Domanda su esercizio calcolo combinatorio - sequenze binarie

[bandido]

ciao a tutti

sto facendo un esercizio che riguarda l'insieme S di tutte le sequenze binarie (0,1) di lunghezza 20
1) Quante sono le sequenze contenute iin S? $2^20$=1048576
2) quante sequenze di S contengono esattamente due zeri? $(20!)/(2!18!)$=190
3) quante sequenze di S contengono esattamente due zeri e questi due zeri non sono consecutivi? 190-19=171
4) quante sequenze di S contengono esattamente tre zeri? $(20!)/(3!17!)$ e non hanno coppie di zeri consecutivi??? BOOO...

mi date una mano per favore??

[cenzo1]

"bandido":4) quante sequenze di S contengono esattamente due zeri? $20!/(3!17!)$ e non hanno coppie di zeri consecutivi???

Intendevi scrivere "tre", giusto?

In quali domande incontri difficoltà? Solo sull'ultima o anche le prime tre?

[bandido]

si scusa intendevo dire tre
si solo sull'individuare le coppie di zeri consecutivi...
il resto dovrebbe essere giusto vero?

[cenzo1]

"bandido":si solo sull'individuare le coppie di zeri consecutivi...
il resto dovrebbe essere giusto vero?

Le prime tre mi sembrano giuste.

Per la quarta mi sembra di avere visto un problema simile qui:
antenne-t64433.html

E' come se avessi 20 antenne di cui 3 guaste e una configurazione è funzionante se non ha due antenne consecutive guaste.
Si vuole sapere il numero di configurazioni funzionanti.
Dovrebbe essere $((20-3+1),(3))=((18),(3))$

In pratica il "trucco" sta nel considerare la sequenza "01" come un unico elemento che può ripetersi più volte.

Edit
Visto che dimentico sempre il ragionamento che porta alla formula, me la appunto qui come futuro promemoria.
Le antenne funzionanti sono 20-3=17.
Queste 17 antenne fungono da "separatore" tra cui inserire al più una sola antenna guasta.
Le 17 antenne funzionanti | perciò definiscono 17+1=18 "spazi" (estremi inclusi) occupabili dalle 3 antenne guaste *:
esempio: *|||||*|||||||||||*| (spazi occupati: 1°,6°,17°)
Quindi le possibili configurazioni funzionanti sono i modi di inserire in questi 18 spazi 3 antenne guaste,
ovvero \( \displaystyle {18 \choose 3} \).

[bandido]

vero...... c'era un esempio simile! graziee!!

[Umby2]

"bandido":
4) .... e non hanno coppie di zeri consecutivi??? BOOO...

Ovviamente cosi' facendo avete scartato sia le coppie, ma anche le terzine di zeri consecutivi,
lo so che una terzina è di per se' anche una coppia, pero'....

[cenzo1]

"Umby":Ovviamente cosi' facendo avete scartato sia le coppie, ma anche le terzine di zeri consecutivi,
lo so che una terzina è di per se' anche una coppia, pero'....

Nell'ipotesi di scartare anche le terzine, per ottenere le sequenze richieste ho ragionato in questo modo:

Caso a. Costruisco una sequenza componendo tre sequenze "10" e 20-6=14 "1"
esempio: 10101011111111111111
Le sequenze possibili sono le combinazioni di 17 elementi (14 "1" più le 3 coppie) presi 3 alla volta (scelgo 3 posti per le 3 coppie "10"): $((17),(3))$

Noto che in questo modo tutte le sequenze inizieranno per "1". Devo quindi prevedere anche il caso:

Caso b. Fisso uno "0" iniziale per ogni sequenza. Restano quindi da assegnare due sequenze "10" e 20-1-4=15 "1"
esempio: 01010111111111111111
Le sequenze possibili sono le combinazioni di 17 elementi (15 "1" più le 2 coppie) presi 2 alla volta (scelgo 2 posti per le 2 coppie "10"): $((17),(2))$

Sommando i due casi ottengo il computo totale dei casi favorevoli: $((17),(3))+((17),(2))=((18),(3))$

C'è un modo più semplice per arrivare allo stesso risultato, magari senza separare i due casi ?

[Umby2]

"cenzo":

C'è un modo più semplice per arrivare allo stesso risultato, magari senza separare i due casi ?

Certo che c'e'..... ma non ti voglio togliere lo sfizio di trovarlo.

... semplicissimo....