Domanda teorica su probabilità condizionata
Salve a tutti!
Stavo effettuando un ripasso sulle nozioni basilari di probabilità e rivedendo la nozione di probabilità condizionata mi sono chiesto: se l'evento $A|B$ indica l'avvenimento dell'evento $A$ DOPO l'avvenimento dell'evento $B$ e se l'evento $B|A$ indica l'avvenimento dell'evento $B$ DOPO l'avvenimento dell'evento $A$ allora dovrebbe essere che $AnnB$ rappresenti l'evento che accada $A|B$ oppure $B|A$. Sebbene il ragionamento sia sensato "a parole" non riesco a trovare una giustificazione matematica; sono solo riuscito ad arrivare a questa contraddizione:
$P(A|B) \stackrel{?}{=} P([B|A]uu[A|B]) = P(B|A) + P(A|B) - P([B|A]nn[A|B]) = P(B|A) + P(A|B) - P(B|A|A|B)*P(A|B) = P(B|A) = \text{NO}$
dove $P([B|A]nn[A|B]) = P(B|A|A|B)*P(A|B)$ per il teorema della probabilità composta mentre $P(B|A|A|B) = 1$ perché rappresenta la probabilità dell'evento $B$ dato che si sa per certo che si siano verificati, nell'ordine, gli eventi $A$, $A$ e $B$ (che ovviamente dev'essere 1).
Dov'è che sbaglio?
Grazie in anticipo.
Stavo effettuando un ripasso sulle nozioni basilari di probabilità e rivedendo la nozione di probabilità condizionata mi sono chiesto: se l'evento $A|B$ indica l'avvenimento dell'evento $A$ DOPO l'avvenimento dell'evento $B$ e se l'evento $B|A$ indica l'avvenimento dell'evento $B$ DOPO l'avvenimento dell'evento $A$ allora dovrebbe essere che $AnnB$ rappresenti l'evento che accada $A|B$ oppure $B|A$. Sebbene il ragionamento sia sensato "a parole" non riesco a trovare una giustificazione matematica; sono solo riuscito ad arrivare a questa contraddizione:
$P(A|B) \stackrel{?}{=} P([B|A]uu[A|B]) = P(B|A) + P(A|B) - P([B|A]nn[A|B]) = P(B|A) + P(A|B) - P(B|A|A|B)*P(A|B) = P(B|A) = \text{NO}$
dove $P([B|A]nn[A|B]) = P(B|A|A|B)*P(A|B)$ per il teorema della probabilità composta mentre $P(B|A|A|B) = 1$ perché rappresenta la probabilità dell'evento $B$ dato che si sa per certo che si siano verificati, nell'ordine, gli eventi $A$, $A$ e $B$ (che ovviamente dev'essere 1).
Dov'è che sbaglio?
Grazie in anticipo.
Risposte
Mi sembra che la dimostrazione che hai fornito sia completa … nel dimostrare la falsità dell’ipotesi
ovvero è una dimostrazione per assurdo che evidenzia la falsità di quel "dovrebbe", quindi devi togliere il primo segno di “uguale”, sul quale avevi giustamente apposto l'interrogativo, è mettere un “diverso”.
La chiave di volta sta proprio in quel che hai praticamente mostrato, cioè
$ P([B|A]nn[A|B]) = P(A|B) $
e quindi chiudiamo il cerchio con
$ P([B|A]uu[A|B]) = P(B|A) $
se ne deduce che l’evento $ A|B $ e contenuto in $ B|A $ ... che mi pare vero.
"plague_spreader":
... allora dovrebbe essere che $ AnnB $ rappresenti l'evento che accada $ A|B $ oppure $ B|A $.
$ P(A|B) \stackrel{?}{=} P([B|A]uu[A|B]) = P(B|A) + P(A|B) - P([B|A]nn[A|B]) = P(B|A) + P(A|B) - P(B|A|A|B)*P(A|B) = P(B|A) = \text{NO} $
ovvero è una dimostrazione per assurdo che evidenzia la falsità di quel "dovrebbe", quindi devi togliere il primo segno di “uguale”, sul quale avevi giustamente apposto l'interrogativo, è mettere un “diverso”.
La chiave di volta sta proprio in quel che hai praticamente mostrato, cioè
$ P([B|A]nn[A|B]) = P(A|B) $
e quindi chiudiamo il cerchio con
$ P([B|A]uu[A|B]) = P(B|A) $
se ne deduce che l’evento $ A|B $ e contenuto in $ B|A $ ... che mi pare vero.
Whoops... ho sbagliato a scrivere la tesi che volevo dimostrare. Io ho scritto:
Però volevo scrivere
$P(AnnB) \stackrel{?}{=} P([B|A]uu[A|B]) = P(B|A) + P(A|B) - P([B|A]nn[A|B]) = P(B|A) + P(A|B) - P(B|A|A|B)*P(A|B) = P(B|A) = \text{NO}$
e devo aggiungere una piccola nota, $A|B$ e $B|A$ non indicano una sequenza "temporale" degli eventi (così come avevo erroneamente scritto io) ma è come se mi ponessi la domanda "È vero che la conoscenza dell'avvenimento di $B$ (o $A$ nel secondo caso) migliora la mia conoscenza su quanto possa accadere all'evento $A$ (o $B$)?". In ogni caso sono riuscito a darmi una risposta alla questione che ho sollevato io (che tra l'altro era davvero banale, ma vabe'
). Sapendo che $P(AnnB) = P(A|B)*P(B) = P(B|A)*P(A)$ possiamo scrivere $P(AnnB) = 1/2 P(B|A)*P(A) + 1/2 P(A|B)*P(B)$ che altro non è che la media delle due possibilità, o $B$ dipende da $A$ o $A$ dipende da $B$; non può accadere altro.
Grazie dell'aiuto e del tempo dedicatomi.
"plague_spreader":
$P(A|B) \stackrel{?}{=} P([B|A]uu[A|B]) = P(B|A) + P(A|B) - P([B|A]nn[A|B]) = P(B|A) + P(A|B) - P(B|A|A|B)*P(A|B) = P(B|A) = \text{NO}$
Però volevo scrivere
$P(AnnB) \stackrel{?}{=} P([B|A]uu[A|B]) = P(B|A) + P(A|B) - P([B|A]nn[A|B]) = P(B|A) + P(A|B) - P(B|A|A|B)*P(A|B) = P(B|A) = \text{NO}$
e devo aggiungere una piccola nota, $A|B$ e $B|A$ non indicano una sequenza "temporale" degli eventi (così come avevo erroneamente scritto io) ma è come se mi ponessi la domanda "È vero che la conoscenza dell'avvenimento di $B$ (o $A$ nel secondo caso) migliora la mia conoscenza su quanto possa accadere all'evento $A$ (o $B$)?". In ogni caso sono riuscito a darmi una risposta alla questione che ho sollevato io (che tra l'altro era davvero banale, ma vabe'
). Sapendo che $P(AnnB) = P(A|B)*P(B) = P(B|A)*P(A)$ possiamo scrivere $P(AnnB) = 1/2 P(B|A)*P(A) + 1/2 P(A|B)*P(B)$ che altro non è che la media delle due possibilità, o $B$ dipende da $A$ o $A$ dipende da $B$; non può accadere altro.Grazie dell'aiuto e del tempo dedicatomi.
"plague_spreader":
Grazie dell'aiuto e del tempo dedicatomi.
E' un esercizio interessante quindi è un piacere
"plague_spreader":
Whoops... ho sbagliato a scrivere la tesi che volevo dimostrare.
... volevo scrivere
$ P(AnnB) \stackrel{?}{=} P([B|A]uu[A|B]) = P(B|A) + P(A|B) - P([B|A]nn[A|B]) = P(B|A) + P(A|B) - P(B|A|A|B)*P(A|B) = P(B|A) = \text{NO} $
Anche io in certo senso ho avuto la stessa svista
Tuttavia nella sostanza non cambia nulla, la risposta che ho dato sopra resta identica, ed anche nel caso sopra l'uguaglianza sotto analisi è falsa.
"plague_spreader":
...In ogni caso sono riuscito a darmi una risposta alla questione che ho sollevato io (che tra l'altro era davvero banale, ma vabe'
Quello di cui parli qui è diverso ed anche molto più semplice perché non vi entra il doppio condizionamento.
In ogni caso fai attenzione, la "media" che scrivi è matematicamente corretta ma ho paura che sia frutto di un malinteso. Bada che potresti anche scrivere $ P(AnnB) = 1/N P(B|A)*P(A) + (N-1)/N P(A|B)*P(B) =P(BnnA) $
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