Domanda di teoria (Poisson)
Ciao, Io ho studiato che la variabile X di Poisson, vuol dire che il numero di accadimenti nell'unità di tempo dove la $P(X = k) =$ $\e^-mu * \(mu^k/(k!))$
Però in seguito non ho capito delle cose scritte sul quaderno quando parliamo della variabile aleatoria $\Gamma$
dove la densità di probabilità è $f(t) =$ $((\lambda^\alpha) * (t^(\alpha - 1)))/(\Gamma(\alpha))$ $* e^(-\lambda * t)$ per $t > 0$
$ 0 $ per $t < 0$
Si nota che $\alpha\Gamma(\alpha) = \Gamma (\alpha + 1)$, per ogni $\alpha > 0$
In altre parole $\alpha( \alpha - 1)! = \alpha!$, per ogni $\alpha in NN$
Nel caso $\alpha in NN$
$\Gamma(\alpha) = (alpha - 1)!$
$\alpha = n in NN$
allora è il tempo di attesa del n-esimo avvenimento Poissoniano, se $X_t$ = n° avvenimenti in $[o,t]$ è $X_t$ di Poisson $(\lambda * t)$ con $\lambda > 0$
Qualcuno saprebbe spiegarmi in poche righe attraverso parole più semplici che cosa vuol dire tutto quello che ho appena scritto?
Però in seguito non ho capito delle cose scritte sul quaderno quando parliamo della variabile aleatoria $\Gamma$
dove la densità di probabilità è $f(t) =$ $((\lambda^\alpha) * (t^(\alpha - 1)))/(\Gamma(\alpha))$ $* e^(-\lambda * t)$ per $t > 0$
$ 0 $ per $t < 0$
Si nota che $\alpha\Gamma(\alpha) = \Gamma (\alpha + 1)$, per ogni $\alpha > 0$
In altre parole $\alpha( \alpha - 1)! = \alpha!$, per ogni $\alpha in NN$
Nel caso $\alpha in NN$
$\Gamma(\alpha) = (alpha - 1)!$
$\alpha = n in NN$
allora è il tempo di attesa del n-esimo avvenimento Poissoniano, se $X_t$ = n° avvenimenti in $[o,t]$ è $X_t$ di Poisson $(\lambda * t)$ con $\lambda > 0$
Qualcuno saprebbe spiegarmi in poche righe attraverso parole più semplici che cosa vuol dire tutto quello che ho appena scritto?
Risposte
L'argomento è molto importante per il prosieguo del programma. Se vuoi la spiegazione in una riga è questa:
"I tempi di interarrivo di un processo poissoniano si distribuiscono esponenzialmente"
Se invece vuoi una risposta più articolata e che ti permetta anche di risolvere esercizi sull'argomento...stay tuned
Sappiamo che un arrivo è un evento aleatorio. E’ noto che, in generale, il tempo di attesa di un
arrivo aleatorio si distribuisce come una variabile casuale esponenziale negativa (vedi tempo di
vita, durata, tempo di funzionamento, tempo di attesa del guasto ecc ecc).
Ebbene si può dimostrare che vale il seguente:
Teorema
Se il numero di arrivi in un intervallo di tempo t è una v.c. di Poisson di parametro
$thetat$ , allora il tempo T tra due arrivi consecutivi è una v.c. esponenziale negativa di
valor medio $1/theta$ ovvero $f(t)=thetae^(-thetat)$
Dimostrazione
Siano :
$X$ : v.c. numero di arrivi nell’intervallo di ampiezza t
$T$ : v.c. tempo che intercorre tra due arrivi consecutivi (detto anche tempo di interarrivo).
Per ipotesi$X$ descrive un processo di Poisson e quindi risulta $P_(thetat)(X=x)= (e^(-thetat) (thetat)^x)/(x!)$ di media $E(X)= thetat$.
Calcoliamo ora la funzione di ripartizione della variabile casuale T:
$F(t) = P(T<=t)= 1 – P(T>t)$
ove $P(T>t)$ significa calcolare la probabilità che in un intervallo di ampiezza t non vi è alcun
arrivo, dato che il tempo T di interarrivo supera t.
Risulta quindi:
$P(T>t) = P_(thetat)( X=0)= e^(-thetat)$ e di conseguenza
$F(t) = P(T<=t)= 1 – P(T>t)= 1- e^(thetat)$
derivando otteniamo infine
$f(t)=theta e^(-thetat)$
che è proprio la densità di una variabile esponenziale negativa di media $E[T]=1/theta$
Ora, è abbastanza evidente (e dovrebbe anche esserti noto) che la densità appena calcolata è un caso particolare della distribuzione Gamma[nota]al denominatore della densità Gamma trovi la funzione Gamma di Eulero[/nota]; in particolare $Exp(theta)=G a m m a (1;theta)$
Infatti possiamo scriverla anche così:
$f(t)=theta e^(-thetat)=theta^(1)/(Gamma(1))t^(1-1)e^(-thetat)=G a m m a (1;theta)$
ma dato che gli interarrivi sono indipendenti, oltre che identicamente distribuiti in modo esponenziale, allora è facile calcolare come si distribuisce la somma di n interarrivi poissoniani ( ovvero il tempo di attesa dell'n-esimo arrivo poissoniano): come una $G a m m a (n,theta)=theta^n/(Gamma(n))x^(n-1)e^(-thetax)$.
Ciò si dimostra immediatamente utilizzando la funzione generatrice dei momenti e le sue proprietà:
$M_(Sigmax)(t)=[M_(X)(t)]^n=(theta/(theta-t))^n$
Fin qui è dove è arrivato il prof....ma occorre andare anche un po' oltre....
Nella distribuzione $T~G a m m a (n;theta)$ riconosciamo subito un modello di Scala e quindi può essere standardizzata in questo modo:
$Y=2thetaT=G a m m a (n;1/2)=chi_((2n))^2$
...e così puoi anche utilizzare le tavole per fare i conti, senza dover risolvere l'integrale della densità Gamma
spero che ora sia chiaro
Ecco anche un esercizio così puoi autovalutare la comprensione dell'argomento
"I tempi di interarrivo di un processo poissoniano si distribuiscono esponenzialmente"
Se invece vuoi una risposta più articolata e che ti permetta anche di risolvere esercizi sull'argomento...stay tuned
Sappiamo che un arrivo è un evento aleatorio. E’ noto che, in generale, il tempo di attesa di un
arrivo aleatorio si distribuisce come una variabile casuale esponenziale negativa (vedi tempo di
vita, durata, tempo di funzionamento, tempo di attesa del guasto ecc ecc).
Ebbene si può dimostrare che vale il seguente:
Teorema
Se il numero di arrivi in un intervallo di tempo t è una v.c. di Poisson di parametro
$thetat$ , allora il tempo T tra due arrivi consecutivi è una v.c. esponenziale negativa di
valor medio $1/theta$ ovvero $f(t)=thetae^(-thetat)$
Dimostrazione
Siano :
$X$ : v.c. numero di arrivi nell’intervallo di ampiezza t
$T$ : v.c. tempo che intercorre tra due arrivi consecutivi (detto anche tempo di interarrivo).
Per ipotesi$X$ descrive un processo di Poisson e quindi risulta $P_(thetat)(X=x)= (e^(-thetat) (thetat)^x)/(x!)$ di media $E(X)= thetat$.
Calcoliamo ora la funzione di ripartizione della variabile casuale T:
$F(t) = P(T<=t)= 1 – P(T>t)$
ove $P(T>t)$ significa calcolare la probabilità che in un intervallo di ampiezza t non vi è alcun
arrivo, dato che il tempo T di interarrivo supera t.
Risulta quindi:
$P(T>t) = P_(thetat)( X=0)= e^(-thetat)$ e di conseguenza
$F(t) = P(T<=t)= 1 – P(T>t)= 1- e^(thetat)$
derivando otteniamo infine
$f(t)=theta e^(-thetat)$
che è proprio la densità di una variabile esponenziale negativa di media $E[T]=1/theta$
Ora, è abbastanza evidente (e dovrebbe anche esserti noto) che la densità appena calcolata è un caso particolare della distribuzione Gamma[nota]al denominatore della densità Gamma trovi la funzione Gamma di Eulero[/nota]; in particolare $Exp(theta)=G a m m a (1;theta)$
Infatti possiamo scriverla anche così:
$f(t)=theta e^(-thetat)=theta^(1)/(Gamma(1))t^(1-1)e^(-thetat)=G a m m a (1;theta)$
ma dato che gli interarrivi sono indipendenti, oltre che identicamente distribuiti in modo esponenziale, allora è facile calcolare come si distribuisce la somma di n interarrivi poissoniani ( ovvero il tempo di attesa dell'n-esimo arrivo poissoniano): come una $G a m m a (n,theta)=theta^n/(Gamma(n))x^(n-1)e^(-thetax)$.
Ciò si dimostra immediatamente utilizzando la funzione generatrice dei momenti e le sue proprietà:
$M_(Sigmax)(t)=[M_(X)(t)]^n=(theta/(theta-t))^n$
Fin qui è dove è arrivato il prof....ma occorre andare anche un po' oltre....
Nella distribuzione $T~G a m m a (n;theta)$ riconosciamo subito un modello di Scala e quindi può essere standardizzata in questo modo:
$Y=2thetaT=G a m m a (n;1/2)=chi_((2n))^2$
...e così puoi anche utilizzare le tavole per fare i conti, senza dover risolvere l'integrale della densità Gamma
spero che ora sia chiaro
Ecco anche un esercizio così puoi autovalutare la comprensione dell'argomento
I pazienti che arrivano ad uno studio dentistico costituiscono un processo di Poisson di parametro $v$. Sapendo che il trattamento dura $d$ secondi indipendentemente dagli arrivi e che $D$ è una variabile aleatoria esponenziale di parametro $lambda$
1) determinare la probabilità che il secondo paziente non debba aspettare
2) determinare il tempo medio di attesa del secondo paziente
Grazie mille, sei stato chiarissimo!
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