Disuguaglianza tra probabilità

[gygabyte017]

Ciao,
vorrei provare questo fatto:

Siano ${p_1,\ldots,p_n}$ e ${q_1,\ldots,q_n}$ tali che $0<=p_i,q_i<=1$ e $\sum_{i=1}^n p_i = \sum_{i=1}^n q_i = 1$.
Allora, $\sum_{i=1}^n |p_i - q_i| <= 2$.

Cosa si potrebbe usare per vederlo? Ho provato a usare senza successo disuguaglianze triangolari...

[orsoulx]

"gygabyte017":Ho provato a usare senza successo disuguaglianze triangolari...

??
Mi pare che quanto devi dimostrare sia una conseguenza immediata di $ |x-y| \leq |x|+|y| $.
Ciao
B.

[gygabyte017]

Forse non ho compreso cosa intendi, ma ovviamente fissato un $i$ si ha che $|p_i - q_i| <= |p_i| + |q_i| <= 2$, il problema è che io vorrei dimostrarlo per la somma, quindi se uso solo la disuguaglianza triangolare ottengo che $sum_{i=1}^n|p_i- q_i| <= sum_{i=1}^n (|p_i| + |q_i|) <= sum_{i=1}^n 2 = 2n$ che è una stima molto peggiore di quella che vorrei...

[orsoulx]

$ sum_{i=1}^n|p_i- q_i| <= sum_{i=1}^n (|p_i| + |q_i|) = sum_{i=1}^n p_i +sum_{i=1}^n q_i= 2 $
con l'uguaglianza che si verifica sse. $ sum_{i=1}^n p_iq_i=0. $
Ciao
B.

[gygabyte017]

Hai ragione era davvero immediato... grazie!