Facendo i gioco secondo le regole normali, la probabilità non cambia.
Perchè loro sanno dov'è il premio, e ti apriranno sempre una porta vuota....
In poche parole il ragionamento che devo fare è:
Scelgo una porta, il conduttore ne sceglie un'altra, la apre è vuota, ora sono nella situazione
Scelgo la porta A (è VUOTA)/ il conduttore apre la porta B vuota / se cambio vinco
Scelgo la porta A (TESORO) / il conduttore apre la porta B vuota / se cambio perdo
Non ho un 50% di probabilità di successo?
Evidentemente non riesco a spiegarmi bene.
Ci sono 3 porte: A,B,C.
In una sola c'è il premio.
Tu scegli una porta: hai probabilità $1/3$ di vincere, e probabilità $2/3$ di perdere.
Ci siamo?
Ci sono 3 porte: A,B,C.
In una sola c'è il premio.
Tu scegli una porta: hai probabilità $1/3$ di vincere, e probabilità $2/3$ di perdere.
Ci siamo?
Si. Ma dal momento che lui ne apre una ed è vuota, la probabilità di perdere diminuisce giusto?
No.
La probabilità di perdere rimane sempre 2/3.
Lui ti apre non una porta a caso, ma una porta che sa che è vuota.
E' qui che sta tutto il succo del paradosso.
Si potrebbe dire che l'ultima (non la tua) porta "eredita" la probabilità da quella aperta.
La probabilità di perdere rimane sempre 2/3.
Lui ti apre non una porta a caso, ma una porta che sa che è vuota.
E' qui che sta tutto il succo del paradosso.
Si potrebbe dire che l'ultima (non la tua) porta "eredita" la probabilità da quella aperta.
Scusami ma mi manca la parte logica, forse non ci arrivo io però vorrei capire...
Se io ho 3 porte, una viene aperta sapendo già che è vuota , come faccio a dire che la probabilità dell'altra porta è più alta di quella che ho scelto io, non sapendo cosa ci sia dentro?
Se io ho 3 porte, una viene aperta sapendo già che è vuota , come faccio a dire che la probabilità dell'altra porta è più alta di quella che ho scelto io, non sapendo cosa ci sia dentro?
Ci siamo che il conduttore apre la porta 2, perchè già sa a priori che è vuota..
Ehhhh, la teoria non è il mio forte.....
Non ci sono tre giocatori, ognuno dei quali sceglie una porta.
Nel qual caso viene aperta la porta di uno.
E' vuota.
Viene eliminato.
Gli altri 2, hanno il 50% ciascuno di vincere.
Qua ci sono 2 giocatori: tu con una porta 1/3, ed il conduttore con due porte 2/3.
Tu sai già che sicuramente una porta dell'altro è vuota.
Quando te la apre, ovvio è vuota.
Per cui la tua probabilità non cambia.
La TUA porta, ha sempre probabilità 1/3.
Non ci sono tre giocatori, ognuno dei quali sceglie una porta.
Nel qual caso viene aperta la porta di uno.
E' vuota.
Viene eliminato.
Gli altri 2, hanno il 50% ciascuno di vincere.
Qua ci sono 2 giocatori: tu con una porta 1/3, ed il conduttore con due porte 2/3.
Tu sai già che sicuramente una porta dell'altro è vuota.
Quando te la apre, ovvio è vuota.
Per cui la tua probabilità non cambia.
La TUA porta, ha sempre probabilità 1/3.
In sintesi mi stai dicendo che il paradosso sta nel fatto che, la probabilità che nella porta del conduttore ci sia il tesoro è maggiore in quanto lui sa, dove realmente si trovi il tesoro?
Esatto.
Lui ha due porte. Tu una. La sua probabilità di vincita (visto che lui "sa") è sempre doppia della tua.
Volendo potresti fare una prova pratica.
Tu ed un tuo amico.
Prendete una mazzo di carte da poker, da 52 carte.
Vince chi ha l'asso di cuori.
Tu scegli una carta a caso, senza guardarla.
Le altre 51 vanno a lui.
Che le guarda.
Lui ne gira ad una, ad una 50.
Ovviamente nessuna è l'asso di cuori.
Non penserai mica, che visto che siete rimasti con una carta ciascuno, di vincere nel 50% dei casi????
Lui ha due porte. Tu una. La sua probabilità di vincita (visto che lui "sa") è sempre doppia della tua.
Volendo potresti fare una prova pratica.
Tu ed un tuo amico.
Prendete una mazzo di carte da poker, da 52 carte.
Vince chi ha l'asso di cuori.
Tu scegli una carta a caso, senza guardarla.
Le altre 51 vanno a lui.
Che le guarda.
Lui ne gira ad una, ad una 50.
Ovviamente nessuna è l'asso di cuori.
Non penserai mica, che visto che siete rimasti con una carta ciascuno, di vincere nel 50% dei casi????
Bell'esempio! Sei sprecato ... 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo