Divisione Palline
Salve a tutti, sono alle prese con un problema di probabilità ma non riesco a risolverlo. Ci ho pensato un po' ma non penso che la distribuzione geometrica o la ipergeometrica siano adatte a questo problema.
"In un urna abbiamo 3 palline rosse e 2 bianche. Si vogliono dividere le palline rosse da quelle bianche e per farlo si estraggono le palline una alla volta e il procedimento è concluso quando abbiamo trovato le 3 palline rosse. Definita $X$ la variabile aleatoria che conta quanti tentativi sono necessari, trovare la distribuzione di $X$"
EDIT: errore nella traccia, l'ho corretta
"In un urna abbiamo 3 palline rosse e 2 bianche. Si vogliono dividere le palline rosse da quelle bianche e per farlo si estraggono le palline una alla volta e il procedimento è concluso quando abbiamo trovato le 3 palline rosse. Definita $X$ la variabile aleatoria che conta quanti tentativi sono necessari, trovare la distribuzione di $X$"
EDIT: errore nella traccia, l'ho corretta
Risposte
"Scass095":
"In un urna abbiamo 3 palline rosse e 2 bianche. Si vogliono dividere le palline rosse da quelle bianche e per farlo si estraggono le palline una alla volta e il procedimento è concluso quando abbiamo trovato le due palline rosse. Definita $X$ la variabile aleatoria che conta quanti tentativi sono necessari, trovare la distribuzione di $X$"
Le due palline rosse?
In che senso?
Colgo l'occasione per darti il benvenuto sul forum, @Scass095, e segnalarti il link al [regolamento]1[/regolamento] 
"Scass095":
"In un urna abbiamo 3 palline rosse e 2 bianche. Si vogliono dividere le palline rosse da quelle bianche e per farlo si estraggono le palline una alla volta e il procedimento è concluso quando abbiamo trovato le 3 palline rosse. Definita $X$ la variabile aleatoria che conta quanti tentativi sono necessari, trovare la distribuzione di $X$"
Se estraiamo 2 palline bianche o 3 palline rosse, direi che abbiamo diviso le palline. Se estraiamo due palline bianche, sembra ragionevole dire che sappiamo dove si trovano tutte le palline rosse.
"feddy":
Colgo l'occasione per darti il benvenuto sul forum, @Scass095, e segnalarti il link al [regolamento]1[/regolamento]
Grazie mille <3
"ghira":
[quote="Scass095"]
"In un urna abbiamo 3 palline rosse e 2 bianche. Si vogliono dividere le palline rosse da quelle bianche e per farlo si estraggono le palline una alla volta e il procedimento è concluso quando abbiamo trovato le 3 palline rosse. Definita $X$ la variabile aleatoria che conta quanti tentativi sono necessari, trovare la distribuzione di $X$"
Se estraiamo 2 palline bianche o 3 palline rosse, direi che abbiamo diviso le palline. Se estraiamo due palline bianche, sembra ragionevole dire che sappiamo dove si trovano tutte le palline rosse.[/quote]
Ho sbagliato a scrivere la traccia e l'ho corretta. Chiaramente bisogna estrarre o 3 rosse o 2 bianche come hai detto tu. Ma non riesco proprio a capire come trovare la distribuzione di X perché le palline le si estraggono una alla volta e non in blocco.
P.S. Ti ringrazio per ave risposto
"Scass095":
Chiaramente bisogna estrarre o 3 rosse o 2 bianche come hai detto tu. Ma non riesco proprio a capire come trovare la distribuzione di X perché le palline le si estraggono una alla volta e non in blocco.
BB finito
RRR finito
BRB finito
RBB finito
RRBB finito
RBRB finito
RRBR finito
Manca qualcosa?
(Modificato: Sì.)
"ghira":
[quote="Scass095"]Chiaramente bisogna estrarre o 3 rosse o 2 bianche come hai detto tu. Ma non riesco proprio a capire come trovare la distribuzione di X perché le palline le si estraggono una alla volta e non in blocco.
BB finito
RRR finito
BRB finito
RBB finito
RRBB finito
RBRB finito
RRBR finito
Manca qualcosa?[/quote]
Credo che la traccia intenda o una o l'altra alternativa, nel senso che o consideriamo il caso di trovare le rosse o il caso di trovare le bianche, quindi non credo si debba tener conto di tutte e 2 le alternative contemporaneamente. Sinceramente io ho pensato che X = numero di tentativi possa essere {2,3,4,5} quindi:
X P(X)
2 RR
3 BRR + RBR
4 BBRR + BRBR + RBBR
5 BBBRR + BBRBR + BRBBR + RBBBBR
Una cosa del genere ma 1 non sono convinto e 2 non so se mi sono spiegato (a me sembra tipo l'esercizio sulla chiave da trovare in un mazzo che si trova in internet)
"Scass095":
Credo che la traccia intenda o una o l'altra alternativa, nel senso che o consideriamo il caso di trovare le rosse o il caso di trovare le bianche
Se abbiamo in mano tutte le rosse o tutte le bianche, sappiamo che le altre palle dell'altro colore sono nell'urna, quindi direi che la quinta estrazione non serve mai. Ma magari esagero.
"ghira":
[quote="Scass095"]
Credo che la traccia intenda o una o l'altra alternativa, nel senso che o consideriamo il caso di trovare le rosse o il caso di trovare le bianche
Se abbiamo in mano tutte le rosse o tutte le bianche, sappiamo che le altre palle dell'altro colore sono nell'urna, quindi direi che la quinta estrazione non serve mai. Ma magari esagero.[/quote]
Mi sono reso conto di aver scambiato di nuovo il numero delle rosse con quelle bianche. Pardon. Ad ogni modo hai ragione però a questo punto come computo le probabilità (considerando che sono senza reimmissione)? E in ogni caso faccio la somma degli eventi per ogni estrazione come ho fatto io?
"Scass095":
[quote="ghira"][quote="Scass095"]
Credo che la traccia intenda o una o l'altra alternativa, nel senso che o consideriamo il caso di trovare le rosse o il caso di trovare le bianche
Se abbiamo in mano tutte le rosse o tutte le bianche, sappiamo che le altre palle dell'altro colore sono nell'urna, quindi direi che la quinta estrazione non serve mai. Ma magari esagero.[/quote]
Mi sono reso conto di aver scambiato di nuovo il numero delle rosse con quelle bianche. Pardon. Ad ogni modo hai ragione però a questo punto come computo le probabilità (considerando che sono senza reimmissione)? E in ogni caso faccio la somma degli eventi per ogni estrazione come ho fatto io?[/quote]
Io l'ho pensata così ma non ne sono sicuro sia perchè non capisco bene cosa vuole il testo, sia perchè non sono sicuro del fatto che bisogna sommare le probabilità visto che hanno lo stesso numero di estrazioni e sia perchè la somma totale delle probabilità non fa 1. Cosa ne pensate?
X P(X)
1 P(BB) = $2/5*1/4 = 1/10$
2 P(RRR) + P(BRB) + P(RBB) = $3/5*2/4*1/3 + 2/5*3/4*1/3 + 3/5*2/4*1/3 = 3/10$
3 P(RRBB) + P(RBRB) + P(RRBR) + P(RBRR) + P(BRRR) =
$ = 3/5*2/4*2/3*1/2 + 3/5*2/4*2/3*1/2 +
3/5*2/4*2/3*1/2 + 3/5*2/4*2/3*1/2 + 2/5*3/4*2/3*1/2 = 5/10$
Manca BRRB, direi.
"ghira":
Manca BRRB, direi.
Però se considero BRRB non ricado nel caso che ho considerato del tentativo 2 visto che pesco due palline rosse? (BRR)
"Scass095":
[quote="ghira"]Manca BRRB, direi.
Però se considero BRRB non ricado nel caso che ho considerato del tentativo 2 visto che pesco due palline rosse? (BRR)[/quote]
Dopo B hai finito? No. BR? No. BRR? No. BRRB? Direi di sì. Se ho capito le regole.
"ghira":
[quote="Scass095"][quote="ghira"]Manca BRRB, direi.
Però se considero BRRB non ricado nel caso che ho considerato del tentativo 2 visto che pesco due palline rosse? (BRR)[/quote]
Dopo B hai finito? No. BR? No. BRR? No. BRRB? Direi di sì. Se ho capito le regole.[/quote]
Hai ragione. Quindi sarebbe:
X P(X)
3 P(RRBB) + P(RBRB) + P(RRBR) + P(RBRR) + P(BRRR) + P(BRRB)=
$ = 3/5*2/4*2/3*1/2 + 3/5*2/4*2/3*1/2 +
3/5*2/4*2/3*1/2 + 3/5*2/4*2/3*1/2 + 2/5*3/4*2/3*1/2 +2/5*3/4*2/3*1/2= 6/10$
Secondo voi seguendo questa logica l'esercizio è corretto? (Intendo è corretto il discorso dei tentativi e delle somme delle probabilità) Sinceramente non ho la soluzione quindi non so dire se è corretto o meno
Comunque ti ringrazio 
E la distribuzione di $X$, alla fine, è...?
"ghira":
E la distribuzione di $X$, alla fine, è...?
Poichè parliamo di una variabile aleatoria discreta, non dovrebbe essere "una coppia di valori" intesi come il valore di X e la sua relativa probabilità?
Il quesito finisce con le parole "trovare la distribuzione di $X$".
"ghira":
Il quesito finisce con le parole "trovare la distribuzione di $X$".
Allora non capisco il quesito sinceramente. La soluzione pensavo fosse
$X = 1$, $P(X) = 1/10$
$X = 2$, $P(X) = 3/10$
$X = 3$, $P(X) = 6/10$
$X=1$ non è possibile.
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