Domanda di probabilità
Si sceglie un numero naturale pari, n=2k. Dopodichè viene estratto a sorte un numero intero fra 0 e 2k (compresi), chiamiamolo q, con uniforme distribuzione di probabilità. Ancora una volta, viene estratto a sorte un numero intero fra 0 e
2k-q, chiamiamolo a, con (nuova, rivalutata) uniforme distribuzione di probabilità.
Calcolare la probabilità che 2k-q-a sia ancora pari. Scrivere tale risultato solo in funzione di k.
Io ho provato a risolverlo e sono arrivato a queste conclusioni:
2k-q-a è pari se:
1)q e a sono entrambi pari
2) q e a sono entrambi dispari
Dunque la probabilità totale è la somma della probabilità di essere entrambi pari e di essere entrambi dispari.
la probabilità che q sia pari è : (k+1)/(2k+1), mentre la probabilità che 2k-q sia pari è : (2k-q+2)/(4k-2q+2)
Dunque la probabilità che a e q siano pari si trova moltiplicando le rispettive probabilità:
(k+1)/(2k+1)*(2k-q+2)/(4k-2q+2)
La probabilità che q sia dispari è : k/(2k+1)
la probabilità che a sia dispari è : ((2k-q+1)/2)/(2k-q+1) = 1/2
Dunque la probabilità che a e q siano dispari è : k/(2k+1)*1/2= k/(4k+2)
Dunque la probabilità che 2k-q-a sia pari è di conseguenza: (k+1)/(2k+1)*(2k-q+2)/(4k-2q+2)+k/(4k+2)
Il problema è che questa soluzione è dipendente da q, quando dovrebbe essere dipendente solo da k, ma non so come eliminare q dal risultato.
Non so se abbia fatto i conti per bene o abbia sbagliato metodo, voi come lo risolvereste?
2k-q, chiamiamolo a, con (nuova, rivalutata) uniforme distribuzione di probabilità.
Calcolare la probabilità che 2k-q-a sia ancora pari. Scrivere tale risultato solo in funzione di k.
Io ho provato a risolverlo e sono arrivato a queste conclusioni:
2k-q-a è pari se:
1)q e a sono entrambi pari
2) q e a sono entrambi dispari
Dunque la probabilità totale è la somma della probabilità di essere entrambi pari e di essere entrambi dispari.
la probabilità che q sia pari è : (k+1)/(2k+1), mentre la probabilità che 2k-q sia pari è : (2k-q+2)/(4k-2q+2)
Dunque la probabilità che a e q siano pari si trova moltiplicando le rispettive probabilità:
(k+1)/(2k+1)*(2k-q+2)/(4k-2q+2)
La probabilità che q sia dispari è : k/(2k+1)
la probabilità che a sia dispari è : ((2k-q+1)/2)/(2k-q+1) = 1/2
Dunque la probabilità che a e q siano dispari è : k/(2k+1)*1/2= k/(4k+2)
Dunque la probabilità che 2k-q-a sia pari è di conseguenza: (k+1)/(2k+1)*(2k-q+2)/(4k-2q+2)+k/(4k+2)
Il problema è che questa soluzione è dipendente da q, quando dovrebbe essere dipendente solo da k, ma non so come eliminare q dal risultato.
Non so se abbia fatto i conti per bene o abbia sbagliato metodo, voi come lo risolvereste?
Risposte
$Q$, $A$ sono v.a.
Puoi osservare che
\[Q \text{ pari } = \{ Q = 0 \} \vee \{ Q = 2\} \vee ... \vee \{ Q = 2k \}\]
e dunque
\[\text{Pr}(A \text{ pari} | Q \text{ pari}) = \sum_{i = 0}^{k} \text{Pr}(A \text{ pari} | Q = 2 i) \text{Pr}(Q = 2i) \]
La probabilità che ti interessa è
\[ \text{Pr}(Q \text{ pari , } A \text{ pari}) = \text{Pr}(A \text{ pari} | Q \text{ pari}) \cdot \text{Pr}(\text{Q pari}) \]
\[ = \left ( \sum_{i = 0}^{k} \text{Pr}(A \text{ pari} | Q = 2 i) \text{Pr}(Q = 2i) \right ) \cdot \frac{k+1}{2k + 1}\]
Questa sarebbe la mia idea. Se non ti convince fammelo sapere.
Puoi osservare che
\[Q \text{ pari } = \{ Q = 0 \} \vee \{ Q = 2\} \vee ... \vee \{ Q = 2k \}\]
e dunque
\[\text{Pr}(A \text{ pari} | Q \text{ pari}) = \sum_{i = 0}^{k} \text{Pr}(A \text{ pari} | Q = 2 i) \text{Pr}(Q = 2i) \]
La probabilità che ti interessa è
\[ \text{Pr}(Q \text{ pari , } A \text{ pari}) = \text{Pr}(A \text{ pari} | Q \text{ pari}) \cdot \text{Pr}(\text{Q pari}) \]
\[ = \left ( \sum_{i = 0}^{k} \text{Pr}(A \text{ pari} | Q = 2 i) \text{Pr}(Q = 2i) \right ) \cdot \frac{k+1}{2k + 1}\]
Questa sarebbe la mia idea. Se non ti convince fammelo sapere.
Allora
Q puó essere 0,2,4,6....2k-2, 2k e qui ci siamo
Poi non capisco, quella barra verticale tra A pari e Q pari per cosa sta?
A puó essere qualsiasi numero pari minore di 2k-q , non capisco il perchè della somma di i che va da 0 a k.
Q puó essere 0,2,4,6....2k-2, 2k e qui ci siamo
Poi non capisco, quella barra verticale tra A pari e Q pari per cosa sta?
A puó essere qualsiasi numero pari minore di 2k-q , non capisco il perchè della somma di i che va da 0 a k.
Anzitutto vale questa formula:
\[\text{Pr}(A \text{ pari , } Q \text{ pari}) = \text{Pr}(A \text{ pari} | Q \text{ pari}) \text{Pr}(Q \text{ pari}) \]
dove
\[\text{Pr}(A \text{ pari} | Q \text{ pari}) \;\;\;\;\;(*)\]
è la probabilità condizionata. Cioè vuoi calcolare la probabilità che $A$ sia pari sapendo che $Q$ è pari. Nello stato di conoscenza in cui ti trovi, quindi, $\{ Q \text{ pari} \}$ è l'evento certo e $\{ Q = 2i \}_{i = 0, ... , k}$ è una partizione dell'evento certo. Allora puoi calcolare \((*)\) come somma di prodotti (come ti ho scritto sopra); per esempio, il primo addendo vale
\[ \text{Pr}(A \text{ pari } | Q = 0) \; \text{Pr}(Q = 0) = \frac{k+1}{2k + 1} \cdot \frac{1}{2k + 1} = \frac{1}{(2k + 1)^2} \]
P.S.: Per curiosità, da dove hai preso questo problemino?
\[\text{Pr}(A \text{ pari , } Q \text{ pari}) = \text{Pr}(A \text{ pari} | Q \text{ pari}) \text{Pr}(Q \text{ pari}) \]
dove
\[\text{Pr}(A \text{ pari} | Q \text{ pari}) \;\;\;\;\;(*)\]
è la probabilità condizionata. Cioè vuoi calcolare la probabilità che $A$ sia pari sapendo che $Q$ è pari. Nello stato di conoscenza in cui ti trovi, quindi, $\{ Q \text{ pari} \}$ è l'evento certo e $\{ Q = 2i \}_{i = 0, ... , k}$ è una partizione dell'evento certo. Allora puoi calcolare \((*)\) come somma di prodotti (come ti ho scritto sopra); per esempio, il primo addendo vale
\[ \text{Pr}(A \text{ pari } | Q = 0) \; \text{Pr}(Q = 0) = \frac{k+1}{2k + 1} \cdot \frac{1}{2k + 1} = \frac{1}{(2k + 1)^2} \]
P.S.: Per curiosità, da dove hai preso questo problemino?
Ho capito grazie, non avevo bene a mente il concetto di probabilità condizionata. 
Comunque l'ho preso da una pagina facebook molto interessante https://www.facebook.com/EnigmiMatematici?fref=ts
Comunque l'ho preso da una pagina facebook molto interessante https://www.facebook.com/EnigmiMatematici?fref=ts
E' possibile estrarre a caso un numero intero dall'insieme infinito dei numeri interi?
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