Domanda esercizio

[francyesca1]

Ciao a tutti, qualcuno ha qualche idea su come si possa risolvere, a me pare impossibile!

Sia X una variabile assolutamente continua con funzione cumulativa F(x). Si consideri la variabile aleatoria Y=F(X). Sia Xi una successione (i=1...n) di n variabili aleatorie indipendenti identicamente distribuite come X, e le Yi le relative F(Xi) per ogni i. Sia Sn = (somma per i=1..n)[-ln(Yi)]. Determinare il valore di n per cui P(Sn<=100)~0.691.
Giustificare la risposta e le ipotesi poste, verificare che la soluzione soddisfi tali ipotesi

sono disperata! Grazie a chiunque ci provi

[Cronovirus]

Tieni conto che se dai "in pasto" alla funzione di ripartizione di una variabile aleatoria la variabile aleatoria stessa questa segue una uniforme in 0, 1. (Ovvero la tua Y segue una uniforme).
Detto questo fare $ -\ln(Y_i) $
equivale a generare una esponenziale di parametro 1 (si può dimostrare applicando il teorema della trasformata inversa). Quando sommi queste variabili aleatorie questa corrisponde ad una gamma di parametro (1,n).
Ora dovrebbe essere semplice da completare

[francyesca1]

Grazie, certo poi da li viene facilmente.
Mi hai convinto su tutto, ma non riesco a capire il primo passaggio. Perché affermi che la funzione cumulativa di una variabile che ha come argomento la variabile stessa è una uniforme?
Grazie ancora!

[Cronovirus]

Si, c'è un teorema apposito:
Sia $X$ variabile aleatoria continua con funzione di ripartizione $F_X$ allora
$$ Y = F_X(X) \sim Unif([0,1])$$
Perchè
$$F_Y(x) = P(Y\le x) = P(F_X(X)\le x) $$
dato che le funzioni di ripartizione sono monotone crescenti e continue da destra
$$ = P(F_X^{-1}(F_X(X))\le F_X^{-1}(x)) = P(X\le F_X^{-1}(x)) = F_X(F_X^{-1}(x)) = x$$

[francyesca1]

Grazie! Esauriente!